第2章圆 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知☉O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，－4），则点P与☉O的位置关系是（ ）
A.点P在☉O外 B.点P在☉O上
C.点P在☉O内 D.无法确定
2.如图，A，B，C是☉上的三点，∠BAC＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
第2题图
A.100° B.110° C.125° D.130°
3.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的☉O与BC相切于点B，则AC等于（ ）
第3题图
A. B. C.2 D.2
4.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
第4题图
A.50° B.65° C.115° D.130°
5.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（ ）
第5题图
A.3－ B.3＋ C.＋2 D.－2
6.如图，C，D是以线段AB为直径的☉O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝（ ）
第6题图
A.10° B.20° C.30° D.40°
7.如图，☉O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
第7题图
A. cm2 B.3 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，当点B的对应点B'落在AB上时停止，点A经过的路径为，则的长度是（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9.如图，BD是☉O的直径，点A，C在☉O上，＝，AC交BD于点G.若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（ ）
第9题图
A.99° B.108° C.110° D.117°
10.（滨州中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
第10题图
A.d＝a＋b－c B.d＝
C.d＝ D.d＝｜（a－b）（c－b）｜
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是6，此时直线和圆的位置关系为 .
12.已知☉O中最长的弦为12 cm，则此圆的半径为 cm.
13.如图，△ABC内接于☉O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝ °.
第13题图
14.如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 .
第14题图
15.已知三角形的三边长分别为5，12，13，则它的内切圆的半径r＝ .
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）.
第16题图
17.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），☉A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与☉A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 .
第17题图
18.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时，AP的长为 .
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，☉O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，且BD＝2，连接CD，求BC的长.
20.（6分）如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度AB＝80cm，水面到管道顶部距离CD＝20cm，则修理工应准备内直径是多少cm的管道？
21.（6分）如图，D为☉O的直径AB延长线上一点，PD是☉O的切线，P为切点，∠D＝30°，求证：PA＝PD.
22.（8分）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3.求：
（1）AC的长；
（2）圆中阴影部分的面积.
23.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知半圆O的半径为2.
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长.
24.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以点O为圆心，以OB的长为半径的圆与BC交于点D，DE⊥AC于点E.
（1）求证：DE是☉O的切线；
（2）若AC与☉O相切于点F，AB＝5，sinA＝，求☉O的半径.
25.（10分）如图，△ABC内接于☉O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交☉O的直径BD的延长线于点E，连接CD.
（1）求证：AE是☉O的切线；
（2）若tan ∠ABE＝，求CD和DE的长.
26.（12分）（1）已知：如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB＋PC；
（2）如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC＋PB；
（3）如图3，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明.第2章圆 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知☉O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，－4），则点P与☉O的位置关系是（ B ）
A.点P在☉O外 B.点P在☉O上
C.点P在☉O内 D.无法确定
2.如图，A，B，C是☉上的三点，∠BAC＝50°，则∠BOC的度数为（ A ）
第2题图
A.100° B.110° C.125° D.130°
3.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的☉O与BC相切于点B，则AC等于（ C ）
第3题图
A. B. C.2 D.2
4.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ C ）
第4题图
A.50° B.65° C.115° D.130°
5.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（ B ）
第5题图
A.3－ B.3＋ C.＋2 D.－2
6.如图，C，D是以线段AB为直径的☉O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝（ B ）
第6题图
A.10° B.20° C.30° D.40°
7.如图，☉O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ C ）
第7题图
A. cm2 B.3 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转，当点B的对应点B'落在AB上时停止，点A经过的路径为，则的长度是（ D ）
第8题图
A. B. C. D.
9.如图，BD是☉O的直径，点A，C在☉O上，＝，AC交BD于点G.若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（ B ）
第9题图
A.99° B.108° C.110° D.117°
10.（滨州中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ D ）
第10题图
A.d＝a＋b－c B.d＝
C.d＝ D.d＝｜（a－b）（c－b）｜
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是6，此时直线和圆的位置关系为 相离 .
12.已知☉O中最长的弦为12 cm，则此圆的半径为 6 cm.
13.如图，△ABC内接于☉O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝ 50 °.
第13题图
14.如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 .
第14题图
15.已知三角形的三边长分别为5，12，13，则它的内切圆的半径r＝ 2 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 π－ （结果保留π）.
第16题图
17.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），☉A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与☉A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 （0，11） .
第17题图
18.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 .
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，☉O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，且BD＝2，连接CD，求BC的长.
解：∵在☉O中，∠A＝45°，∴∠D＝45°.
