第2章 圆 专题练习
专题七 圆中利用转化思想求角度
类型1 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1.如图，△ABC内接于☉O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
第1题图
A.44° B.45° C.54° D.67°
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在☉O上，边AB，AC分别交☉O于D，E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ .
第2题图
类型2 利用圆内接四边形转化角
3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 .
第3题图
4.如图，点A，B，C在☉O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为 .
第4题图
5.如图，在☉O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，求∠B＋∠E的度数.
类型3 利用直径构造直角三角形转化角
6.如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D＝ .
7.如图，△ABC的顶点均在☉O上，AD为☉O的直径，AE⊥BC于点E.求证：∠BAD＝∠EAC.
类型4 利用特殊数量关系构造特殊角转化角
8.在☉O中直径为4，如果弦AB＝2，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB的度数为 .
9.如图，将☉O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为 .
专题八 与圆的基本性质有关的计算与证明
1.如图，已知☉O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交☉O于点E，连接EA，EB.
（1）写出图中一个度数为30°的角： ，图中与△ACD全等的三角形是 ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由.
2.已知四边形ABCD内接于☉O，对角线BD是☉O的直径.
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长.
3.如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G.
（1）求证：AF＝DF；
（2）若AF＝，sinB＝，求☉O的半径.
专题九 证明切线的常用方法
方法1 连半径，证垂直
如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到圆的半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：连半径，证垂直.
一、利用角度转化证垂直
1.如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，MN过点C，AD⊥MN于点D，AC平分∠DAB.求证：MN为☉O的切线.
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
2.如图，点C是☉O上一点，点P在直径AB的延长线上，☉O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是☉O的切线.
三、利用全等证垂直
3.如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B.求证：PB是☉O的切线.
4.如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作☉O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD.
（1）连接AF，求证：AF是☉O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长.
5.（衡阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的☉O分别交AC，BC于点E，F，过点F作FG⊥AB于点G.
（1）试判断FG与☉O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长.
方法2 作垂直，证半径
如果已知条件中不知道与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可.简记为：作垂直，证半径.
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与☉O相切.
7.（武汉中考）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值.
专题十 圆中常见辅助线的作法
类型1 连半径构造等腰三角形
1.如图，CD是☉O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在☉O上，∠EOD＝81°，AE交☉O于B，且AB＝OC，求∠A的度数.
2.如图，A，B是☉O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.
（1）求证：四边形OACB为菱形；
（2）延长OA至点P使得OA＝AP，连接PC，若☉O的半径R＝1，求PC的长.
类型2 利用直径所对的圆周角构造直角三角形
3.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC＝2 cm，AD∶DB＝4∶1，求AD的长.
4.如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长.
类型3 作直角所对的弦（直径）构造直角三角形
5.正方形ABCD内接于☉O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交☉O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG＝BE.
类型4 利用切线的性质和判定，连接半径
6.如图，☉O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与☉O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
（1）求证：点P为的中点；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积.
专题十一 分类讨论思想在圆中的应用
类型1 点与圆的位置关系不唯一
点与圆有三种位置关系，即点在圆内、点在圆上，点在圆外，但圆上的点具有唯一性，所以只考虑点在圆内或点在圆外两种情况.
1.已知☉O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实根，则点P（ ）
A.在☉O内 B.在☉O外
C.在☉O上 D.在☉O上或☉O内
2.平面内一点P到☉O上的点的最大距离是12，最小距离为8，则☉O的半径为 .
类型2 一条弦所对的圆周角有两个
一条弦对应两条弧（优弧和劣弧）和两个圆周角，因此在求弦所对的圆周角的度数时，往往需要分情况讨论.
3.在☉O中，弦AB所对的圆心角的度数为70°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A.35° B.140°
C.35°或140° D.35°或145°
4.半径等于的☉O中，弦AB长度为3，则弦AB所对的圆周角度数为（ ）
A.30° B.60°或120°
C.60° D.30°或150°
5.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A.45° B.90°
C.90°或27° D.45°或135°
类型3 弦与弦的位置关系不唯一
6.已知☉O的半径为13cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，求弦AB和弦CD之间的距离.
