第1章 二次函数专题一 求二次函数表达式的方法归类
类型1 已知一点或两点坐标求二次函数表达式
1.已知抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4.若抛物线经过点（3，0），则该抛物线的表达式为 .
2.已知二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0）.求二次函数的解析式.
类型2 已知任意三点用“一般式”求二次函数表达式
3.已知抛物线经过点A（2，3），B（4，3），C（6，－5），求抛物线的表达式.
类型3 已知顶点（最值）用“顶点式”求二次函数表达式
4.已知一个二次函数的图象经过点（－4，－3），且当x＝3时，函数的最大值为4，则这个二次函数的解析式为 .
5.如果一条抛物线的形状和开口方向都与y＝－2x2＋2相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的解析式是 .
类型4 已知与x轴的两个交点，设“交点式”求二次函数表达式
6.抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（5，0）.则这条抛物线对应的函数表达式 .
7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B，C.
（1）求抛物线的关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标.
类型5 利用图形变换，求二次函数表达式
8.已知抛物线y＝－x2＋4x－3，根据下列要求解决问题.
（1）若将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ；
（2）将该抛物线向左平移，平移后的抛物线经过点（0，1），则平移后抛物线的解析式为 ；
（3）若经过平移后得到的抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋2，则平移的方式为 .（写出一种即可）
专题二 二次函数的最值问题
类型1 没有限定自变量的取值范围求最值
1.（台湾中考）甲、乙两个二次函数分别为y＝（x＋20）2＋60，y＝－（x－30）2＋60，下列说法正确的是（ ）
A.甲有最大值，且其值为x＝20时的y值
B.甲有最小值，且其值为x＝20时的y值
C.乙有最大值，且其值为x＝30时的y值
D.乙有最小值，且其值为x＝30时的y值
2.（眉山中考）定义运算：a b＝（a＋2b）·（a－b），例如4 3＝（4＋2×3）×（4－3），则函数y＝（x＋1） 2的最小值为（ ）
A.－21 B.－9
C.－7 D.－5
类型2 限定自变量的取值范围求最值或范围
3.函数y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（ ）
A.5，－3 B.－3，－4
C.5，－4 D.－1，－4
4.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（ ）
A.y≥3 B.y≤3
C.y＞3 D.y＜3
5.已知二次函数y＝－x2＋4x＋3.
（1）求该函数图象的顶点坐标；
（2）当－1≤x≤3时，求y的取值范围.
类型3 已知二次函数的最值，求待定系数的值或范围
6.已知二次函数y＝（x－h）2＋1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A.3或5 B.－1或1
C.－1或5 D.3或1
7.已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为（ ）
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
8.若当－4≤x≤2时，二次函数y＝x2－mx＋1（m＞0）的最小值为0，求m的值.
专题三 二次函数的图象与字母系数的关系
#y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
开口方向 开口向上 a 0
开口向下 a 0
对称轴位置 对称轴为y轴 b 0
对称轴在y轴左侧 a与b 号
对称轴在y轴右侧 a与b 号
与y轴交点 过原点 c 0
与y轴交于正半轴 c 0
与y轴交于负半轴 c 0
与x轴交点 与x轴有唯一交点 b2－4ac 0
与x轴有两个交点 b2－4ac 0
与x轴没有交点 b2－4ac 0
判断a，b，c 相关的常见 代数式与零 的大小关系 a＋b＋c或 a－b＋c 令x＝1或－1， 看函数值
4a＋2b＋c或 4a－2b＋c 令x＝2或－2， 看函数值
9a＋3b＋c或 9a－3b＋c 令x＝3或－3， 看函数值
2a＋b 看对称轴与直 线x＝1的位置
2a－b 看对称轴与直线 x＝－1的位置
1.（长沙岳麓区三模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A.a＋b＋c＜0
B.b＋2a＝0
C.x1＞x2，则y1＞y2
D.若y1＝y2，则x1＋x2＝1
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为（－4，0），则下列结论正确的是（ ）
第2题图
A.2a＋b＝0
B.4a－2b＋c＞0
C.x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根
D.点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；④不等式ax2＋（b－1）x＋c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
第3题图
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（－1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示.给出以下结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＞0；④若A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.其中正确的是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
专题四 二次函数图象信息题
类型1 由一个函数图象判断另一个函数图象
1.反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝x2－kx＋k的大致图象是（ ）
A B C D
第1题图
2.（河南中考）二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过（ ）
第2题图
