2.5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
@基础分点训练
知识点 切线的判定
1.下列说法中，不正确的是（ D ）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
2.（岳阳模拟）如图，A是☉O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与☉O的位置关系是（ B ）
第2题图
A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定
3.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ D ）
第3题图
A.以OA的长为半径的圆
B.以OB的长为半径的圆
C.以OC的长为半径的圆
D.以OD的长为半径的圆
4.如图，△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.若AB为直径，要使EF是☉O的切线，则还需添加的条件是（ B ）
A.∠CAE＝∠B
B.∠CAF＝∠B
C.∠CAB＝∠B
D.AB＝3BC
5.如图，△ABC的一边AB是☉O的直径，请添加一个条件，使BC是☉O的切线，所添加的条件为 ∠ABC＝90°（答案不唯一） .
第5题图
6.如图，A，B是☉O上两点，AC是过点A的一条直线，若∠AOB＝120°，则当∠CAB＝ 60° 时，AC是☉O的切线.
第6题图
7.如图，点A，B，D在☉O上，∠BAD＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，若∠OCB＝40°，则直线BC与☉O的位置关系为 相切 .
8.如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，AD为☉O的弦，连接BD，OD，∠A＝∠B＝30°.求证：直线BD是☉O的切线.
证明：∵OA＝OD，∠A＝30°，∴∠ADO＝∠A＝30°，
∴∠DOB＝∠A＋∠ADO＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠B＝90°，∴OD⊥BD.
又∵OD是☉O的半径，且BD经过点D，
∴直线BD是☉O的切线.
@中档提分训练
9.如图， 在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB为直径的☉O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件， 使BC是☉O的切线， 则下列四个条件中不符合的是（ D ）
第9题图
A.DE⊥AB
B.∠EDB＝28°
C.∠ADE＝∠ABDD.OB＝BC
10.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作☉O，要使射线BA与☉O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ B ）
第10题图
A.40°或80°
B.50°或110°
C.50°或100°
D.60°或120°
11.如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，☉O的半径为3.求证：AB是☉O的切线.
证明：过O作OC⊥AB于点C，
∵OA＝OB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4.
在Rt△OAC中，
OC＝＝＝3，
∵☉O的半径为3，
∴OC为☉O的半径，且AB经过点C.
∴AB是☉O的切线.
@拓展素养训练
12.（广元中考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，☉O经过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E.
（1）求证：DE为☉O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求☉O的半径.
解：（1）证明：连接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，∴∠COD＋∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE为☉O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH＝AB＝2，
∵tan∠CFD＝＝2，
∴FH＝，
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＋FH2，∴CF＝，
∴tan∠CFD＝＝＝＝2，
∴OD＝.
故☉O的半径为.
2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质
@基础分点训练
知识点 切线的性质
1.如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（ D ）
第1题图
A.8 B.7 C.10 D.6
2.如图，AB与☉O相切于点C，AO＝3，☉O的半径为2，则AC的长为 .
第2题图
3.如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是☉O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 62°或118° .
第3题图
4.如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，BC与☉O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 50° .
第4题图
5.如图是两个同心圆，其中大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 8 cm.
6.如图，AB是☉O的直径，AD平分∠BAC且交☉O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AE.
证明：连接OD.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，且DE交AC延长线于点E，
∴∠EAD＝∠OAD.∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，∴∠E＋∠ODE＝180°.
∵DE是☉O的切线，OD为☉O的半径，
∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°，
∴DE⊥AE.
7.如图，AB为☉O的直径，PD切☉O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.
（1）求∠D的度数；
（2）若☉O的半径为1，求BD的长.
解：（1）∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO.
∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A，
∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COD.
∵PD切☉O于点C，
∴∠OCD＝90°.
∴∠D＝∠COD＝45°.
（2）∵∠D＝∠COD，OC＝OB＝1，
∴CD＝OC＝1.
在Rt△OCD中，OD＝＝，
∴BD＝OD－OB＝－1.
