四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期开学考试 数学（PDF版，含答案）

树德中学高 2022级高三下学期数学开学考试
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合A= x∣x2-1<0 ,B= x∣lgx≤0 ，则A∪B= ( )
A. {x ∣ 0< x< 1} B. {x ∣ 0< x≤ 1} C. {x ∣-1< x< 1} D. {x ∣-1< x≤ 1}
2. 4i若复数 z= + (其中 i为虚数单位)，则 |z| = ( )1 i
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
3.已知直线 l在平面 α外，则下列命题一定正确的是 ( )
A. 存在直线m α，使 l∥m B. 存在直线m α，使 l⊥m
C. 存在直线m α，使 l，m相交 D. 存在直线m α π，使 l，m所成角为
6

4. 已知单位向量 a,b的夹角为 60°，则在下列向量中，与 b垂直的是 ( )
A. a

+ 2b B. 2a - b C. a - 2b D. 2a + b
5.已知函数 f x = ex+ e-x+2，则 ( )
A. f x 关于点（2,0）对称 B. f x 关于点（- 2,0）对称
C. f x 关于直线 x= 1对称 D. f x 关于直线 x=-1对称
6.设 1+x + (1+ x)2+ +(1+ x)7+ (1+ x)8+ (1+ x)9= a0+ a1x+ +a8x8+ a9x9，则 a2= ( )
A. 120 B. 84 C. 56 D. 36
7.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为 1m，筒车的半径是 3m，盛水筒的初始位置为
P0,OP π0与水平正方向的夹角为 ．若筒车以角速度 2rad/min沿逆时针方6
向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间 (单位：
min)，则 ( )
A. t> π B. sint= 2
2 2
C. sin2t=- 3+2 2 D. cos2t=- 2 6+1
6 6
8.已知A(-2,0)，B(2,0)，若圆 (x- a- 1)2+ (y- 3a+ 2)2= 4上存在点P满足PA PB= 5，则实数 a的
取值范围是 ( )
A. [-1,2] B. [-2,1] C. [-2,3] D. [-3,2]
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.在△ABC C 1中，sin = ，BC= 1，AC= 5，则 ( )
2 2
A. cosC= 1 B. AB= 31
2
C. △ABC 5的面积为 3 D. △ABC外接圆的直径是 7
4
10.过点P(1,0)作两条不同直线分别交抛物线 y2= x于A，B和C，D，其中直线AB垂直于 x轴，直线
AC，BD交于点Q.则 ( )
A. |PC| 3的最小值是 B. yC yD=-1　　　4
C. ∠COD> π D. x =-1
2 Q
11.已知等差数列 an 的公差为 d，前n项和是Sn，满足 a5+ a6= 2lna4，则 ( )
A. d≤- 2 B. a1存在最小值3
C. 满足 an≥ 0的n的最大值为 4 D. S5> 0
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．
12.焦点在 y轴上，且 a= 6，b= 8的双曲线的标准方程为__________
13.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC= 3 ,AP= 2，∠ABC= 60°，则此三棱锥的外接
球的表面积为______
14.已知函数 f(x) = ax2+ 2x- 1，若对任意 x∈R,f( f(x))≤ 0恒成立，则实数 a的最大值是____
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（. 13分）
如图，在棱长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，BB1，C1D1的中点.
(1)过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面C1EF平行，作出截面图形并求截面的面积；
(2)求直线DE与平面C1EF所成角的正弦值.
16（. 15分）
2 2
已知椭圆E: x + y = 1(a> b> 0)的短轴长为 2 2，一个焦点为F1(-2,0)．
a2 b2
(1)求椭圆E的方程和离心率；
(2)设直线 l:x-my- 2= 0与椭圆E交于两点A,B，点M在线段AB上，点F1关于点M的对称点为C.
当四边形AF1BC的面积最大时，求m的值．
17（. 15分）
已知函数 f(x) = ex+ ax在 (0,f(0))处的切线与直线 l:x- 2y+ 4= 0垂直．
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)若对任意实数 x，f(x)≥-x2- 3+ 2b恒成立，求整数 b的最大值．
18（. 17分）
机器人甲、乙分别在A,B两个不透明的箱子中取球，甲先从A箱子中取 2个或 3个小球放入B箱子，然
后乙再从B箱子中取 2个或 3个小球放回A箱子，这样称为一个回合．已知甲从A箱子中取 2个小球的
3 1 2 1
概率为 ，取 3个小球的概率为 ；乙从B箱子中取 2个小球的概率为 ，取 3个小球的概率为 ．现
4 4 3 3
A,B两个箱子各有除颜色外其它都相同的 6个小球，其中A箱子中有 3个红球，3个白球；B箱子中有 2
个红球，4个白球．
(1)求第一个回合甲从A箱子取出的球中恰有 2个红球的概率；
(2)求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；
(3)两回合后，用X,Y分别表示A箱与B箱中小球的个数，求X-Y的分布列及数学期望．
19（. 17分）
在数列 an 中，a1= a≠ 0,anan+1= a2q2n-1,其中，n∈N *且 q≠ 0.
(1)求证： an 为等比数列；
(2)若 a= a1,q= 2,令 bn= n ,当n∈N *且n≥ 1时，不等式 b2- λb ≥ b2- λb 恒成立，求实数 λ的取值
3n-1
n n 4 4
范围；
(3)若 q> 1,an∈N * ,试探究满足 an∈ 100,1000 的n的最大值.
树德中学高 2022级高三下学期数学开学考试（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B B C A D A AC BD ABD
y2 2
12. - x = 1 13.8π 14. 1- 5
36 64 2
15. (1)取C1C的中点H，连接A1B，A1G，BH，GH，即四边形BA1GH为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F分别为A1B1，BB1的中点，所以A1B∥EF，
又A1B 平面C1EF，EF 平面C1EF，所以A1B∥平面C1EF.
在正方形A1B1C1D1中，因为G为C1D1的中点，所以A1E∥GC1，且A1E=GC1，
所以四边形A1EC1G为平行四边形，所以A1G∥EC1，
由于A1G 平面C1EF，EC1 平面C1EF，所以A1G∥平面C1EF.
又A1B∩A1G=A1，A1B,A1G 平面BA1G，所以平面BA1G∥平面C1EF.
连接D1C，易证GH D1C，A1B D1C，则GH A1B，
9
所以A1，B，H，G四点共面，从而截面BA1GH为要求作的截面，其面积为 .2
(2)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ，C1 0,2,2 ，E 2,1,2 ，F 2,2,1 ，