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则二次函数y＝kx2＋bx＋2的图象可能为（ ）
A B C D
第3题图
4.已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为（ ）
第4题图
A B C D
类型2 函数图象共存问题
5.一次函数y＝ax－1（a≠0）与二次函数y＝ax2－x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝－（k≠0）与二次函数y＝x2－kx－k的大致图象是（ ）
A B C D
7.二次函数y＝ax2＋b与一次函数y＝ax＋b（a＞b）在同一平面直角坐标系的图象为（ ）
A B C D
8.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次函数y＝acx＋b的图象可能是（ ）
A B C D
专题五 二次函数与线段和面积相关的最值问题
（一）与线段相关的最值问题
类型1 求线段之和最小值，线段之差最大值
（1）当两定点在定直线同侧时，在定直线上找一定点到这两点距离之和最小时，先同侧化异侧，再连接得定点；
（2）当两定点在定直线异侧时，在定直线上找一定点到这两点距离之差最大，先异侧化同侧，再连接得定点.
1.如图，抛物线y＝x2－2x－3，经过点A，B，C.
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA＋PC的最小值；
（2）在对称轴上找一点Q，使｜QA－QC｜的值最大，并求出此时点Q的坐标.
类型2 求线段的最值
遇求平行于y轴的线段最大时，先利用y上－y下建立二次函数模型，再求最值；不平行y轴的线段转化为平行于y轴的线段求解.
2.如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值.
（二）与面积相关的最值问题
3.（怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A（－4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接PA，PC，AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.
4.（永州二模）如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴相交于原点O和点A，直线y＝x与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.
图1
（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G.设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求的最大值.
图2
专题六 抛物线与几何图形存在性问题
类型1 抛物线与等腰三角形
1.如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.求：
（1）点A，B的坐标；
（2）在抛物线y＝（x－2）2－1的对称轴上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
类型2 抛物线与直角三角形
2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，且OD＝m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
类型3 抛物线与平行四边形
3.（岳阳二模）如图，抛物线y＝x2－2x－6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.
类型4 抛物线与角相等的存在性问题
4.如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第1章 二次函数专题一 求二次函数表达式的方法归类
类型1 已知一点或两点坐标求二次函数表达式
1.已知抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4.若抛物线经过点（3，0），则该抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3 .
2.已知二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0）.求二次函数的解析式.
解：∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），
∴∴
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4.
类型2 已知任意三点用“一般式”求二次函数表达式
3.已知抛物线经过点A（2，3），B（4，3），C（6，－5），求抛物线的表达式.
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A（2，3），B（4，3），C（6，－5）代入得：
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋6x－5.
类型3 已知顶点（最值）用“顶点式”求二次函数表达式
4.已知一个二次函数的图象经过点（－4，－3），且当x＝3时，函数的最大值为4，则这个二次函数的解析式为 y＝－x2＋x＋ .
5.如果一条抛物线的形状和开口方向都与y＝－2x2＋2相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的解析式是 y＝－2（x－4）2－2 .
类型4 已知与x轴的两个交点，设“交点式”求二次函数表达式
6.抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（5，0）.则这条抛物线对应的函数表达式 y＝－x2＋6x－5 .
7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B，C.
（1）求抛物线的关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标.
解：（1）易知直线y＝x－3与坐标轴的两个交点坐标为B（3，0），C（0，－3），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），
将C（0，－3）代入，得a（0＋1）（0－3）＝－3，
解得a＝1.
∴y＝x2－2x－3.
（2）由（1）知：y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）.
类型5 利用图形变换，求二次函数表达式
8.已知抛物线y＝－x2＋4x－3，根据下列要求解决问题.
