2.1 圆的对称性
@基础分点训练
知识点1 圆的有关概念
1.下列说法正确的是（ ）
A.半圆是弧，弧也是半圆
B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C.弦是直径
D.直径是圆中最长的弦
2.已知☉O的半径是6cm，则☉O中最长的弦长是（ ）
A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm
3.【教材P46习题T1变式】如图，AB是☉O的直径，则图中的弦有 条，分别是 ；劣弧有 条，分别是 .
第3题图
4.如图，MN是☉O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为 .
第4题图
知识点2 点与圆的位置关系
5.若☉O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与☉O的位置关系为（ ）
A.点A在圆上 B.点A在圆内
C.点A在圆外 D.无法确定
6.已知☉O的半径为6，点P在☉O内，则OP的长可能是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知☉O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，若点P的坐标为（3，－4），则点P与☉O的位置关系是（ ）
A.点P在☉O外
B.点P在☉O上
C.点P在☉O内
D.无法确定
8.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点 在圆内，点 在圆上，点 在圆外.
知识点3 圆的对称性
9.下列说法中，不正确的是（ ）
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆的每一条直径都是它的对称轴
C.圆有无数条对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
10.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则阴影部分的面积之和为 （结果保留π）.
@中档提分训练
11.下列说法中正确的个数有（ ）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.在平面直角坐标系中，☉O的圆心在原点，半径为2，则下列各点在☉O上的是（ ）
A.（1，1） B.（－1，）
C.（－2，－1） D.（，－2）
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB的长为半径画圆，则斜边AB的中点D与☉C的位置关系是 .
14.【易错题】点P到☉O上各点的最大距离为10cm，最小距离为8cm，则☉O的半径为 cm.
15.【教材P46习题T3变式】如图，△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm长为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和☉D的位置关系.
16.如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，连接BC，EF，NH，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，求证：a＝b＝c.
@拓展素养训练
17.【新定义试题】如图1，☉O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP'·OP＝r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.如图2，☉O的半径为2，点B在☉O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A'是点A关于☉O的反演点，点B'是点B关于☉O的反演点，求A'B'的长.
图1
图22.1 圆的对称性
@基础分点训练
知识点1 圆的有关概念
1.下列说法正确的是（ D ）
A.半圆是弧，弧也是半圆
B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C.弦是直径
D.直径是圆中最长的弦
2.已知☉O的半径是6cm，则☉O中最长的弦长是（ B ）
A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm
3.【教材P46习题T1变式】如图，AB是☉O的直径，则图中的弦有 2 条，分别是 弦AB，弦CD ；劣弧有 5 条，分别是 ，，，， .
第3题图
4.如图，MN是☉O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为 80° .
第4题图
知识点2 点与圆的位置关系
5.若☉O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与☉O的位置关系为（ C ）
A.点A在圆上 B.点A在圆内
C.点A在圆外 D.无法确定
6.已知☉O的半径为6，点P在☉O内，则OP的长可能是（ A ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知☉O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，若点P的坐标为（3，－4），则点P与☉O的位置关系是（ B ）
A.点P在☉O外
B.点P在☉O上
C.点P在☉O内
D.无法确定
8.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点 O 在圆内，点 B，D 在圆上，点 C 在圆外.
知识点3 圆的对称性
9.下列说法中，不正确的是（ B ）
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆的每一条直径都是它的对称轴
C.圆有无数条对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
10.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则阴影部分的面积之和为 2π （结果保留π）.
@中档提分训练
11.下列说法中正确的个数有（ B ）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.在平面直角坐标系中，☉O的圆心在原点，半径为2，则下列各点在☉O上的是（ B ）
A.（1，1） B.（－1，）
C.（－2，－1） D.（，－2）
13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB的长为半径画圆，则斜边AB的中点D与☉C的位置关系是 点D在☉C上 .
14.【易错题】点P到☉O上各点的最大距离为10cm，最小距离为8cm，则☉O的半径为 1或9 cm.
15.【教材P46习题T3变式】如图，△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm长为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和☉D的位置关系.
解：连接DM，DN.
∵△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝AB＝3 cm，BD＝CD＝3 cm.
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴DM＝DN＝AB＝3 cm，
∴点A，M，N在☉D上，点B，C在☉D外.
16.如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，连接BC，EF，NH，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，求证：a＝b＝c.
证明：如图，连接AO，DO，MO.
∵AO，DO，MO为半圆O的半径，∴AO＝DO＝MO.
∵四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，
∴BC＝AO，EF＝DO，NH＝MO.
∴BC＝EF＝NH，即a＝b＝c.
@拓展素养训练
17.【新定义试题】如图1，☉O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP'·OP＝r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.如图2，☉O的半径为2，点B在☉O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A'是点A关于☉O的反演点，点B'是点B关于☉O的反演点，求A'B'的长.
图1
图2
解：设OA与☉O相交于点C，
∵点A'是点A关于☉O的反演点，点B'是点B关于☉O的反演点，☉O的半径为2，OA＝4，OB＝2，
∴OA'·OA＝22，OB'·OB＝22，
∴OA'＝1，OB'＝2，A'C＝OC－OA'＝1，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
又∵OA'＝A'C，
∴A'B'⊥OC，
∴A'B'＝＝.
