2025年上学期九年级数学入学测试卷

2025年上学期九年级数学入学测试卷
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（????）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（????）
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是（????）
A． B．
C． D．
4．的平方根是（????）
A．9 B．9和 C．3 D．3和
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（????）
A． B． x≥-1 C．x≥-1且 D．x≤-1且
6．如图，在?ABC中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（????）
A． B． C． D．
第6题图第9题图第10题图
7．已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（???）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若关于的方程无解，则的值为（????）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
9．如图，点A在反比例函数(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数 (k≠0)图象的一支上，点C，D在x轴上．若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为???（?????）
A．6 B．3 C． D．
10．二次的数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．C． D．
二、填空题
11．若，则 ．
12．已知，则 ．
13．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
14．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
第14题图第16题图第17题图
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
16．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
17．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 （填序号）．
18．已知（且），，，…，，则等于 （用含的代数式表示）．
三、解答题
19．计算．
20．（先化简，再求值：，其中，．
21．刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
22．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，．，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段CE和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
24．如图，一次函数． 与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点 Q，若面积为3，求点P的坐标．
25．如图点是正方形中边上一点，将沿翻折得到，使点落在点处，延长与边交于点，直线与交于点．
??
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若直线与的延长线交于点求证：；
(3)如图③，若直线与、的延长线分别交于点、，交于点求证：．
26．抛物线交x轴于、B两点，交y轴于C；直线交抛物线于第一象限内点D，且D的横坐标为5，
(1)求抛物线解析式；
(2)点E为直线下方抛物线上一动点，且，求点E的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年上学期九年级数学入学测试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
C
D
A
C
C
A
1．B
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：2亿，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；?????
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；????
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键．
先求出，再求9的平方根即可．
【详解】解：，
则9的平方根为，
故选：D．
5．C
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选： C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
6．D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键．根据判别式求出，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程无实数根，
，
解得，
则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第一、三象限，
所以两个函数没有交点．
故选：A．
8．C
【分析】将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出m．
【详解】解：去分母，得，
化简得，
∵方程无解，
∴①当时，方程无解；
②当时，方程无解，此时，解得，
即或时，方程无解，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题的关键．
根据反比例函数k的几何意义可得，，再根据进行计算即可．
【详解】解：如图：
??
∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴，，
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，
解得：．
故选：C．
10．A
【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的负半轴相交，
，
的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
11．1
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可得解．
【详解】根据题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设分钟追上，
∴，
解得，，
∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
15．3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
16．6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
【详解】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
17．④⑤/⑤④
【分析】①由图象的开口方向，与轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②由，即可求解；③，，当时，即可求解；④图象与轴有两个交点，即可求解；⑤当时，，即可求解．
【详解】解：①由图象得：图象开口向下，，与轴的截距在正半轴上，，，，，故此项错误；
②，，故此项错误；
③?? ，
如图，，，当时，，故此项错误；
④图象与轴有两个交点，，，故此项正确；
⑤由③得，当时，，，故此项正确；
故答案：④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键．
18．/
【分析】分别求出、、，发现：每三个为一个循环，用2023除以3即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
，
∴发现：每三个为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键．
19．；2
【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．
20．（1）3 （2），．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值化简解答即可．
（2）先对分式通分、因式分解、约分化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，熟练掌握相关公式，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）解：
，
当，时，
原式．
21．(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元
(2)最多能购买100件A种湘绣作品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．
【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
22．(1)7米；3米
(2)18平方米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；
（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
23．(1)见解析；
(2)18．
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形；
（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．
24．(1)，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：设点P的横坐标为p，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
25．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）由“”可证≌，可得；
（2）通过证明，可得，即可得结论；
（3）通过证明，可得，通过证明，可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
??
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿翻折得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．(1)
(2)；E2（2，-4）
(3)存在，（8，20）
【分析】（1）把点A（-2，0）代入，即可求解；
（2）过E作EM垂直x轴交AD于M，先求出点，可得到直线AD解析式为：，然后设，则， 然后根据，得到关于t的方程，即可求解；
（3）先求出点点C（0，-4），B（4，0），可得OC=OB=4，，∠PCO+∠BCF=45°，设CP交x轴于点F，可得∠BCF=∠DAO，然后在x轴上截取，则∠AHN=∠ABC=45°，，可证得△NAH∽△FCB，从而得到，再求出直线CF的解析式，然后与抛物线解析式联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 抛物线y=ax2-2ax-4交x轴于A（-2，0），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
（2）解：过E作EM垂直x轴交AD于M，
∵D的横坐标为5，
∴，即，
设直线AD的解析式为，
把点、代入得：
，解得：，
∴直线AD解析式为：，
设，则，
∴=21，
解得：t1=1，t2=2，
∴，E2（2，-4）；
（3）解：当x=0，y=-4，
∴点C（0，-4），
令y=0，则，
解得：，
∴点B（4，0），
∴OC=OB=4，，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠PCO+∠BCF=45°，
设CP交x轴于点F，
∵∠PCO+∠DAO=∠CBO，
∴∠PCO+∠DAO=45°，
∴∠PCO+∠DAO=∠PCO+∠BCF，
∴∠BCF=∠DAO，
设直线AD交y轴于点N，则N（0，1） ，
∴ON=1，
在x轴上截取，则∠AHN=∠ABC=45°，，
∵点A（-2，0），
∴OA=2，
∴AH=3，
∴△NAH∽△FCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CF的解析式为，
把点C（0，-4），代入得：
，解得：，
∴直线CF的解析式为y=3x-4，
∴联立，解得：，（舍去），
∴点P的坐标为（8，20）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．