（1）若将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 y＝－（x－4）2－2 ；
（2）将该抛物线向左平移，平移后的抛物线经过点（0，1），则平移后抛物线的解析式为 y＝－x2＋1 ；
（3）若经过平移后得到的抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋2，则平移的方式为 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 .（写出一种即可）
专题二 二次函数的最值问题
类型1 没有限定自变量的取值范围求最值
1.（台湾中考）甲、乙两个二次函数分别为y＝（x＋20）2＋60，y＝－（x－30）2＋60，下列说法正确的是（ C ）
A.甲有最大值，且其值为x＝20时的y值
B.甲有最小值，且其值为x＝20时的y值
C.乙有最大值，且其值为x＝30时的y值
D.乙有最小值，且其值为x＝30时的y值
2.（眉山中考）定义运算：a b＝（a＋2b）·（a－b），例如4 3＝（4＋2×3）×（4－3），则函数y＝（x＋1） 2的最小值为（ B ）
A.－21 B.－9
C.－7 D.－5
类型2 限定自变量的取值范围求最值或范围
3.函数y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（ C ）
A.5，－3 B.－3，－4
C.5，－4 D.－1，－4
4.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（ B ）
A.y≥3 B.y≤3
C.y＞3 D.y＜3
5.已知二次函数y＝－x2＋4x＋3.
（1）求该函数图象的顶点坐标；
（2）当－1≤x≤3时，求y的取值范围.
解：（1）∵y＝－x2＋4x＋3＝－（x－2）2＋7，
∴顶点坐标为（2，7）.
（2）∵－1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当x＝2时，y有最大值7，
∵2－（－1）＞3－2，
∴当x＝－1时，y有最小值为－2，
∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
类型3 已知二次函数的最值，求待定系数的值或范围
6.已知二次函数y＝（x－h）2＋1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ C ）
A.3或5 B.－1或1
C.－1或5 D.3或1
7.已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为（ C ）
A.m≥2 B.0≤m≤2
C.2≤m≤4 D.m≤4
8.若当－4≤x≤2时，二次函数y＝x2－mx＋1（m＞0）的最小值为0，求m的值.
解：∵y＝x2－mx＋1＝（x－m）2＋，
∴图象的对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
①当0＜m≤2时，
当x＝m时，y有最小值，y最小＝－m2＋1＝0，解得m＝，
②当m＞2时，在－4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2－m）2＋＝0，
解得m＝（不合题意，舍去），
综上，m＝.
专题三 二次函数的图象与字母系数的关系
#y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
开口方向 开口向上 a ＞ 0
开口向下 a ＜ 0
对称轴位置 对称轴为y轴 b ＝ 0
对称轴在y轴左侧 a与b 同 号
对称轴在y轴右侧 a与b 异 号
与y轴交点 过原点 c ＝ 0
与y轴交于正半轴 c ＞ 0
与y轴交于负半轴 c ＜ 0
与x轴交点 与x轴有唯一交点 b2－4ac ＝ 0
与x轴有两个交点 b2－4ac ＞ 0
与x轴没有交点 b2－4ac ＜ 0
判断a，b，c 相关的常见 代数式与零 的大小关系 a＋b＋c或 a－b＋c 令x＝1或－1， 看函数值
4a＋2b＋c或 4a－2b＋c 令x＝2或－2， 看函数值
9a＋3b＋c或 9a－3b＋c 令x＝3或－3， 看函数值
2a＋b 看对称轴与直 线x＝1的位置
2a－b 看对称轴与直线 x＝－1的位置
1.（长沙岳麓区三模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ B ）
A.a＋b＋c＜0
B.b＋2a＝0
C.x1＞x2，则y1＞y2
D.若y1＝y2，则x1＋x2＝1
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为（－4，0），则下列结论正确的是（ C ）
第2题图
A.2a＋b＝0
B.4a－2b＋c＞0
C.x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根
D.点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；④不等式ax2＋（b－1）x＋c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ C ）
第3题图
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（－1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示.给出以下结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＞0；④若A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.其中正确的是（ D ）
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
专题四 二次函数图象信息题
类型1 由一个函数图象判断另一个函数图象
1.反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝x2－kx＋k的大致图象是（ B ）
A B C D
第1题图
2.（河南中考）二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过（ D ）
第2题图
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则二次函数y＝kx2＋bx＋2的图象可能为（ C ）
A B C D
第3题图
4.已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为（ A ）
第4题图
A B C D
类型2 函数图象共存问题
5.一次函数y＝ax－1（a≠0）与二次函数y＝ax2－x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ C ）
A B C D
6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝－（k≠0）与二次函数y＝x2－kx－k的大致图象是（ D ）
A B C D
7.二次函数y＝ax2＋b与一次函数y＝ax＋b（a＞b）在同一平面直角坐标系的图象为（ C ）
A B C D
8.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次函数y＝acx＋b的图象可能是（ B ）
A B C D
专题五 二次函数与线段和面积相关的最值问题
（一）与线段相关的最值问题
类型1 求线段之和最小值，线段之差最大值
（1）当两定点在定直线同侧时，在定直线上找一定点到这两点距离之和最小时，先同侧化异侧，再连接得定点；
（2）当两定点在定直线异侧时，在定直线上找一定点到这两点距离之差最大，先异侧化同侧，再连接得定点.
