1.4 二次函数与一元二次方程的联系
@基础分点训练
知识点1 二次函数的图象与一元二次方程根的关系
1.抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若二次函数y＝7x2－7x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ D ）
A.m＞ B.m≥
C.m＜ D.m≤
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是（ A ）
A.x1＝－3，x2＝1
B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3
D.x＝－2
4.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的坐标分别为（－1，0），（3，0），则一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根为 x1＝－1，x2＝3 .
知识点2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根
5.根据抛物线y＝x2－3x＋1与x轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（ D ）
A.x3＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝0
6.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，－0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解可能是（ C ）
A.－0.51
B.2.18
C.2.45
D.2.68
7.下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（ C ）
A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18
C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20
知识点3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
8.【教材P26例2变式】为使自己在即将到来的体育达标测试推铅球项目中取得好成绩，初三某学生在体育课练习推铅球，某次投掷路线如图所示，铅球在点A处出手，在点B处落地，它的运行路线是一条抛物线，若在平面直角坐标系中，这条抛物线的关系式为y＝－x2＋x＋.若体育达标测试推铅球项目的合格成绩是9m，请你分析一下该学生此次投掷是否合格，并说明你的理由（单位：m）.
解：该学生此次投掷合格，理由：
由题意，得y＝0时，有0＝－x2＋x＋，
解得x1＝10，x2＝－2（舍去），
故该学生掷铅球10m，
∵体育达标测试推铅球项目的合格成绩是9m，
∴该同学此次投掷合格.
@中档提分训练
9.抛物线y＝2x2－3x＋1与坐标轴的交点个数是（ D ）
A.0 B.1
C.2 D.3
10.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为3，一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有实数根，则m的取值范围是（ C ）
A.m≥3
B.m≥－3
C.m≤3
D.m≤－3
11.（易错题）若函数y＝（a－1）x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 －1或2或1 .
12.将一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t－5t2（0≤t≤4）.
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m米，求m的取值范围.
解：（1）当h＝10时，20t－5t2＝10，
即t2－4t＋2＝0.
解得t1＝2＋，t2＝2－.
即当足球距离地面的高度为10米时，t的值为2＋或2－.
（2）根据题意，得t1和t2是方程20t－5t2＝m（m≥0）的两个不相等的实数根，方程化为一般形式为5t2－20t＋m＝0.则Δ＝（－20）2－4×5m＞0.解得m＜20.
∴m的取值范围是0≤m＜20.
@拓展素养训练
13.（湘潭模拟）已知关于x的二次函数y＝mx2＋（3m＋1）x＋3.
（1）求证：不论m为任何实数，方程mx2＋（3m＋1）x＋3＝0总有实数根；
（2）若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试求此抛物线的表达式；
（3）若点P（x1，y1）与Q（x1＋n，y2）在（2）中抛物线上（点P，Q不重合），且y1＝y2，直接写出代数式4＋12x1n＋5n2＋16n＋8的值.
解：（1）证明：∵函数y＝mx2＋（3m＋1）x＋3为二次函数，∴m≠0，
∵Δ＝（3m＋1）2－12m＝（3m－1）2≥0，
∴不论m为任何实数，方程mx2＋（3m＋1）x＋3＝0总有实数根.
（2）令y＝0，得mx2＋（3m＋1）x＋3＝0，
解得x1＝－3，x2＝－，
∴抛物线与x轴的交点为（－3，0），（－，0），
∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3.
（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1＋n，y2）在抛物线y＝x2＋4x＋3上，
∴y1＝＋4x1＋3，y2＝＋4（x1＋n）＋3，
∵y1＝y2，
∴＋4x1＋3＝＋4（x1＋n）＋3，
整理得2x1n＋n2＋4n＝0.
∴n（2x1＋n＋4）＝0.
∵点P，Q不重合，∴n≠0.
∴2x1＝－n－4.
∴4＋12x1n＋5n2＋16n＋8＝（2x1＋3n）2－（2n－4）2＋24＝（3n－n－4）2－（2n－4）2＋24＝24.1.4 二次函数与一元二次方程的联系
@基础分点训练
知识点1 二次函数的图象与一元二次方程根的关系
1.抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若二次函数y＝7x2－7x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A.m＞ B.m≥
C.m＜ D.m≤
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是（ ）
A.x1＝－3，x2＝1
B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3
D.x＝－2
4.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的坐标分别为（－1，0），（3，0），则一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根为 .
知识点2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根
5.根据抛物线y＝x2－3x＋1与x轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（ ）
A.x3＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝0
6.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，－0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解可能是（ ）
A.－0.51
B.2.18
C.2.45
D.2.68
7.下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（ ）
A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18
C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20
知识点3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
8.【教材P26例2变式】为使自己在即将到来的体育达标测试推铅球项目中取得好成绩，初三某学生在体育课练习推铅球，某次投掷路线如图所示，铅球在点A处出手，在点B处落地，它的运行路线是一条抛物线，若在平面直角坐标系中，这条抛物线的关系式为y＝－x2＋x＋.若体育达标测试推铅球项目的合格成绩是9m，请你分析一下该学生此次投掷是否合格，并说明你的理由（单位：m）.
@中档提分训练
9.抛物线y＝2x2－3x＋1与坐标轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
10.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为3，一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m≥3
B.m≥－3
C.m≤3
D.m≤－3
11.（易错题）若函数y＝（a－1）x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
12.将一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t－5t2（0≤t≤4）.
（1）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
（2）若存在实数t1，t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m米，求m的取值范围.
@拓展素养训练
13.（湘潭模拟）已知关于x的二次函数y＝mx2＋（3m＋1）x＋3.
（1）求证：不论m为任何实数，方程mx2＋（3m＋1）x＋3＝0总有实数根；
（2）若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试求此抛物线的表达式；
（3）若点P（x1，y1）与Q（x1＋n，y2）在（2）中抛物线上（点P，Q不重合），且y1＝y2，直接写出代数式4＋12x1n＋5n2＋16n＋8的值.
