第1章综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列函数中，是二次函数的是（ B ）
A.y＝－ B.y＝2x2－x－1
C.y＝x（x＋1）－x2 D.y＝x＋2
2.顶点为（5，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ A ）
A.y＝－（x－5）2＋1 B.y＝－x2－5
C.y＝－（x－5）2－1 D.y＝（x＋5）2－1
3.关于二次函数y＝3x2－6，下列叙述正确的是（ D ）
A.当x＝3时，y有最大值－6 B.当x＝3时，y有最小值－6
C.当x＝0时，y有最大值－6 D.当x＝0时，y有最小值－6
4.把二次函数y＝（x－1）2－3的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ A ）
A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x－2）2＋1
C.y＝（x＋4）2＋1 D.y＝（x－4）2＋1
5.若二次函数y＝x2－mx＋1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（ D ）
A.2 B.－2 C.0 D.±2
6.二次函数y＝ax2－x＋1和一次函数y＝ax＋a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ C ）
A B C D
7.已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ A ）
A.y3＞y1＞y2 B.y1＞y2＞y3
C.y2＞y3＞y1 D.y3＞y2＞y1
8.为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（h），温度为y（℃）.当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝－t2＋10t＋11，则4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ D ）
A.11℃ B.27 ℃ C.35 ℃ D.36 ℃
9.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋3的图象不经过三、四象限，且当x＞时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ D ）
A.m＞－ B.m≤ C.－＜m≤ D.－≤m≤
10.（武汉中考改编）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＜0）经过（－1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1.下列四个结论，其中错误的是（ D ）
A.b＜0
B.若0＜x＜1，则a（x－1）2＋b（x－1）＋c＞1
C.若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解
D.点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＋x2＞－，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.二次函数y＝－（x－1）2＋2的顶点坐标是 （1，2） .
12.已知函数y＝（m＋1）x｜m｜＋1－2x＋1是二次函数，则m＝ 1 .
13.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的对应值（部分）：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ 6 .
14.二次函数y＝x2＋bx＋5化成顶点式为y＝（x－2）2＋k，则k＝ 1 .
15.如图，一次函数y＝mx＋n的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交于点A（－1，d），B（3，e），则mx＋n＜ax2＋bx＋c的解集是 －1＜x＜3 .
第15题图
16.一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点（4，3）为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数表达式为 y＝－（x－4）2＋3 .
第16题图
17.【新定义试题】对于一个二次函数y＝a（x－m）2＋k（a≠0）中存在一点P（x'，y'），使得x'－m＝y'－k≠0，则称2｜x'－m｜为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝x2＋x＋3“开口大小”为 4 .
18.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ＋ .
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）已知二次函数的表达式为y＝－2x2－5x＋7.
（1）求二次函数图象的对称轴和顶点的坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：（1）∵y＝－2x2－5x＋7＝－2（x＋）2＋，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－，顶点坐标为（－，）.
（2）当x＜－时，y随x的增大而增大；
当x＞－时，y随x的增大而减小.
20.（6分）已知二次函数y＝2（x－1）（x－m－3）（m为常数）.
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取何值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：（1）证明：当y＝0时，2（x－1）（x－m－3）＝0，
解得x1＝1，x2＝m＋3.
当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；
当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根.
∴无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点.
（2）当x＝0时，y＝2m＋6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6.
∴当2m＋6＞0时，即m＞－3时，
该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
21.（6分）（浙江中考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值.
解：（1）由题意，抛物线的对称轴为直线x＝－＝－.
∴b＝1.∴抛物线为y＝x2＋x＋c.
又图象经过点A（－2，5），∴4－2＋c＝5.∴c＝3.
∴抛物线为y＝x2＋x＋3.
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度（m＞0），∴平移后的点为（1－m，9）.
又（1－m，9）在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝（1－m）2＋（1－m）＋3.∴m＝4或m＝－1（舍去）.
∴m＝4.
22.（6分）某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛线物，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？
解：（1）设函数表达式为y＝a（x－1）2＋3，
依题意，得0＝a（3－1）2＋3，∴a＝－.
∴水柱所在抛物线对应的函数表达式为y＝－（x－1）2＋3.
（2）当x＝2时，y＝－×（2－1）2＋3＝.
