2.5.4 三角形的内切圆
@基础分点训练
知识点1 三角形的内切圆、内心及作图
1.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ D ）
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内心，下列作法正确的是（ C ）
A B
C D
3.制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆.
解：作出三角形的角平分线BD，CE，交于点O，
O就是所画圆的圆心.
过O作OF⊥BC于点F，以O为圆心，OF长为半径作☉O.
☉O即为所求的圆.
知识点2 三角形的内切圆、内心的有关计算
4.如图，☉O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ B ）
第4题图
A.65° B.60° C.58° D.50°
5.如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是 70° .
第5题图
6.已知等边三角形ABC的边长为3，则它的内切圆半径为 .
7.【教材P74例6变式】如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.
∴∠OBC＋∠OCB＝（∠ABC＋∠ACB）.
∵∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝100°.
∴∠OBC＋∠OCB＝×100°＝50°.
∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝130°.
8.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，☉O是它的内切圆，求☉O的半径r.
解：BC＝5，AC＝12，由勾股定理，得AB＝13.
连接OA，OB，OC，OF，
由☉O是△ABC的内切圆，可以设OD＝OE＝OF＝r，
∵S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC，
∴×AC×BC＝×AB×OF＋×AC×OE＋×BC×OD.
∴5×12＝13r＋12r＋5r.∴r＝2.
答：☉O的半径r是2.
@中档提分训练
9.如图，点E为△ABC的内心，且EF⊥BC于点F，若∠BAC＝38°，∠B＝56°，则∠AEF的度数为（ C ）
第9题图
A.163° B.164° C.165° D.166°
10.如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠ICD的度数是（ D ）
第10题图
A.50° B.55° C.60° D.65°
11.如图，☉O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，BO的延长线交AC于点D，若BC＝4，CD＝2，则☉O的半径的值是 .
12.如图，△ABC的面积为4，周长为10，求△ABC的内切圆☉O的半径（点E，F，D为切点）.
解：如图，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD.
∵☉O是△ABC的内切圆，点E，F，D为切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC.
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△AOB＋S△OBC＋S△OAC＝S△ABC，
∴AB·r＋BC·r＋AC·r＝4.
∴r·（AB＋BC＋AC）＝4，
即×r×10＝4，解得r＝.
∴△ABC的内切圆☉O的半径为.
@拓展素养训练
13.如图，☉O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交☉O于点D，连接BD，BE.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长.
解：（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC.
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD.
∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠CBD，
∴∠BED＝∠DBE，故DB＝DE.
（2）∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，∴＝①，
设EF＝x，∵DF＝4，AE＝3，
∴DB＝DE＝4＋x，
则①式可化为＝，
解得x1＝2，x2＝－6（不符合题意，舍去）.
经检验，x＝2是原分式方程的根，
则DB＝4＋x＝4＋2＝6.2.5.4 三角形的内切圆
@基础分点训练
知识点1 三角形的内切圆、内心及作图
1.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内心，下列作法正确的是（ ）
A B
C D
3.制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆.
知识点2 三角形的内切圆、内心的有关计算
4.如图，☉O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
第4题图
A.65° B.60° C.58° D.50°
5.如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是 .
第5题图
6.已知等边三角形ABC的边长为3，则它的内切圆半径为 .
7.【教材P74例6变式】如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
8.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，☉O是它的内切圆，求☉O的半径r.
@中档提分训练
9.如图，点E为△ABC的内心，且EF⊥BC于点F，若∠BAC＝38°，∠B＝56°，则∠AEF的度数为（ ）
第9题图
A.163° B.164° C.165° D.166°
10.如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠ICD的度数是（ ）
第10题图
A.50° B.55° C.60° D.65°
11.如图，☉O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，BO的延长线交AC于点D，若BC＝4，CD＝2，则☉O的半径的值是 .
12.如图，△ABC的面积为4，周长为10，求△ABC的内切圆☉O的半径（点E，F，D为切点）.
@拓展素养训练
13.如图，☉O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交☉O于点D，连接BD，BE.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长.