EC1= -2,1,0 ，EF = 0,1,-1 ，DE= 2,1,2 .


设平面C1EF的法向量为m= x,y,z ，则 EC
1 m=-2x+y=0
EF m
，
=y-z=0
令 x= 1，得m = 1,2,2 ，
DE m
所以 cos DE,m

=
8
= .
DE m 9
8
故直线DE与平面C1EF所成角的正弦值为 .9
( ) c=2,= a= 6,16. 1 由题设 2b 2 2, 解得 2= 2+ 2 b= 2.a b c .
x2 y2 c 6
所以椭圆E的方程为 + = 1,E的离心率为 = ．
6 2 a 3
(2)设椭圆E的另一个焦点为F2(2,0)，则直线 l过点F2．
x=my+2,由 22+ 2= 得 (m + 3)y
2+ 4my- 2= 0．
x 3y 6
设A(x1,y1),B(x ,y ) y + y = -4m y y = -22 2 ，则 1 2 ， ．
m2+ 1 23 m2+3
由题设，点M为线段F1C的中点，所以点F1和点C到直线AB的距离相等．
所以四边形AF1BC的面积为△F1AB面积的 2倍．
-2
又 y1y2= < 0，
m2+3
S = 2S = 2× 1所以 四边形AFBC △FAB × F1F2 ×( y1 + y2 ) = 4 y1-y2 = 4 (y1+y2)
2-4y1y ．1 1 2 2
所以S = 4 16m
2 8 m2
四边形AFBC + = 8 6
+1 ．
1 (m2+3)2 m2+3 (m2+3)2
设 t=m2+ 1，则 t≥ 1．
所以S t 1四边形AFBC= 8 6 2 = 8 6 4 ≤ 4 3． 1 (t+2) t+ t +4
当且仅当 t= 2，即m=±1时，S四边形AFBC= 4 3．1
所以四边形AF1BC的面积最大时，m=±1．
17. (1)由 f′ x = ex+ a，得 k= f′ 0 = 1+ a，
又切线与直线 l：x- 2y+ 4= 0垂直，所以 k=-2，即 a=-3．所以 f′ x = ex- 3，
令 f′ x = 0，得 x= ln3，
当 x< ln3时，f′ x < 0，f x 单调递减；
当 x> ln3时，f (x)> 0，f x 单调递增．
所以 f x 的单调递减区间为 -∞,ln3 ，单调递增区间为 ln3,+∞ ．
(2)对任意实数 x，f x ≥-x2- 3+ 2b恒成立，即对任意实数 x,ex+ x2- 3x+ 3≥ 2b恒成立．
设 g x = ex+ x2- 3x+ 3 b≤ 1，即 g x min．2
g′ x = ex+ 2x- 3，令 h x = g′ x = ex+ 2x- 3，
所以 h′ x = ex+ 2> 0恒成立，所以 g′ x = ex+ 2x- 3在R上单调递增．
又 g′ 1 = e- 2< 0，g′ 1 = e- 1> 0，2
1
所以存在 x ∈ ,1 ，使得 g′ x = 0，即 ex0+ 2x - 3= 0，所以 ex00 0 0 = 3- 2x2 0．
当 x∈ -∞,x0 时，g′ x0 < 0，g x 单调递减；
当 x∈ x0,+∞ 时，g x0 > 0，g x 单调递增．
2
所以 g x min= g x0 = ex0+ x20- 3x0+ 3= 3- 2x 20+ x0- 3x0+ 3= x20- 5x0+ 6= x - 50 - 1 ，2 4
当 x0∈ 1 ,12 2< x2- 5x + 6<
15 1
时， 0 0 ，所以 g x0 ∈ 1, 15 ，4 2 8
b≤ 1由题意知 g x0 且 b∈Z，所以 b≤ 1，即整数 b的最大值为 1．2
18. (1)在第一个回合中，记事件A1表示“甲从A箱子中取出 2个球”，
事件A2表示“甲从A箱子中取出 3个球”，
事件C表示“甲从A箱子取出的球中有 2个红球”，
C2 C2C1
则P C =P A1C +P A2C =P A1 P C A1 +P A 3 3 1 3 3 212 P C A2 = × + × = .4 C2 36 4 C6 80
