1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2（a＞0）的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 二次函数y＝ax2（a＞0）的图象
1.二次函数y＝200x2的图象大致是（ B ）
A B
C D
2.（常德模拟）下列各点在二次函数y＝4x2的图象上的是（ C ）
A.（2，2） B.（4，1）
C.（1，4） D.（－1，－4）
3.二次函数y＝x2的图象一定经过（ A ）
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第一、三象限 D.第三、四象限
4.已知二次函数y＝ax2的图象经过点（1，3）.
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值.
解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3），
∴将（1，3）代入，得a＝3.
（2）∵由（1），得抛物线的函数表达式为y＝3x2.
∴当x＝3时，y＝3×32＝27.
知识点2 二次函数y＝ax2（a＞0）的性质
5.以下对二次函数y＝5x2的图象与性质的描述中，不正确的是（ B ）
A.开口向上
B.对称轴是x轴
C.顶点是原点
D.x＞0时，y随x的增大而增大
6.【教材P7练习T2变式】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（ D ）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于原点对称，顶点都是原点
C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
D.都是关于y轴对称，顶点都是原点
7.（长沙模拟）如果二次函数y＝x2的图象经过点A（2，y1），B（3，y2），那么y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
8.【教材P6例1变式】画出二次函数y＝2x2的图象，并回答下列问题.
（1）当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x＜0时，y随x的增大怎样变化？
解：（1）当x＝0时，y有最小值，最小值是0；
（2）当x＜0时，y随x的增大而减小.
@中档提分训练
9.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ A ）
A.（2，4） B.（－2，－4）
C.（－4，2） D.（4，－2）
10.如图，A，B为二次函数y＝x2的图象上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝4，则点A的坐标为（ D ）
A.（2，2）
B.（2，4）
C.（－2，2）
D.（－2，4）
11.已知二次函数y＝m的图象经过第一、二象限，则m＝（ A ）
A.1 B.－1 C.±1 D.2
12.【推理能力】已知点（－2，y1），（－1，y2），（3，y3）都在函数y＝（a2＋1）x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ B ）
A.y1＞y2＞y3 B.y3＞y1＞y2
C.y3＞y2＞y1 D.y2＞y1＞y3
13.二次函数y＝（2k－5）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 k＞ .
14.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝2x－1的图象交于点P（1，m）.
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）写出该二次函数的图象的对称轴及顶点坐标.
解：（1）依题意，将点P（1，m）代入y＝2x－1中，得m＝2×1－1＝1.
∴P（1，1）.
将（1，1）代入y＝ax2中，
得a＝1.
（2）由（1），得二次函数的表达式为y＝x2.
当x＞0时，y随x的增大而增大.
（3）二次函数y＝x2的图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）.
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15.已知点A（2，a）在二次函数y＝x2的图象上.
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵点A（2，a）在二次函数y＝x2的图象上，∴a＝22＝4，∴点A的坐标为（2，4）.
（2）分下列三种情况：
①当OA＝OP时，点P的坐标为P1（－2，0），P2（2，0）；
②当OA＝AP，点P的坐标为（4，0）；
③当OP＝AP时，如图，过点A作AE⊥x轴于点E.在Rt△AEP'中，AE2＋P'E2＝AP'2，设AP'＝x，则42＋（x－2）2＝x2，解得x＝5.
∴P'（5，0）.
综上所述，使△OAP是等腰三角形的点P的坐标为（－2，0），（2，0），（4，0），（5，0）.
第2课时 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象与性质
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知识点1 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象
1.如图，函数y＝－2x2的图象是（ C ）
A.① B.② C.③ D.④
第1题图
2.如图所示的图象对应的函数表达式可能是（ B ）
第2题图
A.y＝x2 B.y＝－x2
C.y＝3x D.y＝－
知识点2 二次函数y＝ax2（a＜0）的性质
3.（株洲模拟）抛物线y＝－3x2不具有的性质是（ C ）
A.开口向下
B.图象的对称轴是y轴
C.有最低点
D.x＜0时，y随x的增大而增大
4.已知抛物线y＝－x2过A（－3，y1），B（2，y2）两点，则下列关系一定正确的是（ C ）
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
5.如果二次函数y＝（2－a）x2有最大值，那么a的取值范围是 a＞2 .
