第2章 圆 本章知识总结
@考点巩固
考点1 圆的有关概念
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（ ）
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
2.已知A，B是半径为6的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是 .
考点2 圆心角与圆周角
3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O，若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
第3题图
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC＝19°，则∠BAC＝ .
第4题图
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值.
考点3 垂径定理
6.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7.【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸.
第7题图
考点4 点、直线与圆的位置关系
8.（广州中考）如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是（ ）
A.点P在☉O上
B.点P在☉O内
C.点P在☉O外
D.无法确定
9.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当☉A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A.（－12，0）
B.（－13，0）
C.（±12，0）
D.（±13，0）
考点5 三角形的外接圆与内切圆
10.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径是（ ）
A.2cm B.4cm
C.6cm D.8cm
11.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，若I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
第11题图
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
考点6 切线的性质与判定
12.如图，AD，BC是☉O的直径，点P在BC的延长线上，PA与☉O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（ ）
第12题图
A.65° B.60° C.50° D.25°
13.如图，OA是☉O的半径，BC是☉O的弦，OA⊥BC于点D，AE是☉O的切线，AE交OC的延长线于点E，若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长是 .
14.（湖南中考）【问题背景】已知点A是半径为r的☉O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作☉O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角.
图1 图2
【初步感知】（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝ °；
【问题探究】（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F.
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立：
②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tan α及的值.
考点7 切线长定理
15.如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为 .
第15题图
考点8 弧长、扇形面积的计算
16.如图，线段AB经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（ ）
第16题图
A.π B.2π C.2π D.4π
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N.则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）.
第17题图
18.如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝ .
第18题图
@素养专练
19.【数学文化】《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB＋.当 OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
第19题图
A.11－2 B.11－4C.8－2 D.8－4
20.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.1416.如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积的近似值估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
第20题图
A. B.2 C.3 D.2第2章 圆 本章知识总结
@考点巩固
考点1 圆的有关概念
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（ A ）
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
2.已知A，B是半径为6的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是 0＜AB≤12 .
考点2 圆心角与圆周角
3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O，若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ B ）
第3题图
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC＝19°，则∠BAC＝ 26° .
第4题图
5.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.
（1）求证：BD＝ED；
证明：∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，∴AD＝DC，
在△ABD和△CED中，
∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED.
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值.
解：过点D作DM⊥BE于点M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC＋EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC－BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，
∴DM＝BM·tan 30°＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝.
考点3 垂径定理
6.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ B ）
第6题图
A. B. C. D.
7.【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 26 寸.
第7题图
考点4 点、直线与圆的位置关系
8.（广州中考）如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是（ C ）
A.点P在☉O上
B.点P在☉O内
C.点P在☉O外
D.无法确定
9.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当☉A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（ D ）
A.（－12，0）
B.（－13，0）
C.（±12，0）
D.（±13，0）
考点5 三角形的外接圆与内切圆
10.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径是（ B ）
A.2cm B.4cm
C.6cm D.8cm
11.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，若I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ C ）
第11题图
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
考点6 切线的性质与判定
12.如图，AD，BC是☉O的直径，点P在BC的延长线上，PA与☉O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（ A ）
第12题图
A.65° B.60° C.50° D.25°
13.如图，OA是☉O的半径，BC是☉O的弦，OA⊥BC于点D，AE是☉O的切线，AE交OC的延长线于点E，若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长是 .
14.（湖南中考）【问题背景】已知点A是半径为r的☉O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作☉O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角.
图1 图2
【初步感知】（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝ 30 °；
【问题探究】（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F.
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立：
②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tan α及的值.
解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r，
∴OA＝OE＝CF＝DF＝r，
∵∠OAC＝∠ADC＝90°，
∴∠OAE＋∠CAD＝∠ACD＋∠CAD，
∴∠OAE＝∠ACD，
∵OA＝OE，CF＝DF，
∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF，
在△OAE和△FCD中，
∴△OAE≌△FCD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD＝BC＝AE＋ED，
∴BC＝CD＋ED.
即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立.
②补全图形如图，
∵AC是切线，
∴∠OAC＝90°，
∵AC＝r，
∴tan∠AOC＝＝，
设OA＝3m，则AC＝4m，OC＝5m，
∵＝，OE＝OA＝3m，
∴CE＝2m，OE＋CE＝5m＝OC，
即点E在线段OC上，
∴tan α＝tan∠AOC＝.
过点O作OH⊥AD于点H，
则OH∥CD，∴∠DCE＝∠HOE＝∠CAD，证△CAD∽△ECD，
∴＝＝＝，
∴＝.
考点7 切线长定理
15.如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为 14 .
第15题图
考点8 弧长、扇形面积的计算
16.如图，线段AB经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（ B ）
第16题图
A.π B.2π C.2π D.4π
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N.则图中阴影部分的面积为 4－π （结果保留π）.
第17题图
18.如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝ 2 .
第18题图
@素养专练
19.【数学文化】《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB＋.当 OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ B ）
第19题图
A.11－2 B.11－4C.8－2 D.8－4
20.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.1416.如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积的近似值估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ C ）
第20题图
A. B.2 C.3 D.2
