第4章 概率 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列事件中，属于必然事件的是（ A ）
A.旭日东升 B.守株待兔
C.大海捞针 D.水中捞月
2.下列说法正确的是（ A ）
A.在同一年出生的366名学生中，至少有两人的生日是同一天
B.某种彩票中奖的概率是1％，买100张这种彩票一定会中奖
C.天气预报明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨
D.抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
3.一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ A ）
A. B. C. D.
4.从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点（m，n）在函数y＝的图象上的概率是（ B ）
A. B. C. D.
5.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为B区第2排1号到40号，采用随机抽取的方法分票，小明第一个抽取，他抽取的座位号为10号，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，抽取的票恰好与小明是邻座的概率是（ D ）
A. B. C. D.
6.A，B，C三名同学玩“抢凳子”游戏.他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ A ）
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三个内角角平分线的交点
D.三边高的交点
7.在综合实践活动课上，老师布置了“用频率估计概率”的实践活动，小明和小梅统计了试验中某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ A ）
A.从一个装有2个白球和一个红球的袋子中任取1个球，取到的是红球的概率
B.任意写出一个正整数，它能够被2整除的概率
C.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率
D.掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现1点的概率
第7题图
8.如图，在4×4正方形网格中，阴影部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ B ）
第8题图
A. B. C. D.
9.从如图所示的四个带圆圈的数字中，任取两个数字（既可以是相邻的也可以是相对的两个数字），相互交换它们的位置，交换一次后能使①②两数在相对位置上的概率是（ A ）
第9题图
A. B. C. D.
10.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1，2，随机摸出一个小球（不放回），其上的数字记为p，再随机摸出另一个小球，其上的数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.“负数小于正数”，这一事件是 必然 事件（填“必然”“不可能”或“随机” ）.
12.对某品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验，有198瓶合格，若在这批酸奶中任取一批，恰好取到合格品的概率是 99％ .
13.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 .
14.从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 20 个白球.
15.在每个小正方形边长均为1的1×2的网格格点（格点即每个小正方形的顶点）上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其余格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的可能性为 .
第15题图
16.如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边相切，已知AB＝10 m，AC＝8 m，BC＝6 m.若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为 .（π取3）
第16题图
17.一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 .
18.如图，有5个开关A，B，C，D，E和1只灯泡，闭合开关E或同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，D都可使灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，使灯泡发光的概率是 .
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分.小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率.
解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，
∴两次分数之和不大于3的概率为.
20.（6分）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式.在一次购物中，小红和小明都想从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择相同支付方式的概率.
解：将微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择相同支付方式的结果有4种，
∴两人恰好选择相同支付方式的概率为＝.
21.（8分）从一副52张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到表中部分数据：
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块 的次数 11 18 a 40 49 63 68 80 91 100
出现方块 的频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 b 0.253 0.250
（1）上表中a＝ 30 ，b＝ 0.25 ；
解：（1）根据题意得，＝0.250，
解得a＝30，b＝＝0.25，
故答案为30，0.25.
（2）从上表中可以估计出现方块的概率.（精确到0.01）.
解：（2）根据题意，当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附近，
∴出现方块的概率是0.25.
22.（6分）有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁.
（1）随机取出一把钥匙，取出A钥匙的概率是 ；
（2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
解：（2）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，
∴一次打开锁的概率为＝.
23.（6分）不透明的口袋里装有2个红球2个白球（除颜色外其余都相同）.
事件A：随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球；
事件B：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，两次都摸到相同颜色的球.
试比较上述两个事件发生的可能性哪个大？请说明理由.
解：事件A：随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的可能性为×＝；
事件B：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，两次都摸到相同颜色的球的可能性为＝.
＜.
答：事件B发生的可能性较大.
24.（10分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.甲、乙两人用它们做游戏：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字相乘，如果积大于10，那么甲获胜；如果积不大于10，那么乙获胜，请你解决下列问题：
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
解：（1）根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果.
（2）求甲、乙两人获胜的概率，并说明游戏是否公平.
解：（2）由（1）知共有6种等可能的结果，其中两个数字相乘，积大于10的有2种，积不大于10的有4种，则甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是＝.
∵＜，∴游戏不公平.
25.（12分）【提出问题】在一个不透明的盒子中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估计不同颜色的球的数量？
【活动操作】先从盒子中摸出8个球，画上记号放回盒子中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色、记号.放回盒中，再继续摸球，记录，放回袋中.
【统计结果】摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的类别 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
（1）由上述的摸球试验推算：
①盒子中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
②求盒子中红球的个数.
【拓展应用】
（2）设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子里放入2个白球，如果希望从中任意摸出一个球是白球的频率是，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（除颜色外均相同）.
解：（1）由题意，得
①盒中红球占总球数的百分比是＝0.4＝40％.
盒子中黄球占总球数的百分比是1－40％＝60％.
②设盒子中有m个球，可得＝，解得m＝100.经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意.