类型4 三角形的形状不确定
7.课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是△ABC的外心，∠BOC＝132°，求∠A.”小亮的解答为：如图，画△ABC以及它的外接圆☉O.连接OB，OC，由∠BOC＝2∠A＝132°，得∠A＝66°.而小莹说：“小亮考虑得不周全，∠A应该还有另一个不同的值”.下列判断正确的是（ ）
A.小亮求的结果不对，∠A应该是48°
B.小莹说得不对，∠A就是66°
C.小莹说得对，∠A的另一个值是114°
D.两人说得都不对，∠A的值有无数个
8.已知等腰△ABC内接于☉O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数.
类型5 判断直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切、相离.判断这三种位置关系时可从公共点的个数考虑，也可计算出圆心和直线的距离与半径进行比较从而判断，但需注意这个距离是圆心与直线间的垂线段的长度而不是两点间的距离.
9.已知平面内有☉O和点M，N，若☉O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与☉O的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
10.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的☉P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么经过多少秒后☉P与直线CD相切？
类型6 直角边、斜边不确定，求该直角三角形的外接圆（内切圆）半径（直径）
11.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A.2cm B.3cm
C.2cm或3cm D.2cm或cm
12.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（ ）
A.5 B.2
C.5或2 D.2或－1
13.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB没有公共点，那么☉O的半径r的取值范围是 .
专题十二 圆中求阴影部分面积的常用方法
方法1 公式法
1.如图，正六边形ABCDEF的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
第1题图
A.4π B.6π C.8π D.3π
2.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
第2题图
A. B. C. D.
方法2 和差法
类型1 直接和差法
当不规则阴影部分图形为一个规则图形的一部分，且空白部分也是规则图形时，可采取整体作差法求解，常见情况如下：
3.如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC的夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
第3题图
A.375πcm2 B.450πcm2C.600πcm2 D.750πcm2
4.如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
第4题图
A.－ B.2－π
C. D.－
类型2 通过割补构造和差法
“割补法”的解题思路是将不规则的阴影部分的面积通过“割补”转换为规则的图形（三角形、特殊四边形、扇形等）面积的和或差，如下面三种常见情况.
情况1：
连接AO，BO，S阴影＝S扇形AOB－S△AOB；
情况2：
AB为切线，连接OB，S阴影＝S△ABO－S扇形BOC；
情况3：
连接CO，S阴影＝S△BOC＋S扇形OAC.
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
第5题图
A.5－π B.5－4πC.5－2π D.10－2π
6.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
第6题图
A.3π－3 B.3π－
C.2π－3 D.6π－
7.如图，☉O的半径为2cm，AB为☉O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 （结果保留π与根号）.
方法3 等积转化法
如图1，弦BC∥直径EF，由同底等高的两三角形面积相等 S△BCD＝S△BCO S阴影＝S扇形OBC；
如图2，AB是☉O的直径，由等底等高的两三角形面积相等 S△ACO＝S△BCO S阴影＝S扇形OBC.
类型1 同底等高的三角形等积转化
8.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9.如图，E是半径为2cm的☉O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝OD，则阴影部分的面积是 .
第9题图
类型2 通过平移、轴对称、旋转等积转化10.如图，等边三角形ABC内接于☉O，BC＝2，则图中阴影部分的面积是 .
第10题图
11.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，2为半径作，再分别以E，F为圆心，1为半径作，，则图中阴影部分的面积为 .
第11题图
专题十三 圆中的最值问题
类型1 根据轴对称求最值
1.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
第1题图
A.＋ B.＋C.2＋ D.2＋
2.如图，AB，CD是半径为5的☉O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F.
第2题图
（1）EF＝ ；
（2）点P在MN上运动，则PA＋PC的最小值为 .
类型2 根据垂线段最短求最值
3.如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 .