6.若函数y＝－4x2的函数值y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是 x＞0 .
7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y1＝x2和y2＝－x2的图象；
（2）观察画出的图象，写出它们的异同点.
解：（1）相同点：①顶点都为（0，0）；②对称轴都为y轴.
（2）不同点：①x＞0时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小.
②x＜0时，y1随x的增大而减小；y2随x的增大而增大.
8.（邵阳模拟）抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3相交于点（1，b）.
（1）求a与b的值；
（2）二次函数y＝ax2中，当－1＜x＜3时，求y的取值范围.
解：（1）把点（1，b）代入y＝2x－3，得2－3＝b，b＝－1，∴交点为（1，－1）.
把点（1，－1）代入y＝ax2，得a＝－1.
（2）由（1），得二次函数的表达式为y＝－x2，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大.
∵x＝－1时，y＝－1；x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝－9，
∴y的取值范围为－9＜y≤0.
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9.已知二次函数y＝（2－a），在其图象对称轴的左边，y随x的增大而增大，则a的值为（ A ）
A. B.± C.－ D.0
10.已知点A（－1，m），B（1，m），C（2，m－n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ D ）
A.y＝x B.y＝－
C.y＝x2 D.y＝－x2
11.二次函数y＝－ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是（ C ）
A B
C D
12.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为 a＞b＞d＞c .
第12题图
13.（长沙模拟）如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，则阴影部分的面积为 8 .
第13题图
14.根据条件，求下列各题中m的取值范围.
（1）函数y＝（m－2）x2，当x＜0时，y随着x的增大而增大；
（2）y＝（m＋1）x2与y＝2x2的函数图象形状相同；
（3）函数y＝m的图象是开口向下的抛物线.
解：（1）∵当x＜0时，函数y＝（m－2）x2的函数值y随着x的增大而增大，
∴m－2＜0，解得m＜2.
（2）∵y＝（m＋1）x2与y＝2x2的函数图象形状相同，
∴｜m＋1｜＝2，解得m1＝1，m2＝－3.
（3）∵函数y＝m的图象是开口向下的抛物线，
∴m2＋m＝2，且m＜0，
解得m1＝－2，m2＝1（舍去）.
∴m＝－2.
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15.抛物线y＝ax2经过点A（1，－1）.
（1）这个抛物线的表达式为 y＝－x2 ；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 （－1，－1） ，△AOB的面积是 1 ；
（3）抛物线上一点C满足S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标.
解：设点C的坐标为（m，n），
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴×2×｜n－（－1）｜＝2×1，即｜n＋1｜＝2.
∴n＝1或n＝－3.
①当n＝1时，1＝－m2，无解；
②当n＝－3时，－3＝－m2，解得m＝±.
∴点C的坐标为（，－3）或（－，－3）.
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
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知识点1 抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的关系
1.将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，得到新的图象的表达式是（ B ）
A.y＝2（x＋2）2
B.y＝2（x－2）2
C.y＝2x＋2
D.y＝2x－2
2.将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x＋2）2，则这个平移过程正确的是（ A ）
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向上平移2个单位
D.向下平移2个单位
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
3.（益阳模拟）抛物线y＝－（x－3）2的顶点坐标是（ D ）
A.（0，－3） B.（－3，0）
C.（0，3） D.（3，0）
4.在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x－1）2的图象可能是（ D ）
A B C D
5.二次函数y＝（x＋4）2的图象经过的象限是（ A ）
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
6.下列对于二次函数y＝（x＋4）2的性质描述正确的是（ D ）
A.开口向下
B.当x＝－4时，y有最大值
C.当x＞4时，y随x的增大而减小
D.当x＜－4时，y随x的增大而减小
7.如果二次函数y＝a（ x＋3）2有最大值，那么a ＜ 0，当x＝ －3 时，函数的最大值是 0 .
8.（永州模拟）若点A（－，y1），B（－，y2）为二次函数y＝（x－2）2的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为 y1＞y2 .
9.请在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线：①y＝x2；②y＝（x－3）2.
说出两条抛物线的位置关系，指出抛物线②的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：抛物线y＝x2向右平移3个单位，可得到抛物线y＝（x－3）2.
抛物线②的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0）.
