（核心素养）19.2.1 第一课时 正比例函数 教学设计 人教版数学八年级下册

第十九章一次函数
19.2.1第一课时《正比例函数》
教学设计
一、教学目标
1.深入理解正比例函数的概念，能够准确阐述正比例函数的定义和特征。
熟练掌握正比例函数的解析式形式。
2.能够根据给定的条件，熟练且准确地求出正比例函数的解析式。
3.能够准确判断一个函数是否为正比例函数，提高对函数类型的识别能力。
4.亲身经历用函数解析式表示实际问题中函数关系的完整过程，进一步增强符号意识，学会用数学符号准确地表达实际问题中的数量关系。
5.积极参与从一类具体实例中抽象出正比例函数概念的过程，培养数学抽象概括能力，学会从具体现象中归纳出一般规律。
6.通过对正比例函数概念的探究和应用，提高分析问题和解决问题的能力，体会数学建模的思想方法。
7.在小组合作学习和讨论中，学会与他人交流和合作，提高团队协作能力和表达能力。
核心素养目标
1.通过列举丰富的具体实例来引进正比例函数的概念，深切感受数学与生活的紧密联系，体会数学源于生活且服务于生活，从而激发学习数学的兴趣。
2.在自主探究和小组合作的过程中，获得成功的体验，树立学好数学的自信心，培养勇于探索和创新的精神。
3.培养严谨的数学思维和科学态度，在判断函数是否为正比例函数以及求解解析式的过程中，养成认真、细致、准确的良好习惯。
二、教学重点、难点
重点
正确、深入地理解正比例函数的概念，把握其本质特征。
能够根据正比例函数的概念，准确判断一个函数是否为正比例函数。
难点
根据已知条件，合理、准确地写出正比例函数的解析式，理解解析式中 的确定方法。
从实际问题中抽象出正比例函数关系，建立数学模型，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学过程
（一）情境导入 ——“生活实例引思考”
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)
(2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4)
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即
y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.
设计意图：以学生熟悉的京沪高铁为背景，提出实际问题，让学生感受到数学在生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，同时为引出正比例函数的概念做铺垫。
（二）思考探究 ——“函数特征细分析”
思考1
y=300t 中自变量与常量用什么运算符号连接起来？
思考2
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
设计意图：通过思考问题，引导学生观察函数解析式的形式，为抽象出正比例函数的概念做准备，培养学生的观察和分析能力。
（三）概念形成 ——“归纳总结得定义”
正比例函数
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx.
设计意图：通过对多个具体函数的观察和分析，引导学生归纳出正比例函数的概念，培养学生的抽象概括能力，让学生经历从特殊到一般的认知过程。
（四）例题讲解 ——“概念应用明方法”
例1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
(1) y=-0.1x (2) y= (3) y=2x2 (4) y2=4x
解：(1)，(2)是正比例函数.
例2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
(1)正方形的边长为x cm，周长为y cm；
(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元；
(3)一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x cm，体积为y cm3.
解：(1)y=4x，是正比例函数；(2)y=12x，是正比例函数；(3)y=3x，是正比例函数.
设计意图：通过例题，让学生运用正比例函数的概念进行判断和列式，加深对概念的理解和掌握，提高学生运用知识解决问题的能力。
（五）课堂练习 ——“巩固提升强能力”
下列函数中，哪些是正比例函数？
1.(1)y=2x
(2)y=
(3)y=-3x
(4)y=-
2.某汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系是怎样的？它是正比例函数吗？
设计意图：通过课堂练习，及时巩固学生所学的正比例函数的概念和求解析式的方法，反馈学生对知识的掌握情况，发现学生存在的问题并及时进行纠正和指导。
（六）课堂小结 ——“知识梳理促内化”
本节课你有哪些收获？
引导学生从正比例函数的概念、判断方法、求解析式的方法以及与生活的联系等方面进行总结。
还有没解决的问题吗？
鼓励学生提出疑问，共同探讨解决。
设计意图：引导学生对本节课所学内容进行全面总结，梳理知识体系，强化重点知识，同时培养学生的反思总结能力和问题意识。
四、总结
同学们，在今天的数学学习中，我们一起认识了正比例函数这个新朋友。我们从生活中的京沪高铁、圆的周长、铁块的质量等实例出发，通过观察、分析和归纳，得出了正比例函数的概念。我们知道了形如 （ 是常数，）的函数就是正比例函数，也学会了如何判断一个函数是否为正比例函数，以及如何根据条件求出正比例函数的解析式。正比例函数就像一把钥匙，帮助我们打开了用数学描述生活中许多数量关系的大门。希望大家在今后的学习和生活中，能够运用正比例函数的知识，更好地理解和解决各种实际问题，继续探索数学的奥秘，感受数学的魅力。
五、教学反思
（一）成功之处
情境导入生动有效：以京沪高铁的实际问题作为情境导入，贴近学生的生活实际，能够迅速吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，为后续学习正比例函数的概念奠定了良好的基础。
概念形成过程清晰：通过多个具体实例引导学生观察、分析和归纳，逐步抽象出正比例函数的概念，让学生亲身经历了知识的形成过程，有助于学生理解和掌握概念，培养了学生的抽象概括能力。
例题和练习设计合理：例题和练习的选择具有针对性和层次性，能够帮助学生巩固所学的正比例函数的概念和求解析式的方法，及时反馈学生的学习情况，便于教师调整教学策略。
（二）不足之处
学生主体地位体现不够充分：在教学过程中，虽然有提问和讨论环节，但部分学生参与度不高，教师主导作用发挥较多，学生的主体地位没有得到充分体现。
对概念的深入理解引导不足：在讲解正比例函数的概念时，对于 的取值范围和意义、自变量 的次数等关键要素，引导学生深入理解的程度不够，学生可能只是机械地记忆概念，而没有真正理解其本质。
小组合作学习效果不佳：在小组讨论环节，部分小组讨论不够深入，存在个别学生主导讨论，其他学生参与度低的情况，小组合作学习的效果没有充分发挥。
（三）改进措施
强化学生主体地位：设计更多让学生自主探究和展示的活动，如让学生自己举例说明正比例函数在生活中的应用，充分发挥学生的主观能动性。
加强对概念的深入引导：在讲解概念时，通过更多的实例和对比，引导学生深入理解X的取值范围和意义、自变量X的次数等关键要素，帮助学生真正掌握正比例函数的本质。
优化小组合作学习：加强对小组合作学习的指导，明确小组分工，鼓励每个学生积极参与讨论，提高小组合作学习的效率和质量。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见