1.如图，抛物线y＝x2－2x－3，经过点A，B，C.
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA＋PC的最小值；
（2）在对称轴上找一点Q，使｜QA－QC｜的值最大，并求出此时点Q的坐标.
解：（1）∵抛物线y＝x2－2x－3＝（x＋1）（x－3）＝（x－1）2－4，
∴抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0），对称轴为直线x＝1，
∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA＋PC的值最小，如图所示.
设直线BC的解析式为y＝kx－3，
代入B（3，0）得，0＝3k－3，解得k＝1，
∴直线BC为y＝x－3，
当x＝1时，y＝x－3＝1－3＝－2，
∴点P的坐标为（1，－2），
∵BC＝＝＝3，
∴PA＋PC的最小值为3.
（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，此时｜QA－QC｜的值最大，且｜QA－QC｜的最大值为线段AC的长，如图所示，设直线AC的解析式为y＝ax－3，
代入A（－1，0）得，0＝－a－3，解得a＝－3，
∴直线AC为y＝－3x－3，
当x＝1时，y＝－3x－3＝－3×1－3＝－6，
∴点Q的坐标为（1，－6）.
类型2 求线段的最值
遇求平行于y轴的线段最大时，先利用y上－y下建立二次函数模型，再求最值；不平行y轴的线段转化为平行于y轴的线段求解.
2.如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值.
解：令y＝0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A（－1，0），B（3，0）.
∵点C在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
∴可设直线BC的解析式为y＝kx＋3，
把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设P点的横坐标为m（m＞0），则P（m，－m＋3），M（m，－m2＋2m＋3），
∴PM＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m＝－＋，
∴当m＝，PM有最大值.
（二）与面积相关的最值问题
3.（怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A（－4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接PA，PC，AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.
解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A（－4，0），
B（2，0）两点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－8.
∵y＝x2＋2x－8＝（x＋1）2－9，
∴抛物线的顶点坐标为（－1，－9）.
（2）∵抛物线y＝x2＋2x－8与y轴交于点C，
∴C的坐标为（0，－8）.
设直线AC的表达式为y＝mx＋n，则解得
∴直线AC的表达式为y＝－2x－8.
设P（t，t2＋2t－8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，－2t－8）.
∴PF＝－2t－8－（t2＋2t－8）＝－t2－4t，
∴S△PAC＝S△PAF＋S△PCF＝PF·（t＋4）＋PF·（－t）＝2PF＝2（－t2－4t）＝－2（t＋2）2＋8，
∵－2＜0，
∴当t＝－2时，S△PAC的最大值为8，此时点P的坐标为（－2，－8）.
4.（永州二模）如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴相交于原点O和点A，直线y＝x与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.
图1
（1）求点B和点C的坐标；
（2）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G.设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求的最大值.
图2
解：（1）∵抛物线y＝x2－4x＝（x－2）2－4，
∵a＝1＞0，
∴当x＝2时，y有最小值－4，
∴C（2，－4）.
∵直线y＝x与抛物线在第一象限的交点为B点，
∴联立
解得或（舍去）
∴B（5，5）.