(2)第一个回合后，A箱子和B箱子中小球个数相同，即甲从A箱子中取出小球的个数与乙从B箱子中
3 2 1 1 7
取出小球的个数一样，所以，P= × + × = ．
4 3 4 3 12
(3)每一个回合后，A,B两个箱子小球数都保持不变的概率P 0 = 3 × 2 + 1 × 1 = 7 ，
4 3 4 3 12
A 1 2 1箱子小球数减少 1个，B箱子小球数增加 1个的概率P -2 = × = ，
4 3 6
A箱子小球数增加 1个，B箱子小球数减少 1个的概率P 2 = 3 × 1 = 1
4 3 4
两个回合后，X-Y的所有可能值为-4, -2,0,2,4
P X-Y=-4 =P -2 ×P -2 = 1 × 1 = 1 ,
6 6 36
P X-Y=-2 =P 1 7 7 -2 ×P 0 +P 0 ×P -2 = × × 2= ,
6 12 36
P X-Y=0 =P 0 ×P 0 +P 2 ×P -2 +P -2 ×P 2 = 7 × 7 + 1 × 1 × 2= 61 ,
12 12 4 6 144
P X-Y=2 =P 2 ×P 0 +P 0 ×P 2 = 1 × 7 × 2= 7 ,
4 12 24
P X-Y=4 1 1 1 =P 2 ×P 2 = × = .
4 4 16
所以随机变量X-Y的分布列为：
X-Y -4 -2 0 2 4
1 7 61 7 1
P
36 36 144 24 16
E 1 7 61 7 1 1所以 X-Y = -4 × + -2 × + 0× + 2× + 4× = ．
36 36 144 24 16 3
anan+1=a
2q2n-1(n≥1)
19. (1)由 ,可知 an+2= q2an,(n≥ 1)an+1an+2=a2q2n+1(n≥0)
所以，a1,a3,a5, ,a2n-1是以 a1为首项，公比为 q2的等比数列，则 a = a (q2)n-1= aq2n-22n-1 1 ,
同时，a2,a4,a6, ,a2n是以 a2为首项，公比为 q2的等比数列，a = a (q2)n-12n 2 = a 2n-22q = aq2n-1,
综上，a = aqn-1n .
因此，an+1= qan(n≥ 1),又 a1= a≠ 0,q≠ 0,
所以 an 是以 a为首项，公比为 q的等比数列.
(2)由 (1) 2可知，a = 2n-1n ,则 b n-1n= ( ) ,3
易知 bn 为单减数列，且 b3= 4 ,b 84= ,b5= 16 ,9 27 81
b2n- λbn≥ b24- λb4恒成立时，关于 t的二次函数 y= t2- λt在 t= b = 84 处达到最小，27
16
81 +
8 4 8
27 λ 9 +≤ ≤ 27则 , 40 ≤ λ≤ 20 . 40 20即 实数 λ的取值范围为 , .2 2 2 81 27 81 27
(3)设等比数列 an 满足：100≤ a< aq< aq2< < aqn-1≤ 1000,其中，a为整数，q> 1.
n
显然，q为有理数，不妨设，q= ,其中，m,n互质，n>m≥ 1.
m
因为 aqn-1= a( n )n-1为整数，所以 a为mn-1的倍数，
m
令n=m+ 1,
于是 100≤ a< a(m+1 )< a(m+1 )2< < a(m+1 )n-1≤ 1000,
m m m
①当m≥ 3时，4n-1≤ a(m+ 1)n-1≤ a(m+1 )n-1≤ 1000,则n≤ 5;
m
m= 2 100 3 )n-1≤ a 3②当 时， （ （ )n-1≤ 1000, 3则（ )n-1≤ 10,此时n≤ 6;
2 2 2
③当m= 1时，100≤ a< a 2n-1≤ 1000,则 2n-1≤ 10,此时n≤ 4;
综上可知，符合条件的等比数列的项数n≤ 6.
q= 3又公比 的等比数列中有 6项：128,192,288,432,648,972均在 100,1000 内，
2
因此nmax= 6.