类型3 圆中的最值
4.如图，AB是☉O的弦，AB＝8，点C是☉O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN的最大值是（ ）
第4题图
A.4 B.8 C.8 D.16
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
第5题图
A.8 B.2
C.10 D.
6.（杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的☉O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
第6题图
A.cosθ（1＋cosθ） B.cosθ（1＋sinθ）C.sinθ（1＋sinθ） D.sinθ（1＋cosθ）
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的☉O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点.当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
第7题图
A.8 B.6 C.4 D.3第2章 圆 专题练习
专题七 圆中利用转化思想求角度
类型1 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1.如图，△ABC内接于☉O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ A ）
第1题图
A.44° B.45° C.54° D.67°
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在☉O上，边AB，AC分别交☉O于D，E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ 13° .
第2题图
类型2 利用圆内接四边形转化角
3.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 40° .
第3题图
4.如图，点A，B，C在☉O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为 110° .
第4题图
5.如图，在☉O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，求∠B＋∠E的度数.
解：连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B＋∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝35°，
∴∠B＋∠AED＝180°＋35°＝215°.
类型3 利用直径构造直角三角形转化角
6.如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62° .
7.如图，△ABC的顶点均在☉O上，AD为☉O的直径，AE⊥BC于点E.求证：∠BAD＝∠EAC.
证明：如图，连接BD.
∵AD是☉O的直径，
∴∠ABD＝90°.
∴∠BAD＋∠D＝90°.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°.
∴∠EAC＋∠C＝90°.
又∵∠D＝∠C，∴∠BAD＝∠EAC.
类型4 利用特殊数量关系构造特殊角转化角
8.在☉O中直径为4，如果弦AB＝2，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB的度数为 60°或120° .
9.如图，将☉O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为 60° .
专题八 与圆的基本性质有关的计算与证明
1.如图，已知☉O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交☉O于点E，连接EA，EB.
（1）写出图中一个度数为30°的角： ∠1（答案不唯一） ，图中与△ACD全等的三角形是 △BCD ；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由.
解：（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE－∠CAB＝90°－60°＝30°＝∠2，
∴△AED∽△CEB.
（3）四边形OAEB是菱形，
理由如下：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝CE.
同理可证，BE＝CE.
∴OA＝OB＝AE＝BE，
∴四边形OAEB为菱形.
2.已知四边形ABCD内接于☉O，对角线BD是☉O的直径.
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
证明：∵OA⊥BD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD.
（2）如图2，E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长.
解：延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°.
∵BD是☉O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB.
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE＝3，
∴BC＝＝＝3.
3.如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G.
（1）求证：AF＝DF；
（2）若AF＝，sinB＝，求☉O的半径.
解：（1）证明：∵D是弧AC的中点，∴＝.
∵AB⊥DH，且AB是☉O的直径，
∴＝，∴＝.
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF.
（2）∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B.
∴sin∠ADE＝sinB＝，∴tan∠ADE＝＝.
设AE＝x，则DE＝2x，
∵DF＝AF＝，∴EF＝2x－.
在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，
∴x2＋（2x－）2＝（）2，∴x＝2.
∴AD＝＝2.∴AB＝＝10.
即☉O的半径为5.
专题九 证明切线的常用方法
方法1 连半径，证垂直
如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到圆的半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：连半径，证垂直.
一、利用角度转化证垂直
1.如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，MN过点C，AD⊥MN于点D，AC平分∠DAB.求证：MN为☉O的切线.
证明：连接OC.
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAO.
∴∠DAC＝∠ACO.∴OC∥AD.
∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.
又∵OC为☉O的半径，且MN经过点C，
∴MN为☉O的切线.
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
2.如图，点C是☉O上一点，点P在直径AB的延长线上，☉O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是☉O的切线.
证明：连接OC，
∵☉O的半径为3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5，
∵PC＝4，
∴OC2＋PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是☉O的半径，且PC经过点C，
∴PC是☉O的切线.
三、利用全等证垂直
3.如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B.求证：PB是☉O的切线.
证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB.
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO（SAS）.
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，即OB⊥PB.
又∵OB为☉O的半径，且PB经过点B，
∴PB是☉O的切线.
