期中综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列函数中，是二次函数的是（ B ）
A.y＝x B.y＝x2＋1 C.y＝ D.y＝－
2.已知☉O的半径为5，当线段OA＝6时，则点A与☉O的位置关系是（ B ）
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定
3.已知AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝16，OE＝6，则☉O的直径为（ D ）
A.8 B.10
C.16 D.20
4.将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ A ）
A.y＝3（x－2）2＋6 B.y＝3（x－2）2－6
C.y＝3（x＋2）2＋6 D.y＝3（x＋2）2－6
5.下列语句中正确的是（ C ）
A.直径是弦，弦是直径 B.相等的圆心角所对的弦相等
C.三角形的内心到三边的距离相等 D.三点确定一个圆
6.设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－x2－2x＋2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ A ）
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2
7.如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上的三等分点，则∠ACD的度数是（ B ）
第7题图
A.20° B.30° C.40° D.50°
8.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与☉O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，☉O的半径为5cm，则图中弧CD的长为（结果保留π）（ B ）
第8题图
A.π cm B.π cm C.π cm D.π cm
9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是x＝，给出下列四个结论：①c＜0，②abc＜0，③a－b＋c＞0，④2a＋3b＝0.其中正确的是（ D ）
第9题图
A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①③④
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若＝，则sinC的值是（ B ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.抛物线y＝－x2－2x＋1的对称轴是直线 x＝－1 .
12.若抛物线y＝x2－6x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为 9 .
13.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）.
第13题图
14.已知☉O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与☉O的位置关系是 相离 .
15.如图，在☉O中，若∠AOC＝140°，∠ACB＝50°，则∠OBC的度数为 70° .
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.☉O是△ABC的内切圆，分别与AC，BC，AB相切于点D，E，F，则圆心O到顶点A的距离为 .
第16题图
17.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 3＋ .
第17题图
18.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2－3x＋1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若｜x1－x0｜＞｜x2－x0｜时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（－1，－2），N（3，2）两点，且抛物线y＝ax2－3x＋1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ≤a＜2 .
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD.求证：CE＝BE.
证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴－＝－，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE.
20.（6分）已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋c.若a＝1，函数的图象经过点（1，－4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值.
解：将a＝1，点（1，－4）和点（2，1）代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴该函数的表达式为y＝x2＋2x－7.
∵y＝x2＋2x－7＝（x＋1）2－8，
∴x＝－1时，y的最小值为－8.
21.（6分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°.尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时有A，B，E三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.
解：如图，设圆心为O点，连接OA，AB，OE，OE交AB于C.
由题意，得AB＝16cm，CE＝4cm，E为的中点，则OE⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8（cm）.
设☉O的半径为Rcm，则OC＝（R－4）cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理，得OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝82＋（R－4）2，解得R＝10.
答：该球的半径是10cm.
22.（8分）如图，抛物线y1＝－2x2＋1和直线y2＝x交于A，B两点.
（1）求A，B两点的坐标；
解：（1）根据题意，得
解得或
则点A的坐标是（－1，－1），点B的坐标是（，）.
（2）根据图象，写出当x取何值时，y1＞y2.
解：（2）根据图象，当－1＜x＜时，y1＞y2.
23.（8分）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，E是BC的中点，连接OE并延长交半圆O于点D.
（1）求证：OD∥AC；
解：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.
∴OD⊥BC，∴∠BEO＝90°.
∴∠C＝∠BEO，
∴OD∥AC.
（2）若AB＝8，求阴影部分的面积.
解：（2）连接OC，在Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，AC＝AB＝OA＝4，BC＝＝4.
∴S△AOC＝S△ABC＝××4×4＝4.
∴阴影部分的面积＝S扇形OAC－S△AOC＝－4＝－4.
24.（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤70且为整数）的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x≤40 41≤x≤70
售价（元/件） x＋50 90
每天销售量（件） 100－x
已知该商品的进价为每件40元.请根据上表信息解答下列问题：
（1）销售该商品第几天时，当天销售利润为2 800元？
解：（1）当1≤x≤40时，y＝（100－x）（x＋50－40）＝－x2＋90x＋1 000＝2 800，
∴x＝30或x＝60（不合题意，舍去）.
当41≤x≤70时，y＝（100－x）（90－40）＝－50x＋5 000＝2 800，
∴x＝44.
答：销售该商品第30天或第44天时，当天销售利润为2 800元.
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
解：（2）当1≤x≤40时，y＝（100－x）（x＋50－40）
＝－x2＋90x＋1 000＝－（x－45）2＋3 025.
∵a＝－1＜0，
∴当x＜45时，y随x的增大而增大.
∴当x＝40时，y取得最大值，最大值为3 000.
当41≤x≤70时，y＝（100－x）（90－40）＝－50x＋5 000.
∵－50＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x＝41时，y取得最大值，最大值为2 950.
综上，销售该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是3 000元.