∵＞1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿.
23.（8分）如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2.
（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD的面积y的最大值.
解：（1）∵AB＝x，∴BC＝24－3x.
∴y＝x（24－3x）＝－3x2＋24x.
∵0＜BC≤10，∴0＜24－3x≤10，
∴≤x＜8.
∴y关于x的函数表达式为y＝－3x2＋24x（≤x＜8）.
（2）y＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，
∵－3＜0，对称轴为直线x＝4，且由（1），知≤x＜8，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小.∴当x＝时，
y有最大值，最大值为－3×（－4）2＋48＝.
∴围成矩形绿化带ABCD的面积y的最大值为m2.
24.（10分）某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件.设当天销售单价统一为每件x元（x≥12，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80％，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润.
解：（1）y与x的函数关系式为y＝（x－10）＝－20x2＋640x－4 400.
（2）由题意，得－20x2＋640x－4 400＝640.
整理，得x2－32x＋252＝0.解得x1＝14，x2＝18.
答：若当天销售利润为640元，当天的销售单价为14元或18元.
（3）∵每件玩具的利润不超过80％，∴x－10≤10×80％，得x≤18.
∵x≥12，∴每件玩具的售价为12≤x≤18.
∵y＝－20x2＋640x－4 400＝－20（x－16）2＋720.且－20＜0，
∴当x＝16时，y有最大值，最大值为720，
答：要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为16元，最大利润为720元.
25.（12分）如图1，抛物线y＝x2＋2x－8与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC.
图1
（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线AC的函数表达式；
解：（1）对于y＝x2＋2x－8，当x＝0时，y＝－8，
令y＝x2＋2x－8＝0，则x＝2或－4，
即点A，B，C的坐标分别为：（－4，0），（2，0），（0，－8），
设直线AC的表达式为y＝kx－8，
将点A的坐标代入上式得：0＝－4k－8，则k＝－2，
则直线AC的表达式为y＝－2x－8；
（2）如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，设点D的横坐标为m.
图2
①当FD＝OE时，求m的值；
解： （2）①设点D（m，m2＋2m－8），则点F（m，－2m－8），
当FD＝OE时，即－2m－8－（m2＋2m－8）＝－m，
解得m＝0（舍去）或－3；
②如图3，隐去线段AC与点F，连接BD，EC交于点P，连接CD，设S1＝S△BEP，S2＝S△CDP，S＝S1－S2.试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由.
图3
解： ②存在，理由：
由（1）知，点D（m，m2＋2m－8），OB＝2，
∵S＝S1－S2，
即S＝（S1＋S△DEP）－（S2＋S△DEP）＝S△DEB－S△DEC＝×DE×OB＝－（m2＋2m－8）＝－（m＋1）2＋9≤9，
即S最大值为9.
26.（12分）【问题提出】数学社团开展数学实验活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝，动点P以每秒1个单位长度的速度从C点出发，在三角形边上沿C－B－A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.
图1
【初步感知】如图1，当点P由点C运动到点B时：
①当t＝1时，S＝ 3 ；
解：【初步感知】①当t＝1时，CP＝1，
又∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2＋CD2＝12＋（）2＝3.
故答案为3；
②S关于t的函数解析式为 S＝t2＋2 .
解：②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，
∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2＋CD2＝t2＋（）2＝t2＋2.
故答案为S＝t2＋2；
【迁移运用】当点P由B点运动到A点时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
图2
【迁移运用】由题图2可知，当点P运动到B点时，S＝DP2＝6，
∴t2＋2＝6，
解得t＝2或t＝－2（负值舍去），
∴当t＝2时，S＝6.
由题图2可知，二次函数图象的顶点坐标为（4，2），
∴可设S关于t的函数解析式为S＝a（t－4）2＋2.
当t＝2，S＝6时，6＝a（2－4）2＋2，解得a＝1，
∴S关于t的函数解析式为S＝（t－4）2＋2＝t2－8t＋18.
当S＝18，则S＝t2－8t＋18＝18，解得t＝8或t＝0（舍去），
∴AB＝8－2＝6；
【延伸探究】若存在三个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等.