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10.若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（ D ）
A.（m，n＋1） B.（m＋1，n）
C.（m，n－1） D.（m－1，n）
11.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a（x＋c）2的图象大致为（ B ）
A B C D
12.已知抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位后得到抛物线y＝2（x＋1）2，则a＝ 2 ，h＝ －4 .
13.已知点A（－4 ，y1），B（－3，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝－2（x＋2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 （用“＜”连接）.
14.已知在二次函数y＝2（x－h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 h≤3 .
15.已知抛物线y＝a（x－h）2的顶点与抛物线y＝－（x－2）2的顶点相同，且与直线y＝3x－13的交点A的横坐标为3.
（1）求这条抛物线的表达式；
解：由题意，可知A的坐标为（3，－4）.
∵抛物线y＝a（x－h）2的顶点与抛物线y＝－（x－2）2的顶点相同.∴h＝2.
由题意，把点A的坐标（3，－4）代入y＝a（x－2）2，得－4＝a（3－2）2.
∴a＝－4.
∴抛物线的表达式为y＝－4（x－2）2.
（2）把这条抛物线向右平移4个单位后，求所得抛物线的表达式.
解：把抛物线y＝－4（x－2）2向右平移4个单位后，得到抛物线的表达式为y＝－4（x－6）2.
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16.如图，二次函数y＝（x＋2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）连接AB，求△AOB的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）当x＝0时，y＝22＝4，即点B坐标是（0，4）.
当y＝0时，（x＋2）2＝0，解得x＝－2，即点A坐标是（－2，0）.
∴点A，B的坐标分别为（－2，0），（0，4）.
（2）S△AOB＝｜AO｜·｜BO｜＝×2×4＝4.
（3）存在.理由如下：∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP＝OB＝4.
当点P在x轴的上方时，点P的坐标为（－2，4）.
当点P在x轴的下方时，点P的坐标为（－2，－4）.
综上所述，点P的坐标为（－2，4） 或（－2，－4）时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形.
第4课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
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知识点1 与抛物线y＝a（x－h）2＋k相关的平移
1.把二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式为 y＝2（x＋1）2－2 .
2.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x＋1）2＋3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为 y＝（x－1）2＋2 .
3.将一条抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为y＝3x2，则原抛物线的表达式为 y＝3（x＋2）2＋3 .
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
4.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（ A ）
A.（1，3） B.（1，－3）
C.（－1，3） D.（－1，－3）
5.二次函数y＝（x＋2）2－1的图象大致为（ D ）
A B
C D
6.关于二次函数y＝（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ D ）
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
7.【教材P15练习T1变式】已知二次函数y＝（x－）2＋1.下列说法：
①其图象的开口向上；②其图象的对称轴是直线x＝－；③其图象的顶点坐标为（，－1）；④当x＜时，y随x的增大而减小.
其中正确的有 2 个.
8.已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）.
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.
解：（1）将点（1，－2）代入y＝a（x－3）2＋2，得－2＝a（1－3）2＋2，解得a＝－1.
（2）抛物线的表达式为y＝－（x－3）2＋2，对称轴为x＝3，
∵点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，且当x＜3时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2.
知识点3 利用顶点式求二次函数表达式
9.【教材P15练习T3变式】在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点坐标为A（1，－4），且过点B（3，0）.求该二次函数的表达式.
解：∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，－4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x－1）2－4.
把点B（3，0）代入二次函数表达式，
得0＝4a－4，解得a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝（x－1）2－4，
即y＝x2－2x－3.
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10.二次函数y＝a（x－m）2＋n（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过（ B ）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
11.已知点A（m－1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝（x－1）2＋n的图象上.若y1＜y2，则m的取值范围为（ B ）
A.m＞2 B.m＞
C.m＜1 D.＜m＜2
12.已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x－1）2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ D ）
A.若c＜0，则a＜c＜b
B.若c＜0，则a＜b＜c
C.若c＞0，则a＜c＜b
D.若c＞0，则a＜b＜c
13.将抛物线y＝（x＋3）2向下平移1个单位，再向右平移 2或4 个单位后，得到的新抛物线经过原点.
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝（x－1）2－1，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为 1 .
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝a（x－3）2＋k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，求以AB为边的菱形ABCD的周长.