即盒中有100个球，则盒中有红球100×40％＝40（个）.
（2）设需要放入x个其他颜色的球，根据题意，得＝，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意.
即应该向盒子中再放入4个其他颜色的球.
26.（12分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动.为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级（1）班的所有学生在家的劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图.根据图表信息回答以下问题：
类别 劳动时间x
A 0≤x＜1
B 1≤x＜2
C 2≤x＜3
D 3≤x＜4
E 4≤x
（1）九年级（1）班的学生共有 50 人，补全条形统计图；
解：（1）∵15÷30％＝50（人），
∴九年级（1）班的学生共有50人；
∴B的人数为50×28％＝14（人），
∴D的人数为50－8－14－15－5＝8（人）.
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
解：（2）∵800×＝208（人），
∴估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为208人；
（3）已知E类学生中有2名女生和3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
解：（3）画树状图如下：
由图可知，一共有20种等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率是P＝＝.第4章 概率 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.旭日东升 B.守株待兔
C.大海捞针 D.水中捞月
2.下列说法正确的是（ ）
A.在同一年出生的366名学生中，至少有两人的生日是同一天
B.某种彩票中奖的概率是1％，买100张这种彩票一定会中奖
C.天气预报明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨
D.抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
3.一个布袋里装有2个红球，3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点（m，n）在函数y＝的图象上的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为B区第2排1号到40号，采用随机抽取的方法分票，小明第一个抽取，他抽取的座位号为10号，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，抽取的票恰好与小明是邻座的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.A，B，C三名同学玩“抢凳子”游戏.他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三个内角角平分线的交点
D.三边高的交点
7.在综合实践活动课上，老师布置了“用频率估计概率”的实践活动，小明和小梅统计了试验中某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A.从一个装有2个白球和一个红球的袋子中任取1个球，取到的是红球的概率
B.任意写出一个正整数，它能够被2整除的概率
C.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率
D.掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现1点的概率
第7题图
8.如图，在4×4正方形网格中，阴影部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9.从如图所示的四个带圆圈的数字中，任取两个数字（既可以是相邻的也可以是相对的两个数字），相互交换它们的位置，交换一次后能使①②两数在相对位置上的概率是（ ）
第9题图
A. B. C. D.
10.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1，2，随机摸出一个小球（不放回），其上的数字记为p，再随机摸出另一个小球，其上的数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.“负数小于正数”，这一事件是 事件（填“必然”“不可能”或“随机” ）.
12.对某品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验，有198瓶合格，若在这批酸奶中任取一批，恰好取到合格品的概率是 .
13.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 .
14.从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球.
15.在每个小正方形边长均为1的1×2的网格格点（格点即每个小正方形的顶点）上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其余格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的可能性为 .
第15题图
16.如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边相切，已知AB＝10 m，AC＝8 m，BC＝6 m.若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为 .（π取3）
第16题图
17.一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 .
18.如图，有5个开关A，B，C，D，E和1只灯泡，闭合开关E或同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，D都可使灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，使灯泡发光的概率是 .
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分.小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率.
20.（6分）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式.在一次购物中，小红和小明都想从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择相同支付方式的概率.
21.（8分）从一副52张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到表中部分数据：
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块 的次数 11 18 a 40 49 63 68 80 91 100
出现方块 的频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 b 0.253 0.250
（1）上表中a＝ ，b＝ ；
（2）从上表中可以估计出现方块的概率.（精确到0.01）.
22.（6分）有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁.
（1）随机取出一把钥匙，取出A钥匙的概率是 ；
（2）随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
23.（6分）不透明的口袋里装有2个红球2个白球（除颜色外其余都相同）.
事件A：随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球；
事件B：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，两次都摸到相同颜色的球.
试比较上述两个事件发生的可能性哪个大？请说明理由.
24.（10分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.甲、乙两人用它们做游戏：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字相乘，如果积大于10，那么甲获胜；如果积不大于10，那么乙获胜，请你解决下列问题：
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）求甲、乙两人获胜的概率，并说明游戏是否公平.
25.（12分）【提出问题】在一个不透明的盒子中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估计不同颜色的球的数量？
【活动操作】先从盒子中摸出8个球，画上记号放回盒子中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，记录颜色、记号.放回盒中，再继续摸球，记录，放回袋中.
【统计结果】摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的类别 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
（1）由上述的摸球试验推算：
①盒子中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
②求盒子中红球的个数.
【拓展应用】
（2）设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子里放入2个白球，如果希望从中任意摸出一个球是白球的频率是，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（除颜色外均相同）.
26.（12分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动.为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级（1）班的所有学生在家的劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图.根据图表信息回答以下问题：
类别 劳动时间x
A 0≤x＜1
B 1≤x＜2
C 2≤x＜3
D 3≤x＜4
E 4≤x
（1）九年级（1）班的学生共有 人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中有2名女生和3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
