第3章投影与视图 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列立体图形中，侧面展开图不是矩形的是（ A ）
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.三棱柱
2.下列现象不属于投影的是（ D ）
A.皮影 B.树影 C.手影 D.素描画
3.如图所示的几何体的主视图是（ B ）
第3题图
A B C D
4.小明拿一个等边三角形木框在太阳光下摆弄，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（ C ）
A.一条线段 B.钝角三角形
C.点 D.直角三角形
5.如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（ C ）
第5题图
A B C D
6.圆形桌面（桌面中间有一个直径为1 m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面2 m，则地面圆环形阴影的面积是（ B ）
第6题图
A.2π m2 B.3π m2 C.6π m2 D.12π m2
7.如图是一束太阳光线从教室窗户射入教室的平面示意图.测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2 m，窗户下檐到教室地面的距离BC＝1 m（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高AB为（ C ）
第7题图
A.3 m B.2.5 m C. 2 m D.1.5 m
8.在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来（如图所示），则这堆正方体小货箱的个数是（ C ）
第8题图
A.11 B.10 C.9 D.8
9.如图，小梅居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上，小梅由点A处径直走到点B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的函数图象大致是（ C ）
第9题图
A B C D
10.某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ D ）
第10题图
A.该几何体是长方体 B.该几何体的高是3 m
C.底面有一边的长是1 m D.该几何体的表面积为18 m2
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 中心 投影（填“平行”或“中心”）.
第11题图
12.如图是某几何体的展开图，该几何体是 三棱柱 .
第12题图
13.某长方体的主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为 8 .
第13题图
14.已知圆锥底面半径为1，它的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，则圆锥的侧面积为 4π .
15.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图均为如图所示的图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为 4 .
第15题图
16.如图是上、下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，则所需胶带长度至少为 （180＋120） cm.（结果保留根号）
17.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）.则木杆AB在x轴上的影长CD为 6 .第17题图
18.如图，下晚自习后，小明回家走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和CD）之间，并且自己与被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己左边的影子（HF）长为1.5 m，右边的影子（HE）长为3 m，又知自己身高（GH）为1.8m，两盏路灯的高度相同，两盏路灯之间的距离（BD）为12米，则路灯的高度为 6.6 m.
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）请将图中的几何体和它们所对应的侧面展开图用直线连接起来。
解：如图所示.
20.（6分）一个缺口朝前的立体图形如图所示，请画出它的三视图.
解：如图所示.
21.（6分）如图为一直三棱柱，试画出它的侧面展开图，并求侧面展开图的面积和直三棱柱的表面积.
解：侧面展开图如图所示.
侧面积＝3×2.5＋3×2＋3×1.5＝18.
表面积＝18＋2××2×1.5＝21.
22.（8分）如图为一机器零件的三视图.
（1）请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；
解：（1）符合这个零件的几何体是直三棱柱.
（2）若三视图中的三角形为等边三角形，请根据图中所标的尺寸（单位：cm），计算这个几何体的表面积.
解：（2）在等边三角形ABC中，过点C作CD⊥AB于点D（如图），
则∠DCB＝30°，∴BC＝2BD.
在Rt△CDB中，由勾股定理，得
BC2＝CD2＋BD2 ，即4BD2＝（2）2＋BD2，
解得BD＝2.∴BC＝2BD＝4.
∴S表面积＝4×2×3＋×4×2×2＝（24＋8） cm2.
23.（8分）如图，这是由棱长为1的正方体组成的几何体.
（1）该几何体的体积是 6 （立方单位），表面积是 26 （平方单位）；
解：（1）几何体的体积：1×1×1×6＝6（立方单位），
表面积：26（平方单位）；故答案为：6，26；
（2）请在方格纸中用实线画出它的三个视图.
解：（2）如图所示.
24.（8分）用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数，请解答下列问题：
（1）a＝ 3 ，b＝ 1 ，c＝ 1 ；
（2）这个几何体最少由 9 个小立方体搭成，最多由 11 个小立方体搭成；
（3）当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图.
解：左视图如图所示.
25.（12分）综合实践课上，老师组织学生进行“测量物体的高度”的活动，三个小组分别选择测量学校里甲、乙、丙三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别采集了如下的数据：
A小组：测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m，甲树的影长为4 m；
B小组：如图1，乙树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，测量墙壁上的影长CD＝1.2 m，落在地面上的影长AC＝2.4 m；
C小组：如图2，丙树OP的影子除落在地面上外，还有一部分影子落在一个斜坡上.测得落在地面上的影长OQ＝2 m，斜坡上的影长QR＝4 m，且∠OQR＝150°.
根据以上信息分别求甲、乙、丙三棵树的高度（结果保留根号）.
解：A小组：
∵一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m，甲树的影长为4 m，
∴甲树的高度为＝5（m）.
B小组：
如图1，过点D作DM⊥AB于点M，
由题意，可得＝，解得BM＝3.
故乙树的高度为3＋1.2＝4.2（m）.
C小组：
如图2，连接PR，延长OQ，交PR于点H，作RM⊥OP于M，过点Q作QN⊥MR于点N，由题意可得，OH为OP的影长，则＝.
∵∠OQR＝150°，∴∠1＝30°.又∵OH∥MR，∴∠2＝∠1＝30°.
∴QN＝QR＝2（m）.∴RN＝2（m）.
又∵OQ＝2，∴四边形OQNM为正方形.