第15题图
解：∵在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x－3）2＋k与y轴的交点，
∴点A的横坐标是0，该抛物线的对称轴为直线x＝3.
∵点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，
∴点A、B关于直线x＝3对称.
∴点B的横坐标是6.
∴AB＝6.
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24.
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16.如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点.点P是x轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标.
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）.
∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋4.
∵抛物线过点B（0，3）.
∴3＝a（0－1）2＋4，
解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－（x－1）2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
（2）如图，作点B关于x轴的对称点E（0，－3），连接AE交x轴于点P，连接PB.此时PA＋PB的值最小.
设直线AE的表达式为y＝kx＋b，则
解得
∴y＝7x－3.
当y＝0时，x＝.
∴点P的坐标为（，0）.
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式
1.用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a（x－h）2＋k的形式为（ B ）
A.y＝（x－4）2＋7
B.y＝（x－4）2－25
C.y＝（x＋4）2＋7
D.y＝（x＋4）2－25
2.用配方法将二次函数y＝2x2＋4x－1化为顶点式：
y＝2（ x2＋2x ）－1
＝2（x2＋2x＋ 1 － 1 ）－1
＝2[（x＋1）2－ 1 ]－1
＝2（x＋1）2－ 3 .
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.若二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a＋b＋1的值是（ D ）
A.－3 B.－1 C.2 D.3
4.已知二次函数y＝－2x2＋4x－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ A ）
A.x≥1 B.x≥0
C.x≥－1 D.x≥－2
5.（长沙模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）x，y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为（ D ）
A.y轴 B.直线x＝
C.直线x＝2 D.直线x＝
6.关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是（ D ）
A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为－3
7.（贵州中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ D ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
知识点3 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值
8.【教材P17例6变式】求下列函数的最大值或最小值：
（1）y＝2x2－4x＋1；
（2）y＝－x2＋3x－1.
解：（1）y＝2x2－4x＋1
＝2（x－1）2－1，
∴当x＝1时，函数有最小值为－1.
（2）y＝－x2＋3x－1
＝－（x－）2＋，
∴当x＝时，函数有最大值为.
9.已知二次函数y＝2x2－3x＋c的最小值为，则c的值为 4 .
@中档提分训练
10.抛物线y＝x2－2x＋m2＋2（m是常数）的顶点在（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.若A（－，y1），B（－，y2），C（，y3）为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ B ）
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3
C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2
12.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ D ）
A B C D
13.【运算能力】已知a，b，c满足a－2b＝c，b＋c＝－4a，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝ － .
14.【转化思想】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－4x＋5上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 1 .
@拓展素养训练
15.（北京中考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x（a≠0）.
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）【分类讨论思想】已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝3a，3≤x2≤4.都有y1＜y2，求a的取值范围.
解：（1）把a＝1代入y＝ax2－2a2x，得y＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－1）；
（2）抛物线的对称轴是直线x＝－＝a；
①当a＞0时，如图①，此时3a＜3，
∴a＜1，
又∵a＞0，∴0＜a＜1；
图①
图②
②当a＜0时，如图②，此时－a＞4，
解得a＜－4，
又∵a＜0，∴a＜－4；
综上，当0＜a＜1或a＜－4时，都有y1＜y2.1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2（a＞0）的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 二次函数y＝ax2（a＞0）的图象
1.二次函数y＝200x2的图象大致是（ ）
A B
C D
2.（常德模拟）下列各点在二次函数y＝4x2的图象上的是（ ）
A.（2，2） B.（4，1）
C.（1，4） D.（－1，－4）
3.二次函数y＝x2的图象一定经过（ ）
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第一、三象限 D.第三、四象限
4.已知二次函数y＝ax2的图象经过点（1，3）.
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值.
知识点2 二次函数y＝ax2（a＞0）的性质
5.以下对二次函数y＝5x2的图象与性质的描述中，不正确的是（ ）
A.开口向上
B.对称轴是x轴
C.顶点是原点
D.x＞0时，y随x的增大而增大
6.【教材P7练习T2变式】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（ ）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于原点对称，顶点都是原点
C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
D.都是关于y轴对称，顶点都是原点
7.（长沙模拟）如果二次函数y＝x2的图象经过点A（2，y1），B（3，y2），那么y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
8.【教材P6例1变式】画出二次函数y＝2x2的图象，并回答下列问题.