①t1＋t2＝ 4 ；
【延伸探究】①由【初步感知】可得：S＝t2＋2（0≤t＜2），S＝（t－4）2＋2（2≤t≤8），
补全0≤t＜2内的图象如图2.根据图象可知0≤t＜2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称，∴t1＋t2＝4.故答案为4；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积.
②由题意可知，函数S＝t2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝（t－4）2＋2的图象重合.
∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，∴t3－t1＝4.
又∵t3＝4t1∴4t1－t1＝4，解得t1＝，
此时正方形DPEF的面积S＝＋2＝.第1章综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A.y＝－ B.y＝2x2－x－1
C.y＝x（x＋1）－x2 D.y＝x＋2
2.顶点为（5，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）
A.y＝－（x－5）2＋1 B.y＝－x2－5
C.y＝－（x－5）2－1 D.y＝（x＋5）2－1
3.关于二次函数y＝3x2－6，下列叙述正确的是（ ）
A.当x＝3时，y有最大值－6 B.当x＝3时，y有最小值－6
C.当x＝0时，y有最大值－6 D.当x＝0时，y有最小值－6
4.把二次函数y＝（x－1）2－3的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ）
A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x－2）2＋1
C.y＝（x＋4）2＋1 D.y＝（x－4）2＋1
5.若二次函数y＝x2－mx＋1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
A.2 B.－2 C.0 D.±2
6.二次函数y＝ax2－x＋1和一次函数y＝ax＋a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
7.已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y3＞y1＞y2 B.y1＞y2＞y3
C.y2＞y3＞y1 D.y3＞y2＞y1
8.为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（h），温度为y（℃）.当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝－t2＋10t＋11，则4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A.11℃ B.27 ℃ C.35 ℃ D.36 ℃
9.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋3的图象不经过三、四象限，且当x＞时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＞－ B.m≤ C.－＜m≤ D.－≤m≤
10.（武汉中考改编）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＜0）经过（－1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1.下列四个结论，其中错误的是（ ）
A.b＜0
B.若0＜x＜1，则a（x－1）2＋b（x－1）＋c＞1
C.若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解
D.点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＋x2＞－，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.二次函数y＝－（x－1）2＋2的顶点坐标是 .
12.已知函数y＝（m＋1）x｜m｜＋1－2x＋1是二次函数，则m＝ .
13.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的对应值（部分）：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ .
14.二次函数y＝x2＋bx＋5化成顶点式为y＝（x－2）2＋k，则k＝ .
15.如图，一次函数y＝mx＋n的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交于点A（－1，d），B（3，e），则mx＋n＜ax2＋bx＋c的解集是 .
第15题图
16.一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点（4，3）为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数表达式为 .
第16题图
17.【新定义试题】对于一个二次函数y＝a（x－m）2＋k（a≠0）中存在一点P（x'，y'），使得x'－m＝y'－k≠0，则称2｜x'－m｜为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝x2＋x＋3“开口大小”为 .
18.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 .
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）已知二次函数的表达式为y＝－2x2－5x＋7.
（1）求二次函数图象的对称轴和顶点的坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
20.（6分）已知二次函数y＝2（x－1）（x－m－3）（m为常数）.
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取何值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
21.（6分）（浙江中考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值.
22.（6分）某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛线物，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？
23.（8分）如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2.
（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD的面积y的最大值.
24.（10分）某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件.设当天销售单价统一为每件x元（x≥12，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80％，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润.
25.（12分）如图1，抛物线y＝x2＋2x－8与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC.
图1
（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线AC的函数表达式；
（2）如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，设点D的横坐标为m.
图2
①当FD＝OE时，求m的值；
②如图3，隐去线段AC与点F，连接BD，EC交于点P，连接CD，设S1＝S△BEP，S2＝S△CDP，S＝S1－S2.试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由.
图3
26.（12分）【问题提出】数学社团开展数学实验活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝，动点P以每秒1个单位长度的速度从C点出发，在三角形边上沿C－B－A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.
图1
【初步感知】如图1，当点P由点C运动到点B时：
①当t＝1时，S＝ ；
②S关于t的函数解析式为 .
【迁移运用】当点P由B点运动到A点时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
图2
【延伸探究】若存在三个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等.
①t1＋t2＝ ；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积.