∴OM＝OQ＝2，RM＝2＋2（m）.
∵OH∥RM，∴△POH∽△PMR.
∴＝，∴＝，∴PM＝（m）.
∴OP＝PM－OM＝－2＝（m）.
∴丙树的高为 m.
26.（12分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图1，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm.在图2所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.
图1
解：（1）如图2中连接AO，AC，AB.设∠AOC＝n.
图2
∵的长＝4π，∴＝4π，∴n＝60°，∴∠COA＝60°，
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，
∵OB＝BC＝6 cm，∴AB⊥OC，
∴AB＝＝＝6（cm）.
最短的路径是线段AB，最短路径的长为6 cm.
（2）图3中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
图3
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 l＋h （用含l，h的代数式表示）.
解：（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h＋l.
故答案为h＋l.
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b.圆柱的侧面展开图如图4所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.
解：②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，
图4
思路：
Ⅰ.将AB与圆柱的展开图的上边的交点记作点G，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，
Ⅱ.由题意可知，GF＝h，OB＝b，由的长为a，得展开后的线段AD＝a，
Ⅲ.设线段GC的长为x，则的长也为x，
Ⅳ.由母线长为l，可求出∠C'OG，作BE⊥OG，垂足为E，
Ⅴ.因为OB＝b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，
Ⅵ.利用勾股定理表示出BG，接着由FD＝CG＝x，得到AF＝a－x，利用勾股定理可以求出AG，
Ⅶ.将AF＋BE即得到AH，将EG＋GF即得到HB，因为两点之间线段最短，得出A，G，B三点共线，
Ⅷ.利用勾股定理可以得到关于x的方程，即可解出x，
Ⅸ.将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长.第3章投影与视图 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列立体图形中，侧面展开图不是矩形的是（ ）
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.三棱柱
2.下列现象不属于投影的是（ ）
A.皮影 B.树影 C.手影 D.素描画
3.如图所示的几何体的主视图是（ ）
第3题图
A B C D
4.小明拿一个等边三角形木框在太阳光下摆弄，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（ ）
A.一条线段 B.钝角三角形
C.点 D.直角三角形
5.如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（ ）
第5题图
A B C D
6.圆形桌面（桌面中间有一个直径为1 m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面2 m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
第6题图
A.2π m2 B.3π m2 C.6π m2 D.12π m2
7.如图是一束太阳光线从教室窗户射入教室的平面示意图.测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2 m，窗户下檐到教室地面的距离BC＝1 m（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高AB为（ ）
第7题图
A.3 m B.2.5 m C. 2 m D.1.5 m
8.在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来（如图所示），则这堆正方体小货箱的个数是（ ）
第8题图
A.11 B.10 C.9 D.8
9.如图，小梅居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上，小梅由点A处径直走到点B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的函数图象大致是（ ）
第9题图
A B C D
10.某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
第10题图
A.该几何体是长方体 B.该几何体的高是3 m
C.底面有一边的长是1 m D.该几何体的表面积为18 m2
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影（填“平行”或“中心”）.
第11题图
12.如图是某几何体的展开图，该几何体是 .
第12题图
13.某长方体的主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为 .
第13题图
14.已知圆锥底面半径为1，它的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，则圆锥的侧面积为 .
15.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图均为如图所示的图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为 .
第15题图
16.如图是上、下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，则所需胶带长度至少为 cm.（结果保留根号）
17.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）.则木杆AB在x轴上的影长CD为 .第17题图
18.如图，下晚自习后，小明回家走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和CD）之间，并且自己与被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己左边的影子（HF）长为1.5 m，右边的影子（HE）长为3 m，又知自己身高（GH）为1.8m，两盏路灯的高度相同，两盏路灯之间的距离（BD）为12米，则路灯的高度为 m.
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）请将图中的几何体和它们所对应的侧面展开图用直线连接起来。
20.（6分）一个缺口朝前的立体图形如图所示，请画出它的三视图.
21.（6分）如图为一直三棱柱，试画出它的侧面展开图，并求侧面展开图的面积和直三棱柱的表面积.
22.（8分）如图为一机器零件的三视图.
（1）请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；
（2）若三视图中的三角形为等边三角形，请根据图中所标的尺寸（单位：cm），计算这个几何体的表面积.
23.（8分）如图，这是由棱长为1的正方体组成的几何体.
（1）该几何体的体积是 （立方单位），表面积是 （平方单位）；
（2）请在方格纸中用实线画出它的三个视图.
24.（8分）用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数，请解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）这个几何体最少由 个小立方体搭成，最多由 个小立方体搭成；
（3）当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图.
25.（12分）综合实践课上，老师组织学生进行“测量物体的高度”的活动，三个小组分别选择测量学校里甲、乙、丙三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别采集了如下的数据：
A小组：测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m，甲树的影长为4 m；
B小组：如图1，乙树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，测量墙壁上的影长CD＝1.2 m，落在地面上的影长AC＝2.4 m；
C小组：如图2，丙树OP的影子除落在地面上外，还有一部分影子落在一个斜坡上.测得落在地面上的影长OQ＝2 m，斜坡上的影长QR＝4 m，且∠OQR＝150°.
根据以上信息分别求甲、乙、丙三棵树的高度（结果保留根号）.
26.（12分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图1，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm.在图2所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.
图1
图2
（2）图3中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
图3
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 （用含l，h的代数式表示）.
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b.圆柱的侧面展开图如图4所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.
图4
