2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1
@基础分点训练
知识点1 认识圆周角
1.下列图形中的角是圆周角的是（ A ）
A B C D
知识点2 圆周角定理
2.（湖南中考）如图，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ C ）
A.60° B.75° C.90° D.135°
第2题图
3.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点.若∠BOC＝66°，则∠A＝（ B ）
第3题图
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.如图，AB是☉O的直径，点C，D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝ 124 °.
第4题图
5.如图，点A，B，C是☉O上的三点，如果∠OBC＝50°，那么∠A的度数是 40° .
第5题图
知识点3 圆周角定理的推论1
6.（长沙模拟）如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ A ）
第6题图
A.32° B.42° C.48° D.52°
7.（南充中考）如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ 75 度.
第7题图
8.如图，已知A，B，C，D是☉O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
@中档提分训练
9.如图，点A，B，C，D在☉O上，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（ C ）
第9题图
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第10题图
A.70° B.105° C.125° D.155°
11.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为（ D ）
第11题图
A. B. C. D.
12.如图，☉O的半径为1，△ABC内接于☉O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ .
第12题图
13.如图，A，B，C为☉O上的点，＝2，AC与OB相交于点D.若所对圆心角的度数为36°.求证：
（1）AB∥OC；
（2）AD＝AB.
解：（1）证明：连接OA.
由题意得∠AOB＝36°.
∵OA＝OB.
∴∠OBA＝∠OAB＝（180°－∠AOB）＝72°.
∵＝2.
∴∠BOC＝2∠AOB＝2×36°＝72°.
∴∠BOC＝∠OBA.
∴AB∥OC.
（2）由（1）知∠ABD＝∠BOC＝72°.
∴∠BAC＝∠BOC＝36°.
∴∠ADB＝180°－∠ABD－∠BAC＝180°－72°－36°＝72°.
∴∠ADB＝∠ABD.
∴AD＝AB.
14.如图，点A，B，C，D在☉O上，点E在线段AC上，EC＝BC＝DC.
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2.
解：（1）∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝39°，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝39°＋39°＝78°；
（2）证明：∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠CAB，
∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2.
@拓展素养训练
15.如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD＝2FO.
证明：（1）连接OB，则∠BAE＝∠BOC，
∵OF⊥BC，OB＝OC，
∴∠COF＝∠BOC，
∴∠BAE＝∠COF，
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠OFC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△OFC.
（2）∵△AEB∽△OFC，
∴＝，
由圆周角定理，得∠D＝∠BCE，∠DAE＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝，∴＝，
∵OF⊥BC，∴BC＝2FC，
∴AD＝·FO＝2FO.
2.2.2 圆周角 第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
@基础分点训练
知识点1 圆周角定理的推论2
1.如图，AB是☉O的直径，AC，BC是☉O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ A ）
A.70°
B.90°
C.40°
D.60°
2.【教材P52练习T1变式】从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ B ）
A B
C D
3.如图，BC是☉O的直径，点A是☉O上的一点，∠OAC＝35°，则∠B的度数是（ A ）
第3题图
A.55° B.60° C.70° D.65°
4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆形玻璃镜的半径是（ B ）
第4题图
A.cm B.5cm
C.6cm D.10cm
5.【数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是（ C ）
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
6.如图，在半径为5cm的☉O中，AB为☉O的直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.
解：∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，
∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×＝5（cm）.
∴弦BD的长为5cm.
知识点2 圆内接四边形的性质
7.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 80° .
第7题图
8.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点，若∠A＝75°，则∠DCE＝ 75° .
第8题图
9.如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD的度数为 140° .
10.若四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠D＝ 90 °.
@中档提分训练
11.（湖北中考）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP.则∠ABP＝（ C ）
第11题图
A.40° B.25° C.20° D.15°
12.如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是（ A ）
第12题图
A.25° B.30° C.35° D.40°
13.如图，半径为3的☉A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧☉A优弧上一点，则tan∠OBC为（ D ）
第13题图
A. B.2 C. D.
14.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则☉O的半径等于 2 .
第14题图
15.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度.
解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为☉O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，∴＝，
∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2.
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝.
即CD的长为.
@拓展素养训练
16.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E.
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD.
∵＝，∴∠ACD＝∠BAD.
∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE.
（2）∵AC为☉O直径，∴∠ADC＝90°.
∵DE⊥BE，∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC.
∵由（1），知∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD.
∴＝，即＝，
∴CD＝3.2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1
@基础分点训练
知识点1 认识圆周角
1.下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A B C D
知识点2 圆周角定理
2.（湖南中考）如图，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A.60° B.75° C.90° D.135°
第2题图
3.如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点.若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
第3题图
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.如图，AB是☉O的直径，点C，D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝ °.
第4题图
5.如图，点A，B，C是☉O上的三点，如果∠OBC＝50°，那么∠A的度数是 .
第5题图
知识点3 圆周角定理的推论1
6.（长沙模拟）如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
第6题图
A.32° B.42° C.48° D.52°
7.（南充中考）如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ 度.
第7题图
8.如图，已知A，B，C，D是☉O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
@中档提分训练
9.如图，点A，B，C，D在☉O上，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（ ）
第9题图
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）
第10题图
A.70° B.105° C.125° D.155°
11.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为（ ）
第11题图
A. B. C. D.
12.如图，☉O的半径为1，△ABC内接于☉O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ .
第12题图
13.如图，A，B，C为☉O上的点，＝2，AC与OB相交于点D.若所对圆心角的度数为36°.求证：
（1）AB∥OC；
（2）AD＝AB.
14.如图，点A，B，C，D在☉O上，点E在线段AC上，EC＝BC＝DC.
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2.
@拓展素养训练
15.如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD＝2FO.
2.2.2 圆周角 第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
@基础分点训练
知识点1 圆周角定理的推论2
1.如图，AB是☉O的直径，AC，BC是☉O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A.70°
B.90°
C.40°
D.60°
2.【教材P52练习T1变式】从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A B
C D
3.如图，BC是☉O的直径，点A是☉O上的一点，∠OAC＝35°，则∠B的度数是（ ）
第3题图
A.55° B.60° C.70° D.65°
4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆形玻璃镜的半径是（ ）
第4题图
A.cm B.5cm
C.6cm D.10cm
5.【数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是（ ）
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
6.如图，在半径为5cm的☉O中，AB为☉O的直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.
知识点2 圆内接四边形的性质
7.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 .
第7题图
8.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点，若∠A＝75°，则∠DCE＝ .
第8题图
9.如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD的度数为 .
10.若四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠D＝ °.
@中档提分训练
11.（湖北中考）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP.则∠ABP＝（ ）
第11题图
A.40° B.25° C.20° D.15°
12.如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是（ ）
第12题图
A.25° B.30° C.35° D.40°
13.如图，半径为3的☉A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧☉A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
第13题图
A. B.2 C. D.
14.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则☉O的半径等于 .
第14题图
15.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度.
@拓展素养训练
16.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E.
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长.
