1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
@基础分点训练
知识点1 求不共线三点确定的二次函数表达式
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4）和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ ）
A.－1，－6，4 B.1，－6，－4
C.－1，－6，－4 D.1，－6，4
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），（0，－2），（1，－2），则这个二次函数的表达式为 .
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的表达式是 .
4.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A，B，C，其中点B的坐标为（4，4），则该抛物线的表达式为 .
5.【教材P21例2变式】已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）A（0，－1），B（1，2），C（－1，0）；
（2）A（0，－1），B（1，2），C（－1，－4）.
知识点2 利用交点式y＝a（x－x1）（x－x2）求二次函数表达式
6.如图，抛物线的表达式是（ ）
A.y＝x2－x＋2
B.y＝x2＋x＋2
C.y＝－x2－x＋2
D.y＝－x2＋x＋2
7.经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线的表达式是 .
8.（郴州模拟）已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是－3和1，与y轴的交点坐标是（0，－2），求该二次函数的表达式.
@中档提分训练
9.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式为（ ）
A.y＝－2x2－x＋3
B.y＝－2x2＋4x＋5
C.y＝－2x2＋4x＋8
D.y＝－2x2＋4x＋6
10.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，－5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A.－5 B.－3 C.－1 D.5
11.【教材P23习题T2变式】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 4 …
y … 0 －3 －4 －3 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若A（－4，y1），B（，y2）两点都在该函数的图象上，求y1与y2的值；
（3）若A（m－1，y1），B（m＋1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.
@拓展素养训练
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4交两坐标轴于B，C两点，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，且A（－1，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得PA＋PC的长度最短？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
@基础分点训练
知识点1 求不共线三点确定的二次函数表达式
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4）和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ D ）
A.－1，－6，4 B.1，－6，－4
C.－1，－6，－4 D.1，－6，4
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），（0，－2），（1，－2），则这个二次函数的表达式为 y＝x2－x－2 .
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的表达式是 y＝2x2－3x＋1 .
4.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A，B，C，其中点B的坐标为（4，4），则该抛物线的表达式为 y＝－x2＋x＋4 .
5.【教材P21例2变式】已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）A（0，－1），B（1，2），C（－1，0）；
（2）A（0，－1），B（1，2），C（－1，－4）.
解：（1）设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴二次函数y＝2x2＋x－1的图象经过A，B，C三点.
（2）设二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1的图象经过A，B，C三点，则得到关于a1，b1，c1的三元一次方程组：
解得
∴一次函数y＝3x－1的图象经过A，B，C三点，这说明没有一个二次函数的图象经过A，B，C三点.
知识点2 利用交点式y＝a（x－x1）（x－x2）求二次函数表达式
6.如图，抛物线的表达式是（ D ）
A.y＝x2－x＋2
B.y＝x2＋x＋2
C.y＝－x2－x＋2
D.y＝－x2＋x＋2
7.经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线的表达式是 y＝－x2＋x＋3 .
8.（郴州模拟）已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是－3和1，与y轴的交点坐标是（0，－2），求该二次函数的表达式.
解：设该抛物线的表达式为y＝a（x＋3）（x－1）.
把（0，－2）代入，得a（0＋3）（0－1）＝－2，
解得a＝.
∴该二次函数的表达式为y＝（x＋3）（x－1），
即y＝x2＋x－2.
@中档提分训练
9.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），其形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式为（ D ）
A.y＝－2x2－x＋3
B.y＝－2x2＋4x＋5
C.y＝－2x2＋4x＋8
D.y＝－2x2＋4x＋6
10.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，－5），则当x＝2时，y的值为（ A ）
A.－5 B.－3 C.－1 D.5
11.【教材P23习题T2变式】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 4 …
y … 0 －3 －4 －3 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若A（－4，y1），B（，y2）两点都在该函数的图象上，求y1与y2的值；
（3）若A（m－1，y1），B（m＋1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.
解：（1）把（－1，0），（0，－3），（1，－4）代入函数表达式y＝ax2＋bx＋c中，可得
解得
∴ 二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
（2）把x＝－4代入函数表达式，可得y1＝21，
把x＝代入函数表达式，可得y2＝.
（3）把x＝m－1代入函数表达式，可得y1＝m2－4m.
把x＝m＋1代入函数表达式，可得y2＝m2－4，
∴y1－y2＝－4m＋4.
∴当m＜1时，y1＞y2；
当m＝1时，y1＝y2；
当m＞1时，y1＜y2.
@拓展素养训练
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4交两坐标轴于B，C两点，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，且A（－1，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得PA＋PC的长度最短？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）在y＝－x＋4中，令x＝0，则y＝4，
∴C的坐标为（0，4）.
令y＝0，则x＝4，
∴B的坐标为（4，0）.
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象经过A，B，C三点，且A（－1，0），
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋3x＋4.
（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得PA＋PC的长度最短.点P的坐标为（，），理由：
∵y＝－x2＋3x＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝.
设抛物线的对称轴与直线BC交于点P，
∵直线x＝为线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，
∴此时点P使得PA＋PC的长度最短.
令x＝，则y＝－＋4＝.
∴在抛物线的对称轴上，存在点P，使得PA＋PC的长度最短，点P的坐标为（，）.