（1）当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x＜0时，y随x的增大怎样变化？
@中档提分训练
9.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A.（2，4） B.（－2，－4）
C.（－4，2） D.（4，－2）
10.如图，A，B为二次函数y＝x2的图象上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝4，则点A的坐标为（ ）
A.（2，2）
B.（2，4）
C.（－2，2）
D.（－2，4）
11.已知二次函数y＝m的图象经过第一、二象限，则m＝（ ）
A.1 B.－1 C.±1 D.2
12.【推理能力】已知点（－2，y1），（－1，y2），（3，y3）都在函数y＝（a2＋1）x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＞y2＞y3 B.y3＞y1＞y2
C.y3＞y2＞y1 D.y2＞y1＞y3
13.二次函数y＝（2k－5）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 .
14.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝2x－1的图象交于点P（1，m）.
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）写出该二次函数的图象的对称轴及顶点坐标.
@拓展素养训练
15.已知点A（2，a）在二次函数y＝x2的图象上.
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
第2课时 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象
1.如图，函数y＝－2x2的图象是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
第1题图
2.如图所示的图象对应的函数表达式可能是（ ）
第2题图
A.y＝x2 B.y＝－x2
C.y＝3x D.y＝－
知识点2 二次函数y＝ax2（a＜0）的性质
3.（株洲模拟）抛物线y＝－3x2不具有的性质是（ ）
A.开口向下
B.图象的对称轴是y轴
C.有最低点
D.x＜0时，y随x的增大而增大
4.已知抛物线y＝－x2过A（－3，y1），B（2，y2）两点，则下列关系一定正确的是（ ）
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
5.如果二次函数y＝（2－a）x2有最大值，那么a的取值范围是 .
6.若函数y＝－4x2的函数值y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是 .
7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y1＝x2和y2＝－x2的图象；
（2）观察画出的图象，写出它们的异同点.
8.（邵阳模拟）抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3相交于点（1，b）.
（1）求a与b的值；
（2）二次函数y＝ax2中，当－1＜x＜3时，求y的取值范围.
@中档提分训练
9.已知二次函数y＝（2－a），在其图象对称轴的左边，y随x的增大而增大，则a的值为（ ）
A. B.± C.－ D.0
10.已知点A（－1，m），B（1，m），C（2，m－n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A.y＝x B.y＝－
C.y＝x2 D.y＝－x2
11.二次函数y＝－ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A B
C D
12.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为 .
第12题图
13.（长沙模拟）如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，则阴影部分的面积为 .
第13题图
14.根据条件，求下列各题中m的取值范围.
（1）函数y＝（m－2）x2，当x＜0时，y随着x的增大而增大；
（2）y＝（m＋1）x2与y＝2x2的函数图象形状相同；
（3）函数y＝m的图象是开口向下的抛物线.
@拓展素养训练
15.抛物线y＝ax2经过点A（1，－1）.
（1）这个抛物线的表达式为 ；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ，△AOB的面积是 ；
（3）抛物线上一点C满足S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标.
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的关系
1.将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，得到新的图象的表达式是（ ）
A.y＝2（x＋2）2
B.y＝2（x－2）2
C.y＝2x＋2
D.y＝2x－2
2.将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x＋2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向上平移2个单位
D.向下平移2个单位
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
3.（益阳模拟）抛物线y＝－（x－3）2的顶点坐标是（ ）
A.（0，－3） B.（－3，0）
C.（0，3） D.（3，0）
4.在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x－1）2的图象可能是（ ）
A B C D
5.二次函数y＝（x＋4）2的图象经过的象限是（ ）
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
6.下列对于二次函数y＝（x＋4）2的性质描述正确的是（ ）
A.开口向下
B.当x＝－4时，y有最大值
C.当x＞4时，y随x的增大而减小
D.当x＜－4时，y随x的增大而减小
7.如果二次函数y＝a（ x＋3）2有最大值，那么a 0，当x＝ 时，函数的最大值是 .
8.（永州模拟）若点A（－，y1），B（－，y2）为二次函数y＝（x－2）2的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为 .
9.请在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线：①y＝x2；②y＝（x－3）2.
