2.2.1 圆心角
@基础分点训练
知识点1 认识圆心角
1.下列四个图中，∠ACB是圆心角的是（ B ）
A B C D
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系
2.如图，在☉O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
第2题图
（1）若AC＝BC，则＝ ，∠AOC＝ ∠BOC ；
（2）若＝，则AC＝ BC ，∠AOC＝ ∠BOC ；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则＝ ，AC＝ BC .
3.如图，在☉O中，＝，∠A＝30°，则∠B的度数是（ B ）
第3题图
A.150° B.75° C.60° D.15°
4.如图，已知A，B，C，D是☉O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有（ D ）
①＝；
②＝；
③AC＝BD；
④∠BOD＝∠AOC.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，AB＝CD.求证：AD＝BC.
证明：∵AB＝CD，
∴＝，
即＋＝＋.
∴＝.∴AD＝BC.
6.【教材P48例1变式】如图，在☉O中，＝，∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵＝，
∴∠AOB＝∠AOC.
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC是等边三角形.
知识点3 求圆心角的度数
7.如图，在☉O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ A ）
A.40° B.45° C.50° D.60°
第7题图
8.（永州模拟）如图，AB是☉O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ D ）
第8题图
A.51° B.56° C.68° D.75°
@中档提分训练
9.如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为（ C ）
第9题图
A.100° B.110° C.120° D.135°
10.如图，在☉O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中，正确的个数为（ D ）
第10题图
①∠DOE＝∠AOB；②＝；
③OF＝OC；④AC＝EF.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在☉O中，＝2，则下列结论正确的是（ C ）
A.AB＞2CD B.AB＝2CD
C.AB＜2CD D.以上都不正确
12.如图，A，B是半径为3的☉O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于 12 .
13.如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交☉A于点G.
（1）求证：＝；
证明：连接AF.
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴＝.
（2）若的度数为50°，求∠C的度数.
解：∵的度数为50°，
∴∠BAF＝50°，
∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB＝（180°－∠BAF）＝×（180°－50°）＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠C＝180°－∠B＝180°－65°＝115°.
@拓展素养训练
14.如图，MN为☉O的直径，已知A是半圆上的一个三等分点，B是的中点，P是半径ON上的动点，若☉O的半径为1，求AP＋BP的最小值.
解：作点B关于MN的对称点E，根据圆的对称性，则E必在圆上，连接AE交MN于点P，此时PA＋PB最小，PA＋PB＝PA＋PE＝AE，
连接OE，
由对称性可得＝，
∵A是半圆的三等分点，∴∠AON＝60°，
∵B是的中点，
∴∠NOE＝∠AON＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝45°，
∴∠OEA＝∠OAE＝45°，
∴AE＝OA＝×1＝，
即AP＋BP的最小值是.2.2.1 圆心角
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知识点1 认识圆心角
1.下列四个图中，∠ACB是圆心角的是（ ）
A B C D
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系
2.如图，在☉O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
第2题图
（1）若AC＝BC，则＝ ，∠AOC＝ ；
（2）若＝，则AC＝ ，∠AOC＝ ；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则＝ ，AC＝ .
3.如图，在☉O中，＝，∠A＝30°，则∠B的度数是（ ）
第3题图
A.150° B.75° C.60° D.15°
4.如图，已知A，B，C，D是☉O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有（ ）
①＝；
②＝；
③AC＝BD；
④∠BOD＝∠AOC.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，AB＝CD.求证：AD＝BC.
6.【教材P48例1变式】如图，在☉O中，＝，∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形.
知识点3 求圆心角的度数
7.如图，在☉O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A.40° B.45° C.50° D.60°
第7题图
8.（永州模拟）如图，AB是☉O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ ）
第8题图
A.51° B.56° C.68° D.75°
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9.如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为（ ）
第9题图
A.100° B.110° C.120° D.135°
10.如图，在☉O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中，正确的个数为（ ）
第10题图
①∠DOE＝∠AOB；②＝；
③OF＝OC；④AC＝EF.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在☉O中，＝2，则下列结论正确的是（ ）
A.AB＞2CD B.AB＝2CD
C.AB＜2CD D.以上都不正确
12.如图，A，B是半径为3的☉O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于 .
13.如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交☉A于点G.
（1）求证：＝；
（2）若的度数为50°，求∠C的度数.
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14.如图，MN为☉O的直径，已知A是半圆上的一个三等分点，B是的中点，P是半径ON上的动点，若☉O的半径为1，求AP＋BP的最小值.
