2.5.3 切线长定理
@基础分点训练
知识点 切线长定理
1.如图，已知PA，PB分别切☉O于点A，B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（ ）
第1题图
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作☉O与MC相切于点D，则CD的长为（ ）
第2题图
A. B. C.2 D.3
3.一把直尺，含60°的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
第3题图
A.3 B.3 C.6 D.6
4.如图，PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，交PA，PB于点C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5.【教材P72练习T2变式】如图，☉O的半径为3 cm，点P到圆心的距离为6 cm，经过点P引☉O的两条切线，这两条切线的夹角为 度.
6.如图，AB为☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与☉O相
于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ .
第6题图
7.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ .
第7题图
8.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长.
@中档提分训练
9.【教材P72练习T1变式】如图，☉O内切于四边形ABCD，若AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A.50 B.52 C.54 D.56
第9题图
10.如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
第10题图
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °.
12.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径，CF是☉O的切线，E为切点，点F在边AD上，BE是☉O的弦，求△CDF的面积.
@拓展素养训练
13.如图，AB是☉O的直径，AM和BN是它的两条切线，过☉O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.
（1）求证：直线CD是☉O的切线；
（2）求证：OA2＝DE·CE.2.5.3 切线长定理
@基础分点训练
知识点 切线长定理
1.如图，已知PA，PB分别切☉O于点A，B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（ B ）
第1题图
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作☉O与MC相切于点D，则CD的长为（ C ）
第2题图
A. B. C.2 D.3
3.一把直尺，含60°的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是（ D ）
第3题图
A.3 B.3 C.6 D.6
4.如图，PA，PB切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，交PA，PB于点C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ A ）
第4题图
A. B. C. D.
5.【教材P72练习T2变式】如图，☉O的半径为3 cm，点P到圆心的距离为6 cm，经过点P引☉O的两条切线，这两条切线的夹角为 60 度.
6.如图，AB为☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与☉O相
于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ 2 .
第6题图
7.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76° .
第7题图
8.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长.
解：∵PA，PB是☉O的切线，
∴AP＝BP.
又∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠PAB＝60°.
∵PA是☉O的切线，∴∠PAC＝90°.
∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
又∵AC是☉O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∴BC＝AC＝OA＝2.
@中档提分训练
9.【教材P72练习T1变式】如图，☉O内切于四边形ABCD，若AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为（ B ）
A.50 B.52 C.54 D.56
第9题图
10.如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ C ）
第10题图
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ 219 °.
12.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径，CF是☉O的切线，E为切点，点F在边AD上，BE是☉O的弦，求△CDF的面积.
解：设AF＝x.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°.
∴DA⊥AB，CB⊥AB.
又∵AB是☉O的直径，
∴AD，BC是☉O的切线.
∵CF是☉O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1.
∴DF＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得
CF2＝CD2＋DF2，即（1＋x）2＝12＋（1－x）2.
解得x＝.
∴DF＝1－x＝.
∴S△CDF＝CD·DF＝×1×＝.
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13.如图，AB是☉O的直径，AM和BN是它的两条切线，过☉O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.
（1）求证：直线CD是☉O的切线；
（2）求证：OA2＝DE·CE.
证明：（1）如图所示，连接OD，OE.在△OAD和△OED中，
∴△OAD≌△OED（SSS）.
∴∠OAD＝∠OED.
∵AM是☉O的切线，∴∠OAD＝90°.
∴∠OED＝90°.
又∵OE是☉O的半径，
∴直线CD是☉O的切线.
（2）过点D作DF⊥BC于点F，则∠DFB＝∠DFC＝90°，
∵AM，BN都是☉O的切线，
∴∠ABF＝∠BAD＝90°.
∴四边形ABFD是矩形.
∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF.
∵CD是☉O的切线，∴DE＝DA，CE＝CB.
∴CF＝CB－BF＝CE－DE.
∵DF2＝CD2－CF2，且CD＝CE＋DE，
∴4OA2＝（CE＋DE）2－（CE－DE）2.
整理，得4OA2＝4DE·CE.
即OA2＝DE·CE.
