第1章 二次函数 本章知识总结
@考点巩固
考点1 二次函数的图象和性质
1.已知二次函数y＝－3（x－2）2－3，下列说法正确的是（ ）
A.对称轴为x＝－2
B.顶点坐标为（2，3）
C.函数的最大值是－3
D.函数的最小值是－3
2.（泸州中考）已知二次函数y＝ax2＋（2a－3）x＋a－1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A.1≤a＜ B.0＜a＜
C.0＜a＜ D.1≤a＜
3.（福建中考）已知二次函数y＝x2－2ax＋a（a≠0）的图象经过A，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ）
A.可以找到一个实数a，使得y1＞a
B.无论实数a取什么值，都有y1＞a
C.可以找到一个实数a，使得y2＜0
D.无论实数a取什么值，都有y2＜0
4.（安徽中考）已知抛物线y＝－x2＋bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1.
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋bx上.
①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
②若x1＝t－1，求h的最大值.
考点2 二次函数图象的平移
5.抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A.y＝－x2＋x
B.y＝－x2－4
C.y＝－x2＋2 021x－2 022
D.y＝－x2＋x＋1
6.将抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线为y＝－5x2＋1，则a＋b＋c＝ .
考点3 二次函数与一元二次方程
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2＋bx＋c＝0的根是（ ）
A.x1＝－1，x2＝5
B.x1＝－2，x2＝4
C.x1＝－1，x2＝27
D.x1＝－5，x2＝5
8.已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝ .
9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示.则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝－2a；④a－b＋c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2＋bm≤a＋b.其中正确的结论是 .（填序号）
考点4 二次函数的实际应用
10.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（m）与它距离喷头的水平距离x（m）之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的最大高度是 m.
第10题图
11.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的是 .（填序号）
第11题图
12.（烟台中考）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
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13.【数学文化】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式.若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.5
14.【数形结合思想】如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 .第1章 二次函数 本章知识总结
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考点1 二次函数的图象和性质
1.已知二次函数y＝－3（x－2）2－3，下列说法正确的是（ C ）
A.对称轴为x＝－2
B.顶点坐标为（2，3）
C.函数的最大值是－3
D.函数的最小值是－3
2.（泸州中考）已知二次函数y＝ax2＋（2a－3）x＋a－1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ A ）
A.1≤a＜ B.0＜a＜
C.0＜a＜ D.1≤a＜
3.（福建中考）已知二次函数y＝x2－2ax＋a（a≠0）的图象经过A，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ C ）
A.可以找到一个实数a，使得y1＞a
B.无论实数a取什么值，都有y1＞a
C.可以找到一个实数a，使得y2＜0
D.无论实数a取什么值，都有y2＜0
4.（安徽中考）已知抛物线y＝－x2＋bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1.
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋bx上.
①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
②若x1＝t－1，求h的最大值.
解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，
∴－1＝1，∴b＝4；
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，
∴y1＝－＋2x1，
∵B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋4x上，
∴y1＋h＝－（x1＋t）2＋4（x1＋t），
即－＋2x1＋h＝－（x1＋t）2＋4（x1＋t），
∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
①∵h＝3t，
∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
∴t（t＋2x1）＝t＋2x1，
∵x1≥0，t＞0，∴t＋2x1＞0，∴t＝1，
∴h＝3；
②将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，
得h＝－3＋，
∵－3＜0，
∴当t＝，即x1＝时，h取最大值.
考点2 二次函数图象的平移
5.抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是（ D ）
A.y＝－x2＋x
B.y＝－x2－4
C.y＝－x2＋2 021x－2 022
D.y＝－x2＋x＋1
6.将抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线为y＝－5x2＋1，则a＋b＋c＝ 3 .
考点3 二次函数与一元二次方程
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2＋bx＋c＝0的根是（ A ）
A.x1＝－1，x2＝5
B.x1＝－2，x2＝4
C.x1＝－1，x2＝27
D.x1＝－5，x2＝5
8.已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 .
9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示.则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝－2a；④a－b＋c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2＋bm≤a＋b.其中正确的结论是 ①③⑤ .（填序号）
考点4 二次函数的实际应用
10.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（m）与它距离喷头的水平距离x（m）之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的最大高度是 3 m.
第10题图
11.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的是 ②③ .（填序号）
第11题图
12.（烟台中考）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
解：（1）y＝（200－x）
＝－0.4x2＋20x＋12 000.
＝－0.4（x－25）2＋12 250.
∵200－x≥180，∴x≤20.
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4×（20－25）2＋12 250＝12 240（元）.
答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元；
（2）依题意得12 160＝－0.4（x－25）2＋12 250
解得x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10.
∴售出轮椅的辆数为60＋4＝64（辆）.
答：这天售出了64辆轮椅.
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13.【数学文化】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式.若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（ C ）
A. B. C. D.5
14.【数形结合思想】如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 （4，1） .