4.如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作☉O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD.
（1）连接AF，求证：AF是☉O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长.
解：（1）证明：在△AOF和△EOF中，
∴△AOF≌△EOF（SAS），∴∠OAF＝∠OEF.
∵BC与☉O相切，∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，即OA⊥AF.
∵OA是☉O的半径，且AF经过点A，
∴AF是☉O的切线.
（2）在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6.
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，∴＝.
设☉O的半径为r，则＝，解得r＝.
在Rt△FAO中，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝.
∴FD＝OF－OD＝－，
即FD的长为－.
5.（衡阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的☉O分别交AC，BC于点E，F，过点F作FG⊥AB于点G.
（1）试判断FG与☉O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长.
解：（1）FG与☉O相切.理由如下：如图，连接OF.
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴BD＝CD.∴∠B＝∠DCB.
∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF＝∠DCB.
∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB.
∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.
又∵OF是☉O的半径，∴FG与☉O相切.
（2）如图，连接DF.
∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5.
在Rt△ABC中，BC＝＝4.
∵CD是☉O的直径，
∴∠DFC＝90°，即DF⊥BC.
∵由（1），知DB＝DC，
∴DF为等腰三角形DBC的BC边上的中线.
∴BF＝BC＝2.
∵sinB＝＝，即＝.
∴FG＝.
方法2 作垂直，证半径
如果已知条件中不知道与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可.简记为：作垂直，证半径.
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与☉O相切.
证明：如图，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.
∵☉O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
∵在正方形ABCD中，CA平分∠BCD，ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.
∵OM是☉O的半径，
∴ON是☉O的半径，
∴CD与☉O相切.
7.（武汉中考）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值.
解：（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与☉O相切于点D，
∴OD⊥AC，
而OH⊥AB，∴OH＝OD，
∴AB是☉O的切线；
（2）由（1）知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，
∴OD2＋42＝（OD＋2）2，
∴OD＝3，∴OC＝5，
∴cos C＝＝，
在Rt△OCA中，cos C＝＝，
∴sin∠OAC＝＝.
专题十 圆中常见辅助线的作法
类型1 连半径构造等腰三角形
1.如图，CD是☉O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在☉O上，∠EOD＝81°，AE交☉O于B，且AB＝OC，求∠A的度数.
解：连接OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠A＝∠2，
∵∠1＝∠A＋∠2，
∴∠1＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∵∠EOD＝∠A＋∠E＝81°，
∴3∠A＝81°，
∴∠A＝27°.
2.如图，A，B是☉O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.
（1）求证：四边形OACB为菱形；
（2）延长OA至点P使得OA＝AP，连接PC，若☉O的半径R＝1，求PC的长.
解：（1）证明：连接OC，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形.
（2）由（1）知OA＝AC，
又∵OA＝AP，
∴AP＝AC，
∵∠PAC＝180°－∠OAC＝120°，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠PCO＝90°，
∴△OPC是直角三角形，
∴PC＝OC＝.
类型2 利用直径所对的圆周角构造直角三角形
3.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC＝2 cm，AD∶DB＝4∶1，求AD的长.
解：连接BC.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
∴∠ACB＝∠ADC.
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝.
设DB＝x cm，则AD＝4x cm，AB＝5x cm.
∴＝.
即5x×4x＝（2）2.
解得x＝.
∴AD＝4 cm.
4.如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长.
解：（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）连接BD，
∵AB为直径，∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4－a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2－AD2＝42－（4－a）2.
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2－CD2＝（2）2－a2，
∴42－（4－a）2＝（2）2－a2，
整理得：a＝，
即CD＝.
类型3 作直角所对的弦（直径）构造直角三角形
5.正方形ABCD内接于☉O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交☉O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG＝BE.
证明：（1）连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD为☉O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°，
∴四边形EBFD是矩形.
（2）连接OA，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠BOD＝90°.
∴∠AFD＝∠AOD＝45°.
又∵四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，BE＝DF.