（2）∵点B（5，5）与点E关于对称轴x＝2对称，
∴E（－1，5），
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线OB于点M，N，
∴M（－1，－1），EM＝6，
设F（m，m2－4m），则N（m，m），
∴FN＝m－（m2－4m）＝－m2＋5m，
∵S1＝FN（xB－xG），S2＝EM（xB－xG），
∴＝＝＝－（ m－）2＋，∴当m＝时，的最大值为.
专题六 抛物线与几何图形存在性问题
类型1 抛物线与等腰三角形
1.如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.求：
（1）点A，B的坐标；
（2）在抛物线y＝（x－2）2－1的对称轴上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由y＝－3x＋3得，
当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，x＝1；
∴A（1，0），B（0，3）.
（2）存在点P.理由如下：
∵AO＝1，BO＝3，∴AB＝.
设抛物线对称轴交x轴于点D，
∴P（2，m），D（2，0），
∴DA＝1，PD＝｜m｜，PA2＝PD2＋DA2＝m2＋1，PB2＝（m－3）2＋4.
①当PA＝AB即PA2＝AB2＝10时，
∴m2＋1＝10，
解得m＝±3，∴P（2，±3），
∵当P（2，－3）时，P，A，B在同一条直线上，不合题意舍去.
∴P1（2，3）；
②当PB＝AB即PB2＝AB2＝10时，（m－3）2＋4＝10，
解得m＝3±.
∴P2（2，3＋），P3（2，3－）；
③当PA＝PB即PA2＝PB2时，
m2＋1＝（m－3）2＋4，
解得m＝2，∴P4（2，2）.
综上所述，所求的点为P1（2，3），P2（2，3＋），P3（2，3－），P4（2，2）.
类型2 抛物线与直角三角形
2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，且OD＝m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）由（1）可知，直线BM的解析式为y＝－2x＋6，
∴P（m，－2m＋6），D（m，0），C（0，3），
∴PD2＝（－2m＋6）2，PC2＝m2＋（－2m＋3）2，DC2＝m2＋9；
当PD为斜边时，（－2m＋6）2＝m2＋（－2m＋3）2＋m2＋9；
解得m＝3－3或m＝－3－3（此时P不在线段MB上，舍去）；
∴P（3－3，－6＋12）；
当PC为斜边时，m2＋（－2m＋3）2＝（－2m＋6）2＋m2＋9，
解得m＝3（P与B重合，舍去）；
当DC为斜边时，（－2m＋6）2＋m2＋（－2m＋3）2＝m2＋9；
解得m＝3（舍去）或m＝；
∴P；
综上所述，P的坐标为（3－3，－6＋12）或.
类型3 抛物线与平行四边形
3.（岳阳二模）如图，抛物线y＝x2－2x－6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）当x＝0时，y＝－6，
∴C（0，－6），
当y＝0时，x2－2x－6＝0，
∴x1＝6，x2＝－2，
∴A（－2，0），B（6，0）；
图①
图②
（2）存在.如图①，
当四边形ACFE为平行四边形时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线x＝＝2，
∴点F1的坐标为（4，－6），
如图②，
当四边形ACEF为平行四边形时，作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2－2x－6＝6，
∴x1＝2＋2，x2＝2－2，
∴F2（2＋2，6），F3（2－2，6），
综上所述，F（4，－6）或（2＋2，6）或（2－2，6）.
类型4 抛物线与角相等的存在性问题
4.如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于B，C两点，则点B，C的坐标分别为（3，0），（0，3）.
将点B，C的坐标代入二次函数表达式，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）存在.令y＝－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
∴A（－1，0），又∵B（3，0），∴AB＝4.
①当点P在x轴上方时，如图，∵OB＝OC＝3，
则∠OCB＝∠APB＝45°，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PA＝PB＝m.
在Rt△ABH中，AB2＝AH2＋BH2，
即16＝（m－m）2＋m2.
解得m2＝8＋4.
则yP＝＝2＋2；
②当点P在x轴下方时，yP＝－（2＋2）.
故点P的坐标为（1，2＋2）或（1，－2－2）.