25.（12分）（湖南中考）已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A（－2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点.
（1）求此二次函数的表达式；
解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝－4＋c，则c＝9，
即抛物线的表达式为y＝－x2＋9；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值；
解：（2）证明：令y＝－x2＋9＝0，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3，
设点P，Q，D的坐标分别为（x1，－＋9），（x2，－＋9），（x1，－x1＋3），
则S△PDQ＝×PD×（xQ－xP）＝×（－＋9＋x1－3）（x2－x1）＝（－＋x1＋6），
同理可得：S△ADC＝×CD×（xD－xA）＝（－＋x1＋6），
则＝3为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值.
解：（3）点P，Q的坐标分别为（x1，－＋9），（－2x1，－4＋9），由点P，Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝x1（x－x1）－＋9＝xx1－2＋9，则MN＝yM＝（x1－1）x1－2＋9＝－＋≤，故MN的最大值为.
26.（12分）【初步感知】如图1，点A，B，P均在☉O上，若∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 45 度；
图1
解：【初步感知】∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为45；
【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：☉O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接PA，PB，PC.求证：PB＝PA＋PC；小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA.可推得△PBE是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程.
【深入探究】证明：如图2，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，
图2
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形，
∴∠BAP＋∠BCP＝180°，
∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠ACB＝60°，
又∵AE＝PC，∴△PBC≌△EBA（SAS），
∴PB＝EB，∴∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PB＝PE＝AE＋AP＝PC＋AP；
【启发应用】如图3，☉O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在☉O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC，若PB＝2PA，则的值为 .
【启发应用】如图3，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BG.
图3
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形，
∴∠BAP＋∠BCP＝180°，
∵∠BAP＋∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，
∵BA＝BC，AG＝PC，∴△PBC≌△GBA（SAS），
∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠GBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴PG＝BP，
∵PG＝PA＋AG＝PA＋PC，
∴PC＝PG－PA＝×2PA－PA＝3PA，
∴＝＝.期中综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A.y＝x B.y＝x2＋1 C.y＝ D.y＝－
2.已知☉O的半径为5，当线段OA＝6时，则点A与☉O的位置关系是（ ）
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定
3.已知AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝16，OE＝6，则☉O的直径为（ ）
A.8 B.10
C.16 D.20
4.将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A.y＝3（x－2）2＋6 B.y＝3（x－2）2－6
C.y＝3（x＋2）2＋6 D.y＝3（x＋2）2－6
5.下列语句中正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径 B.相等的圆心角所对的弦相等
C.三角形的内心到三边的距离相等 D.三点确定一个圆
6.设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－x2－2x＋2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2
7.如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上的三等分点，则∠ACD的度数是（ ）
第7题图
A.20° B.30° C.40° D.50°
8.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与☉O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，☉O的半径为5cm，则图中弧CD的长为（结果保留π）（ ）
第8题图
A.π cm B.π cm C.π cm D.π cm
9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是x＝，给出下列四个结论：①c＜0，②abc＜0，③a－b＋c＞0，④2a＋3b＝0.其中正确的是（ ）
第9题图
A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①③④
10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若＝，则sinC的值是（ ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.抛物线y＝－x2－2x＋1的对称轴是直线 .
12.若抛物线y＝x2－6x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为 .
13.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）.
第13题图
14.已知☉O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与☉O的位置关系是 .
15.如图，在☉O中，若∠AOC＝140°，∠ACB＝50°，则∠OBC的度数为 .
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.☉O是△ABC的内切圆，分别与AC，BC，AB相切于点D，E，F，则圆心O到顶点A的距离为 .
第16题图
17.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 .
第17题图
18.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2－3x＋1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若｜x1－x0｜＞｜x2－x0｜时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（－1，－2），N（3，2）两点，且抛物线y＝ax2－3x＋1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 .
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD.求证：CE＝BE.
20.（6分）已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋c.若a＝1，函数的图象经过点（1，－4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值.
21.（6分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°.尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时有A，B，E三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.
22.（8分）如图，抛物线y1＝－2x2＋1和直线y2＝x交于A，B两点.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）根据图象，写出当x取何值时，y1＞y2.
23.（8分）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，E是BC的中点，连接OE并延长交半圆O于点D.
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AB＝8，求阴影部分的面积.
24.（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤70且为整数）的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x≤40 41≤x≤70
售价（元/件） x＋50 90
每天销售量（件） 100－x
已知该商品的进价为每件40元.请根据上表信息解答下列问题：
（1）销售该商品第几天时，当天销售利润为2 800元？
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
25.（12分）（湖南中考）已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A（－2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值.
26.（12分）【初步感知】如图1，点A，B，P均在☉O上，若∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度；
图1
【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：☉O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接PA，PB，PC.求证：PB＝PA＋PC；小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA.可推得△PBE是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程.
图2
【启发应用】如图3，☉O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在☉O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC，若PB＝2PA，则的值为 .
图3