说出两条抛物线的位置关系，指出抛物线②的开口方向、对称轴和顶点坐标.
@中档提分训练
10.若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（ ）
A.（m，n＋1） B.（m＋1，n）
C.（m，n－1） D.（m－1，n）
11.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a（x＋c）2的图象大致为（ ）
A B C D
12.已知抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位后得到抛物线y＝2（x＋1）2，则a＝ ，h＝ .
13.已知点A（－4 ，y1），B（－3，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝－2（x＋2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＜”连接）.
14.已知在二次函数y＝2（x－h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 .
15.已知抛物线y＝a（x－h）2的顶点与抛物线y＝－（x－2）2的顶点相同，且与直线y＝3x－13的交点A的横坐标为3.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）把这条抛物线向右平移4个单位后，求所得抛物线的表达式.
@拓展素养训练
16.如图，二次函数y＝（x＋2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）连接AB，求△AOB的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
第4课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 与抛物线y＝a（x－h）2＋k相关的平移
1.把二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式为 .
2.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x＋1）2＋3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为 .
3.将一条抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为y＝3x2，则原抛物线的表达式为 .
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
4.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，－3）
C.（－1，3） D.（－1，－3）
5.二次函数y＝（x＋2）2－1的图象大致为（ ）
A B
C D
6.关于二次函数y＝（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
7.【教材P15练习T1变式】已知二次函数y＝（x－）2＋1.下列说法：
①其图象的开口向上；②其图象的对称轴是直线x＝－；③其图象的顶点坐标为（，－1）；④当x＜时，y随x的增大而减小.
其中正确的有 个.
8.已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）.
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.
知识点3 利用顶点式求二次函数表达式
9.【教材P15练习T3变式】在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点坐标为A（1，－4），且过点B（3，0）.求该二次函数的表达式.
@中档提分训练
10.二次函数y＝a（x－m）2＋n（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过（ ）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
11.已知点A（m－1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝（x－1）2＋n的图象上.若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A.m＞2 B.m＞
C.m＜1 D.＜m＜2
12.已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x－1）2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A.若c＜0，则a＜c＜b
B.若c＜0，则a＜b＜c
C.若c＞0，则a＜c＜b
D.若c＞0，则a＜b＜c
13.将抛物线y＝（x＋3）2向下平移1个单位，再向右平移 个单位后，得到的新抛物线经过原点.
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝（x－1）2－1，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为 .
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝a（x－3）2＋k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，求以AB为边的菱形ABCD的周长.
第15题图
@拓展素养训练
16.如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点.点P是x轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标.
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
@基础分点训练
知识点1 用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式
1.用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a（x－h）2＋k的形式为（ ）
A.y＝（x－4）2＋7
B.y＝（x－4）2－25
C.y＝（x＋4）2＋7
D.y＝（x＋4）2－25
2.用配方法将二次函数y＝2x2＋4x－1化为顶点式：
y＝2（ ）－1
＝2（x2＋2x＋ － ）－1
＝2[（x＋1）2－ ]－1
＝2（x＋1）2－ .
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.若二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a＋b＋1的值是（ ）
A.－3 B.－1 C.2 D.3
4.已知二次函数y＝－2x2＋4x－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A.x≥1 B.x≥0
C.x≥－1 D.x≥－2
5.（长沙模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）x，y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A.y轴 B.直线x＝
C.直线x＝2 D.直线x＝
6.关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是（ ）
A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为－3
7.（贵州中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
知识点3 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值
8.【教材P17例6变式】求下列函数的最大值或最小值：
（1）y＝2x2－4x＋1；
（2）y＝－x2＋3x－1.
9.已知二次函数y＝2x2－3x＋c的最小值为，则c的值为 .
@中档提分训练
10.抛物线y＝x2－2x＋m2＋2（m是常数）的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.若A（－，y1），B（－，y2），C（，y3）为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3
C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2
12.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ ）
A B C D
13.【运算能力】已知a，b，c满足a－2b＝c，b＋c＝－4a，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝ .
14.【转化思想】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－4x＋5上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 .
@拓展素养训练
15.（北京中考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x（a≠0）.
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）【分类讨论思想】已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝3a，3≤x2≤4.都有y1＜y2，求a的取值范围.
