1.5 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决实物抛物线形问题、面积问题
@基础分点训练
知识点1 利用二次函数解决实物抛物线形问题
1.【教材P29“动脑筋”变式】河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为（ B ）
A.－20 m B.20 m
C.10 m D.－10 m
2.【模型观念】小明在周末外出的路上经过某隧道，他想知道该隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋c，如果AB＝8m，AD＝2m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为（ C ）
A.8m B.7m C.6m D.5m
3.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13 cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋6的一部分，则杯口的口径AC长为 7 cm.
知识点2 利用二次函数解决面积最值问题
4.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（ B ）
A.25cm2 B.50cm2
C.100cm2 D.无法确定
5.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，若抽屉的底面周长为180cm，高为20cm.当底面的宽为 45 cm时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3.（材质及其厚度等忽略不计）
6.如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），求这个围栏的最大面积.
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16－2x）m，
∴矩形围栏的面积S＝x（16－2x）＝－2x2＋16x＝－2（x－4）2＋32，
∵－2＜0，
∴当x＝4时，矩形围栏有最大面积为32m2.
@中档提分训练
7.【教材P30“动脑筋”变式】如图，用长6m的铝合金制成“日”字形矩形窗户（铝合金条的宽度忽略不计），那么这个窗户的最大透光面积是（ C ）
A.m2 B.1m2
C.m2 D.3m2
8.如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18 s时和28 s时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 46 s.
9.【应用意识】在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20 m，宽10 m的场地进行布置，设计方案如图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4 m，且不大于8 m.设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
解：（1）根据题意得：y＝20×10－4××
＝200－（20－x）（10－x）
＝200－200＋30x－x2
＝－x2＋30x，
∴y与x的函数关系式为y＝－x2＋30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝－x2＋30x＝－（x－15）2＋225，
∵－1＜0，
∴当x＜15时，y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为y＝－82＋30×8＝176，
∴当x取8 m时，活动区面积最大，最大面积是176 m2.
@拓展素养训练
10.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC＝4.5m），建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出大孔抛物线的表达式；
（2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽4m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由.
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF.
解：（1）设大孔抛物线的表达式为y＝ax2＋6，
把点A（－10，0）代入表达式，得100a＋6＝0，
解得a＝－.
∴大孔抛物线的表达式为y＝－x2＋6.
（2）能，理由：∵大孔抛物线的表达式为y＝－x2＋6，
当x＝2时，y＝－×22＋6＝5.76＞2＋3＝5，
∴该巡逻船能安全通过大孔.
（3）∵NC＝4.5，∴点F的纵坐标为4.5，
∴当y＝4.5时，得－x2＋6＝4.5，
解得x1＝5，x2＝－5.
由抛物线对称性可知点E（－5，4.5），点F（5，4.5），
∴EF＝5－（－5）＝10（m）.
答：大孔的水面宽度EF为10m.
第2课时 利用二次函数解决销售利润及其他问题
@基础分点训练
知识点1 利用二次函数解决销售利润问题
1.（岳麓区校级月考）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件.若想获得最大利润，则定价x应为（ D ）
A.35元 B.45元
C.55元 D.65元
2.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ D ）
A.50元 B.90元
C.80元 D.70元
3.【新素材】巴黎奥运会于2024年7月26日如约而至，某商家看准商机，进行奥运会吉祥物“弗里热”纪念品的销售，每个纪念品进价40元.规定销售单价不低于44元，且不高于60元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售.经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2 640元；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
解：（1）设每件纪念品销售价上涨x元，
根据题意得：（x＋44－40）（300－10x）＝2 640，
整理得：（x－8）（x－18）＝0，
解得x1＝8，x2＝18，
∵销售单价不高于60元，
∴x＝8，
即销售单价为44＋8＝52（元）.
（2）根据题意得：w＝（x＋44－40）（300－10x）
＝－10x2＋260x＋1 200
＝－10（x－13）2＋2 890，
∵－10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝13，
∴当x＝13时，w最大，最大值为2 890，
∵13＋44＝57＜60，
∴当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2 890元.
知识点2 利用二次函数解决其他问题
4.【教材P32T5变式题】一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
∴
解得
∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10；
（2）在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得
0＝－x2＋2x＋10，
解得x＝＋1或x＝－＋1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（＋1）米.
@中档提分训练
5.生产季节性产品的企业，当产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是（ D ）
A.1月，2月
B.1月，2月，3月
C.3月，12月
D.1月，2月，3月，12月
6.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（ B ）
A.足球被踢出8 s时落地
B.足球飞行路线的对称轴是直线t＝
C.足球距离地面的最大高度为20 m
D.足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m
7.（济宁中考改编）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，销售单价应为 116 元时，商场获得利润最大.
@拓展素养训练
8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分.
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2，
∴C1的最高点坐标为（3，2），
∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2上，
∴1＝a（6－3）2＋2，∴a＝－，
∴抛物线C1的表达式为y＝－（x－3）2＋2，当x＝0时，c＝1.
（2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），
当经过（5，1）时，1＝－×52＋×5＋1＋1，
解得n＝；当经过（7，1）时，1＝－×72＋×7＋1＋1，解得n＝，∴≤n≤，
∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5.1.5 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决实物抛物线形问题、面积问题
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知识点1 利用二次函数解决实物抛物线形问题
1.【教材P29“动脑筋”变式】河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.－20 m B.20 m
C.10 m D.－10 m
2.【模型观念】小明在周末外出的路上经过某隧道，他想知道该隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋c，如果AB＝8m，AD＝2m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为（ ）
A.8m B.7m C.6m D.5m
3.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13 cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋6的一部分，则杯口的口径AC长为 cm.
知识点2 利用二次函数解决面积最值问题
4.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A.25cm2 B.50cm2
C.100cm2 D.无法确定
5.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，若抽屉的底面周长为180cm，高为20cm.当底面的宽为 cm时，抽屉的体积最大，最大为 cm3.（材质及其厚度等忽略不计）
6.如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），求这个围栏的最大面积.
@中档提分训练
7.【教材P30“动脑筋”变式】如图，用长6m的铝合金制成“日”字形矩形窗户（铝合金条的宽度忽略不计），那么这个窗户的最大透光面积是（ ）
A.m2 B.1m2
C.m2 D.3m2
8.如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18 s时和28 s时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 s.
9.【应用意识】在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20 m，宽10 m的场地进行布置，设计方案如图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4 m，且不大于8 m.设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
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10.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC＝4.5m），建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出大孔抛物线的表达式；
（2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽4m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由.
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF.
第2课时 利用二次函数解决销售利润及其他问题
@基础分点训练
知识点1 利用二次函数解决销售利润问题
1.（岳麓区校级月考）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件.若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A.35元 B.45元
C.55元 D.65元
2.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）
A.50元 B.90元
C.80元 D.70元
3.【新素材】巴黎奥运会于2024年7月26日如约而至，某商家看准商机，进行奥运会吉祥物“弗里热”纪念品的销售，每个纪念品进价40元.规定销售单价不低于44元，且不高于60元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售.经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2 640元；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
知识点2 利用二次函数解决其他问题
4.【教材P32T5变式题】一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
@中档提分训练
5.生产季节性产品的企业，当产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A.1月，2月
B.1月，2月，3月
C.3月，12月
D.1月，2月，3月，12月
6.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（ ）
A.足球被踢出8 s时落地
B.足球飞行路线的对称轴是直线t＝
C.足球距离地面的最大高度为20 m
D.足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m
7.（济宁中考改编）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，销售单价应为 元时，商场获得利润最大.
@拓展素养训练
8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分.
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