@中档提分训练
8.如图，AB切☉O于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ C ）
A.25°
B.35°
C.40°
D.45°
9.（长沙模拟）如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，连接OC交☉O于点D，连接BD，∠C＝30°，AB＝12，则BD的长为（ B ）
A.6
B.6
C.10
D.10
10.【数学文化】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.
问题：此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M，N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为 （8－2） 丈.
11.如图，PA与☉O相切于点A，PO交☉O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 .
@拓展素养训练
12.（北京中考）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC.
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交☉O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若＝，PE＝1，求☉O半径的长.
解：（1）证明：连接AC交OD于H，
∵AB是☉O的直径，
∴AC⊥BC，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
（2）∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，
∴＝
∴设OE＝5x，BC＝6x，
∵AO＝OB，OH∥BC，
∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，
∵PB是☉O的切线，
∴∠OBP＝90°，∴∠PBO＝∠AHO，
∵∠BOP＝∠AOH，
∴△AOH∽△POB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝或x＝0（不合题意舍去），
∴OE＝，
∴☉O半径的长为.2.5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
@基础分点训练
知识点 切线的判定
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
2.（岳阳模拟）如图，A是☉O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与☉O的位置关系是（ ）
第2题图
A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定
3.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
第3题图
A.以OA的长为半径的圆
B.以OB的长为半径的圆
C.以OC的长为半径的圆
D.以OD的长为半径的圆
4.如图，△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.若AB为直径，要使EF是☉O的切线，则还需添加的条件是（ ）
A.∠CAE＝∠B
B.∠CAF＝∠B
C.∠CAB＝∠B
D.AB＝3BC
5.如图，△ABC的一边AB是☉O的直径，请添加一个条件，使BC是☉O的切线，所添加的条件为 .
第5题图
6.如图，A，B是☉O上两点，AC是过点A的一条直线，若∠AOB＝120°，则当∠CAB＝ 时，AC是☉O的切线.
第6题图
7.如图，点A，B，D在☉O上，∠BAD＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，若∠OCB＝40°，则直线BC与☉O的位置关系为 .
8.如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，AD为☉O的弦，连接BD，OD，∠A＝∠B＝30°.求证：直线BD是☉O的切线.
@中档提分训练
9.如图， 在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB为直径的☉O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件， 使BC是☉O的切线， 则下列四个条件中不符合的是（ ）
第9题图
A.DE⊥AB
B.∠EDB＝28°
C.∠ADE＝∠ABDD.OB＝BC
10.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作☉O，要使射线BA与☉O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ ）
第10题图
A.40°或80°
B.50°或110°
C.50°或100°
D.60°或120°
11.如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，☉O的半径为3.求证：AB是☉O的切线.
@拓展素养训练
12.（广元中考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，☉O经过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E.
（1）求证：DE为☉O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求☉O的半径.
2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质
@基础分点训练
知识点 切线的性质
1.如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（ ）
第1题图
A.8 B.7 C.10 D.6
2.如图，AB与☉O相切于点C，AO＝3，☉O的半径为2，则AC的长为 .
第2题图
3.如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是☉O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 .
第3题图
4.如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，BC与☉O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 .
第4题图
5.如图是两个同心圆，其中大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 cm.
6.如图，AB是☉O的直径，AD平分∠BAC且交☉O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AE.
7.如图，AB为☉O的直径，PD切☉O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.
（1）求∠D的度数；
（2）若☉O的半径为1，求BD的长.
@中档提分训练
8.如图，AB切☉O于点B，连接OA交☉O于点C，BD∥OA交☉O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A.25°
B.35°
C.40°
D.45°
9.（长沙模拟）如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，连接OC交☉O于点D，连接BD，∠C＝30°，AB＝12，则BD的长为（ ）
A.6
B.6
C.10
D.10
10.【数学文化】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.
问题：此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M，N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
11.如图，PA与☉O相切于点A，PO交☉O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 .
@拓展素养训练
12.（北京中考）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC.
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交☉O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若＝，PE＝1，求☉O半径的长.