∴∠DGF＝90°－∠DFA＝45°＝∠DFA.
∴DG＝DF，即DG＝BE.
类型4 利用切线的性质和判定，连接半径
6.如图，☉O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与☉O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
（1）求证：点P为的中点；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积.
解：（1）证明：连接OP，
∵CP与☉O相切于点P，
∴PC⊥OP，
∴∠OPC＝90°，
∵BD∥CP，
∴∠OEB＝∠OPC＝90°，
∴BD⊥OP，
∴点P为的中点.
（2）设OP交BD于E，
∵∠C＝∠D，
∠POB＝2∠D，
∴∠POB＝2∠C，
∵∠CPO＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BD∥CP，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∵PO＝AB＝6 cm，
∴PC＝6 cm，
∵∠ABD＝∠C＝30°，
∴OE＝OB＝3 cm，
∴PE＝3 cm，
∴四边形BCPD的面积＝PC·PE＝6×3＝18（cm2）.
专题十一 分类讨论思想在圆中的应用
类型1 点与圆的位置关系不唯一
点与圆有三种位置关系，即点在圆内、点在圆上，点在圆外，但圆上的点具有唯一性，所以只考虑点在圆内或点在圆外两种情况.
1.已知☉O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实根，则点P（ D ）
A.在☉O内 B.在☉O外
C.在☉O上 D.在☉O上或☉O内
2.平面内一点P到☉O上的点的最大距离是12，最小距离为8，则☉O的半径为 2或10 .
类型2 一条弦所对的圆周角有两个
一条弦对应两条弧（优弧和劣弧）和两个圆周角，因此在求弦所对的圆周角的度数时，往往需要分情况讨论.
3.在☉O中，弦AB所对的圆心角的度数为70°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ D ）
A.35° B.140°
C.35°或140° D.35°或145°
4.半径等于的☉O中，弦AB长度为3，则弦AB所对的圆周角度数为（ B ）
A.30° B.60°或120°
C.60° D.30°或150°
5.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为（ D ）
A.45° B.90°
C.90°或27° D.45°或135°
类型3 弦与弦的位置关系不唯一
6.已知☉O的半径为13cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，求弦AB和弦CD之间的距离.
解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC.
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD.
∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5.
在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，
∴OE＝＝5.
在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，
∴OF＝＝12，
当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF－OE＝12－5＝7.
AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
类型4 三角形的形状不确定
7.课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是△ABC的外心，∠BOC＝132°，求∠A.”小亮的解答为：如图，画△ABC以及它的外接圆☉O.连接OB，OC，由∠BOC＝2∠A＝132°，得∠A＝66°.而小莹说：“小亮考虑得不周全，∠A应该还有另一个不同的值”.下列判断正确的是（ C ）
A.小亮求的结果不对，∠A应该是48°
B.小莹说得不对，∠A就是66°
C.小莹说得对，∠A的另一个值是114°
D.两人说得都不对，∠A的值有无数个
8.已知等腰△ABC内接于☉O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数.
解：当点A在优弧BC上时，如图①所示.
∵△ABC内接于☉O，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°.
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠BAC）＝65°，
∴△ABC的顶角是50°，底角是65°.
当点A在劣弧BC上时，如图②所示.
∵△ABC内接于☉O，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝（360°－100°）＝130°.
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠BAC）＝25°.
△ABC的顶角是130°，底角是25°.
综上，△ABC的顶角是50°，底角是65°或顶角是130°，底角是25°.
类型5 判断直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切、相离.判断这三种位置关系时可从公共点的个数考虑，也可计算出圆心和直线的距离与半径进行比较从而判断，但需注意这个距离是圆心与直线间的垂线段的长度而不是两点间的距离.
9.已知平面内有☉O和点M，N，若☉O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与☉O的位置关系为（ D ）
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
10.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的☉P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么经过多少秒后☉P与直线CD相切？
解：①设当点P运动到P1点时，与CD相切，切点为E，连接P1E，则P1E⊥CD.
∵∠AOC＝30°，r＝1cm，∴OP1＝2cm.
