4.3 用频率估计概率
@基础分点训练
知识点1 频率与概率的关系
1.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P.下列说法正确的是（ D ）
A.试验次数越多，f越大
B.f与P都可能发生变化
C.试验次数越多，f越接近于P
D.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
2.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ D ）
A.连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B.连续掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C.抛掷2n次，恰好有n次“正面朝上”
D.抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
知识点2 用频率估计概率
3.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ C ）
A.0.905 B.0.90
C.0.9 D.0.8
4.李明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得数据如下表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ C ）
A.200 B.300
C.500 D.800
5.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 15 .
6.某地区林业局要考察一种树苗移植后的成活率，对该地区这种树苗移植后的成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.根据统计图提供的信息，解决下列问题：
（1）估计这种树苗成活的概率为 0.9 .
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这批树苗可成活 4.5 万棵；
②如果要使这种树苗成活18万棵，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
解：（18－4.5）÷0.9＝13.5÷0.9＝15（万棵）.
@中档提分训练
7.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ B ）
A.6m2 B.7m2
C.8m2 D.9m2
8.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到的红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个.
9.小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小亮说：“根据这次投掷试验，3点朝上的频率大于5点朝上的频率，所以3点朝上的概率大于5点朝上的概率.”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率，并比较大小.
解：（1）“3点朝上”的频率为＝0.25；
“5点朝上”的频率为＝0.12.
（2）小亮的说法是错误的.
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，
∴P（3点朝上）＝，
P（5点朝上）＝，
∴ “3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率相等.
@拓展素养训练
10.长沙入选2024年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少.
解：（1）参与该游戏可免费得到的景点吉祥物的频率为＝0.25.
（2）设袋子中白球的数量为x，则
＝0.25，解得x＝36.
经检验，x＝36是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36.4.3 用频率估计概率
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知识点1 频率与概率的关系
1.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P.下列说法正确的是（ ）
A.试验次数越多，f越大
B.f与P都可能发生变化
C.试验次数越多，f越接近于P
D.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
2.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A.连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B.连续掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C.抛掷2n次，恰好有n次“正面朝上”
D.抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
知识点2 用频率估计概率
3.县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A.0.905 B.0.90
C.0.9 D.0.8
4.李明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得数据如下表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A.200 B.300
C.500 D.800
5.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 .
6.某地区林业局要考察一种树苗移植后的成活率，对该地区这种树苗移植后的成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.根据统计图提供的信息，解决下列问题：
（1）估计这种树苗成活的概率为 .
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这批树苗可成活 万棵；
②如果要使这种树苗成活18万棵，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
@中档提分训练
7.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A.6m2 B.7m2
C.8m2 D.9m2
8.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到的红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个.
9.小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小亮说：“根据这次投掷试验，3点朝上的频率大于5点朝上的频率，所以3点朝上的概率大于5点朝上的概率.”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率，并比较大小.
@拓展素养训练
10.长沙入选2024年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少.
