2.3 垂径定理
@基础分点训练
知识点1 垂径定理
1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ D ）
第1题图
A.CM＝DM B.＝C.∠ACD＝∠ADC D.OM＝BM
2.（长沙中考）如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为（ B ）
第2题图
A.4 B.4 C.5 D.5
3.如图，在☉O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ D ）
第3题图
A.25° B.30° C.40° D.50°
4.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝10，CD＝8，则AE的长是 2 .
第4题图
5.【教材P59例1变式】如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝2，AE＝5，则☉O的直径AB＝ 5.2 .
第5题图
知识点2 垂径定理的实际应用
6.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（ B ）
第6题图
A.4 B.3 C.2 D.1
7.【地方特色】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则☉O的半径OA为 13 cm.
8.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在☉O的半径r.
解：∵弓形的跨度AB＝3 m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，
∴AF＝AB＝ m，
∵所在☉O的半径为r，弓形的高EF＝1 m，
∴AO＝r，OF＝r－1，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：
AO2＝AF2＋OF2，
即r2＝＋（r－1）2，
解得r＝（m）.
答：所在☉O的半径为 m.
@中档提分训练
9.如图，☉O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ A ）
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5
10.（凉山州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为（ C ）
A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
11.如图，AB是☉O的直径，E是弦CD的中点，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ D ）
A.8 B.2 C.3 D.4
12.【分类讨论思想】已知☉O的半径是10cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm.
13.【跨学科·地理】数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6 400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53）
图1
图2
图3
根据以上信息，小组成员小琪过点O作OK⊥BC，如图3，请你根据这些信息求北纬28°纬线的长度约为多少千米.
解：∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∴∠B＝∠AOB＝28°，
∴BK＝OB·cos B≈6 400×0.88＝5 632（千米），
∴北纬28°的纬线长＝2π·BK≈2×3×5 632＝33 792（千米）.
∴北纬28°纬线的长度约为33 792千米.
@拓展素养训练
14.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，BC＝，求☉O的半径.
解：（1）证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，
∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，连接BD，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC.∴BD＝BC.
∵AB＝4，BC＝，
∴BE＝2，DB＝，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴DE＝＝＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB－1）2＋22，
解得OB＝.∴☉O的半径是.2.3 垂径定理
@基础分点训练
知识点1 垂径定理
1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
第1题图
A.CM＝DM B.＝C.∠ACD＝∠ADC D.OM＝BM
2.（长沙中考）如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为（ ）
第2题图
A.4 B.4 C.5 D.5
3.如图，在☉O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
第3题图
A.25° B.30° C.40° D.50°
4.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝10，CD＝8，则AE的长是 .
第4题图
5.【教材P59例1变式】如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝2，AE＝5，则☉O的直径AB＝ .
第5题图
知识点2 垂径定理的实际应用
6.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
第6题图
A.4 B.3 C.2 D.1
7.【地方特色】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则☉O的半径OA为 cm.
8.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在☉O的半径r.
@中档提分训练
9.如图，☉O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ ）
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5
10.（凉山州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为（ ）
A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
11.如图，AB是☉O的直径，E是弦CD的中点，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A.8 B.2 C.3 D.4
12.【分类讨论思想】已知☉O的半径是10cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
13.【跨学科·地理】数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6 400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53）
图1
图2
图3
根据以上信息，小组成员小琪过点O作OK⊥BC，如图3，请你根据这些信息求北纬28°纬线的长度约为多少千米.
@拓展素养训练
14.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，BC＝，求☉O的半径.