∵OP＝6cm，∴P1P＝4cm.
∵☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒），
∴经过4秒钟后☉P与直线CD相切.
②设当点P运动到P2点时，与CD相切，则OP2＝OP1＝2cm，
∴PP2＝PO＋OP2＝6＋2＝8cm.
∴圆P到达圆P2需要时间为8÷1＝8（秒），
∴经过8秒钟后☉P与直线CD相切.
答：经过4秒或8秒后☉P与直线CD相切.
类型6 直角边、斜边不确定，求该直角三角形的外接圆（内切圆）半径（直径）
11.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ D ）
A.2cm B.3cm
C.2cm或3cm D.2cm或cm
12.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（ D ）
A.5 B.2
C.5或2 D.2或－1
13.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB没有公共点，那么☉O的半径r的取值范围是 0＜r＜或r＞4 .
专题十二 圆中求阴影部分面积的常用方法
方法1 公式法
1.如图，正六边形ABCDEF的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ D ）
第1题图
A.4π B.6π C.8π D.3π
2.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ C ）
第2题图
A. B. C. D.
方法2 和差法
类型1 直接和差法
当不规则阴影部分图形为一个规则图形的一部分，且空白部分也是规则图形时，可采取整体作差法求解，常见情况如下：
3.如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC的夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ C ）
第3题图
A.375πcm2 B.450πcm2C.600πcm2 D.750πcm2
4.如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ D ）
第4题图
A.－ B.2－π
C. D.－
类型2 通过割补构造和差法
“割补法”的解题思路是将不规则的阴影部分的面积通过“割补”转换为规则的图形（三角形、特殊四边形、扇形等）面积的和或差，如下面三种常见情况.
情况1：
连接AO，BO，S阴影＝S扇形AOB－S△AOB；
情况2：
AB为切线，连接OB，S阴影＝S△ABO－S扇形BOC；
情况3：
连接CO，S阴影＝S△BOC＋S扇形OAC.
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ C ）
第5题图
A.5－π B.5－4πC.5－2π D.10－2π
6.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ B ）
第6题图
A.3π－3 B.3π－
C.2π－3 D.6π－
7.如图，☉O的半径为2cm，AB为☉O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 （π－）cm2 （结果保留π与根号）.
方法3 等积转化法
如图1，弦BC∥直径EF，由同底等高的两三角形面积相等 S△BCD＝S△BCO S阴影＝S扇形OBC；
如图2，AB是☉O的直径，由等底等高的两三角形面积相等 S△ACO＝S△BCO S阴影＝S扇形OBC.
类型1 同底等高的三角形等积转化
8.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ B ）
第8题图
A. B. C. D.
9.如图，E是半径为2cm的☉O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝OD，则阴影部分的面积是 πcm2 .
第9题图
类型2 通过平移、轴对称、旋转等积转化10.如图，等边三角形ABC内接于☉O，BC＝2，则图中阴影部分的面积是 .
第10题图
11.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，2为半径作，再分别以E，F为圆心，1为半径作，，则图中阴影部分的面积为 π－2 .
第11题图
专题十三 圆中的最值问题
类型1 根据轴对称求最值
1.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ A ）
第1题图
A.＋ B.＋C.2＋ D.2＋
2.如图，AB，CD是半径为5的☉O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F.
第2题图
（1）EF＝ 7 ；
（2）点P在MN上运动，则PA＋PC的最小值为 7 .
类型2 根据垂线段最短求最值
3.如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 3 .
类型3 圆中的最值
4.如图，AB是☉O的弦，AB＝8，点C是☉O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN的最大值是（ B ）
第4题图
A.4 B.8 C.8 D.16
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（ A ）
第5题图
A.8 B.2
C.10 D.
6.（杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的☉O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ D ）
第6题图
A.cosθ（1＋cosθ） B.cosθ（1＋sinθ）C.sinθ（1＋sinθ） D.sinθ（1＋cosθ）
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的☉O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点.当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ D ）
第7题图
A.8 B.6 C.4 D.3
