2.6 弧长与扇形面积
第1课时 弧 长
@基础分点训练
知识点 弧长公式及应用
1.【教材P81习题T1变式】如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线是一条圆弧（如图2所示），圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则的长为（ ）
A.20πcm B.10πcm
C.5πcm D.2πcm
2.已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ）
A.3 B.4 C.9 D.18
4.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点A的运动路径的长为（ ）
第4题图
A.π B.2π C.4π D.8π
5.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）
第5题图
A.8πcm B.16πcm
C.32πcm D.192πcm
6.如图，☉O的半径为2，点A，B，C都在☉O上，若∠B＝30°，则的长为 （结果用含有π的式子表示）.
第6题图
7.【跨学科·物理】如图，用一个半径为8cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留π）.
第7题图
8.如图， 的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.求：
（1）弦AB的长.
（2）的长.
@中档提分训练
9.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
第9题图
A.π B.3πC.2π D.2π－
10.如图， ABCD中，AB为☉O的直径，☉O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为（ ）
第10题图
A. B. C.π D.2π
11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm.
第11题图
12.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 .
第12题图
13.如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D，DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若☉O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
@拓展素养训练
14.【地方特色】张吉怀高铁现在还在建设中，这条高铁从张家界－吉首－怀化等链接位于湖南省的西北部，通过3个市州7县市区，高铁全长246.35公里，沿线设有8个车站，受地理环境的影响，建设所需时间长，沿线水文条件非常复杂，溶洞、落水洞等分布非常广泛.如图是高铁线路在转向处设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，终点为B，过A，B的两条切线相交于点C，列车从A到B行驶的过程中转角α为60°，若圆弧的半径OA＝1.6 km，则弧AB的长为 km.（结果保留π）
第2课时 扇形面积
@基础分点训练
知识点1 扇形面积
1.如图，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A.12π B.6π C.4π D.2π
2.（1）（长沙中考）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 （结果保留π）.
（2）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度.
3.已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是 cm，面积是 cm2.
4.【教材P89复习题T9变式】如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是 .
5.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，求扇形的面积.
知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积
6.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（ ）
第6题图
A. B.＋C. D.＋
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.
第7题图
8.如图，AB为半圆O的直径，C，D为半圆的三等分点，若AB＝12，则阴影部分的面积为 .
9.如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3.求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴影.
@中档提分训练
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.（包头中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.8－π B.4－π
C.2－ D.1－
12.（资阳中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 .
13.如图，AB是☉O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在☉O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.
（1）求证：CD是☉O的切线；
（2）若☉O的半径为3，求图中阴影部分的面积.2.6 弧长与扇形面积
第1课时 弧 长
@基础分点训练
知识点 弧长公式及应用
1.【教材P81习题T1变式】如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线是一条圆弧（如图2所示），圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则的长为（ B ）
A.20πcm B.10πcm
C.5πcm D.2πcm
2.已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ B ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ C ）
A.3 B.4 C.9 D.18
4.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点A的运动路径的长为（ B ）
第4题图
A.π B.2π C.4π D.8π
5.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ B ）
第5题图
A.8πcm B.16πcm
C.32πcm D.192πcm
6.如图，☉O的半径为2，点A，B，C都在☉O上，若∠B＝30°，则的长为 π （结果用含有π的式子表示）.
第6题图
7.【跨学科·物理】如图，用一个半径为8cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留π）.
第7题图
8.如图， 的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.求：
（1）弦AB的长.
（2）的长.
解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA·sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2.
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°.
∵OA＝2，∴的长是＝.
@中档提分训练
9.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ B ）
第9题图
A.π B.3πC.2π D.2π－
10.如图， ABCD中，AB为☉O的直径，☉O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为（ C ）
第10题图
A. B. C.π D.2π
11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 π cm.
第11题图
12.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 .
第12题图
13.如图，△ABC内接于☉O，AD∥BC交☉O于点D，DF∥AB交BC于点E，交☉O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若☉O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
解：（1）证明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，
∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF.
（2）连接AO，CO.由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长＝＝.
@拓展素养训练
14.【地方特色】张吉怀高铁现在还在建设中，这条高铁从张家界－吉首－怀化等链接位于湖南省的西北部，通过3个市州7县市区，高铁全长246.35公里，沿线设有8个车站，受地理环境的影响，建设所需时间长，沿线水文条件非常复杂，溶洞、落水洞等分布非常广泛.如图是高铁线路在转向处设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，终点为B，过A，B的两条切线相交于点C，列车从A到B行驶的过程中转角α为60°，若圆弧的半径OA＝1.6 km，则弧AB的长为 km.（结果保留π）
第2课时 扇形面积
@基础分点训练
知识点1 扇形面积
1.如图，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ B ）
A.12π B.6π C.4π D.2π
2.（1）（长沙中考）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 4π （结果保留π）.
（2）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 60 度.
3.已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的半径是 24 cm，面积是 240π cm2.
4.【教材P89复习题T9变式】如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是 π .
5.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，求扇形的面积.
解：由题意知，弧长＝8－2×2＝4（cm），
扇形的面积是×4×2＝4（cm2）.
知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积
6.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（ A ）
第6题图
A. B.＋C. D.＋
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 6－π （结果保留π）.
第7题图
8.如图，AB为半圆O的直径，C，D为半圆的三等分点，若AB＝12，则阴影部分的面积为 6π .
9.如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3.求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴影.
解：∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴S△OAB＝.
∴阴影部分的面积S阴影＝－.
@中档提分训练
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ C ）
A. B. C. D.
11.（包头中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ D ）
A.8－π B.4－π
C.2－ D.1－
12.（资阳中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 ＋π .
13.如图，AB是☉O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在☉O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.
（1）求证：CD是☉O的切线；
（2）若☉O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：（1）证明：连接OC.
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90°.
即OC⊥CD，
∵点C在☉O上 ，
∴CD是☉O的切线.
（2）∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°.
∴S扇形BOC＝＝，
在Rt△OCD中，CD＝OC·tan60°＝3，
∴S△OCD＝OC·CD＝×3×3＝.
∴S△OCD－S扇形BOC＝.
∴图中阴影部分的面积为.