∵BD为☉O的直径，∴∠BCD＝90°.
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BC＝BD·sin45°，
∵BD＝2，
∴BC＝2×＝.
20.（6分）如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度AB＝80cm，水面到管道顶部距离CD＝20cm，则修理工应准备内直径是多少cm的管道？
解：依题意得CO⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD.
设OB＝xcm，BD＝40cm，OD＝OC－CD＝（x－20）cm，
在Rt△OBD中，OB2＝DO2＋BD2.
则x2＝1 600＋（x－20）2，
解得x＝50，则修理工应准备内直径为100cm的管道.
21.（6分）如图，D为☉O的直径AB延长线上一点，PD是☉O的切线，P为切点，∠D＝30°，求证：PA＝PD.
证明：连接OP，
∵PD是☉O的切线，P为切点，
∴OP⊥PD.
∵∠D＝30°，
∴∠POD＝60°.
由圆周角定理，得∠A＝∠POD＝30°.
∴∠A＝∠D.∴PA＝PD.
22.（8分）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3.求：
（1）AC的长；
解：（1）∵OD⊥AC，∴AD＝DC.
∵AO＝OB，∴OD为△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝6.
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC＝＝＝6.
（2）圆中阴影部分的面积.
解：（2）连接OC.∵由（1），知AC＝6，且AB＝12，
∴sinB＝＝＝.∴∠B＝60°.
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC＝－×6×3＝12π－9.
23.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知半圆O的半径为2.
（1）求证：△CDE∽△CBA；
解：（1）证明：∵A，B，E，D四点共圆，
∴∠ADE＋∠ABE＝180°.
∵∠ADE＋∠EDC＝180°，∠ABC＝∠ABE，
∴∠EDC＝∠ABC.
∵∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA.
（2）求DE的长.
解：（2）连接BD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝90°.
∵∠C＝60°，∴∠CBD＝30°.∴CB＝2CD，即＝.
∵由（1），知△CDE∽△CBA，∴＝＝.
∵半圆O的半径为2，∴AB＝4.
∴DE＝AB＝×4＝2.
24.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以点O为圆心，以OB的长为半径的圆与BC交于点D，DE⊥AC于点E.
（1）求证：DE是☉O的切线；
解：（1）证明：如图，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC.∴OD⊥DE.
又∵OD是☉O的半径，且DE经过点D，
∴DE是☉O的切线.
（2）若AC与☉O相切于点F，AB＝5，sinA＝，求☉O的半径.
解：（2）如图，连接OF.
∵AC与☉O相切于点F，∴OF⊥AC.
设OF＝OB＝r，则AO＝5－r.
在Rt△AOF中，sinA＝＝＝，
解得r＝.
∴☉O的半径为.
25.（10分）如图，△ABC内接于☉O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交☉O的直径BD的延长线于点E，连接CD.
（1）求证：AE是☉O的切线；
解：（1）证明：连接AO并延长交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，
∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠FOB＝∠FOC，∴OF⊥BC，
∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，
∵OA是☉O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是☉O的切线.
（2）若tan ∠ABE＝，求CD和DE的长.
解：（2）∵OB＝OA，∴∠BAF＝∠ABE，
∴＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝，
∴AF＝2BF，
∵AB＝＝＝BF＝10，
∴BF＝2，AF＝4，
∵BF2＋FO2＝OB2，且OB＝OA＝4－FO，
∴（2）2＋FO2＝（4－FO）2，解得FO＝，
∵OD＝OB＝OA＝4－＝，
∵OB＝OD，BF＝CF，
∴CD＝2FO＝2×＝3，
∴＝cos∠AOE＝cos∠FOB＝，
∴OE＝＝＝，
∵DE＝OE－OD＝－＝，
∴CD的长是3，DE的长是.
26.（12分）（1）已知：如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB＋PC；
证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE.
∵A，B，P，C四点共圆，
∴∠BAC＋∠BPC＝180°，
∵∠BPC＋∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
又∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB＋PC.
（2）如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC＋PB；
（2）连接OA，OB，过点B作BE⊥PB交PA于E.
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°∴BP＝BE，∴PE＝PB；
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE.
∴PA＝AE＋PE＝PC＋PB.
（3）如图3，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明.
（3）PA＝PC＋PB；
证明：过点B作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP（SAS），∴BQ＝BP.∴MP＝QM.
又∵∠APB＝30°，∴cos 30°＝，
∴PM＝PB，∴PQ＝PB，
∴PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC.
