四川省2025届高三下学期第一次教学质量联合测评（2月联考）数学试题（含解析）

四川省2025届高三下学期第一次教学质量联合测评（2月联考）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.从小到大排列的一组数据，，，，，的中位数等于平均数，则( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列，若，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，为正实数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，，分别是，的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，，且，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量的分布列如下，则( )
A. B. C. D.
10.已知菱形的边长为，，将沿对角线向上折起，得到平面，二面角的大小为，则( )
A. 当时，
B. 当时，二面角是锐角
C. 当时，四面体各条棱长相等
D. 当时，四面体的外接球表面积为
11.已知函数满足：，，，且，那么( )
A. B.
C. D. 若，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.若是函数的一个极大值点，则 ．
13.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量对于平面内任意一点，若向量，则记，已知平面内两点，，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
函数的单调递减区间为 ．
15.本小题分
在中，已知内角，，的对边分别为，，，为线段上一点，．
若为的中点，且，求面积的最大值
若，，且，求．
16.本小题分
已知抛物线，直线当时，与有且仅有一个交点．
求的方程
若与交于两个不同的点，，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求．
17.本小题分
在直三棱柱中，，，为平面与平面的交线，为直线上一点．
若，求的面积
若平面与平面夹角的余弦值为，求．
18.本小题分
某保险公司随机选取了名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔 驾龄 合计
不满年 年以上
是
否
合计
依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关
保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为假设投保司机中新司机的占比为随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为已知，．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)证明：，并给出该不等式的直观解释．
附：，
19.本小题分
已知定义在上的函数满足，且，，有若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”．
若是“阶梯函数”，且当时，，写出，的取值范围
已知满足：，有．
(ⅰ)证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”
(ⅱ)若所有满足条件的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：因为是纯虚数，
所以，即
故选C．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，
解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：设的公比为，
所以，得．
又，
所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：由，为正实数，
所以当时，；
当时，取，，，
故“”是“”的充分而不必要条件．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：记，
由题意，
即，
所以．
因为四边形的面积为，
所以的面积为，
即，
又，
所以，
则，
的短轴长为．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：由，
得．
因为，
所以，
则，
即，
所以，
即．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】解：设，在翻折后有，，
所以二面角的平面角为，
当时，平面，又平面，可得，
若，又，，，平面，
则有平面，
此时，与矛盾，
故A错误；
当时，，
取的中点，
由，，知，，
所以为二面角的平面角，，
从而，
故为锐角，B正确；
当时，，
故四面体各条棱长均为，C正确；
当时，四面体为棱长为的正四面体，
其外接球半径为，
其表面积为，D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】解：令，，得，
因为，
所以，A正确．
取，则，B错误．
令，得，
所以，C正确．
令，得
令，得，
从而，
故．
若，则是周期为的函数，
所以，
即，恒成立，与矛盾，D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】解：由题意，，
得，
所以，
则．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：当，时，，的轨迹是以，为端点的线段
当，时，由对称性知，的轨迹是以，为端点的线段
当，时由对称性知，的轨迹是以，为端点的线段
当，时，的轨迹是以，为端点的线段．
因此的轨迹是以，，，为顶点的四边形，
其围成面积为，
，要求最大值，
令，不妨设，，
于是，
即，
所以
，
当且仅当时取“”．
故答案为；．
14.【答案】
【解析】解：的定义域是，
令，
解得，
所以的单调递减区间是．
故答案为．
15.【答案】解：因为，
则有，
解得，
所以当且仅当时取等，
则面积的最大值为．
解法一：由条件得，
所以平分，
因为，
所以，．
由面积关系得，
解得．
解法二：记，，
则有，
即，
解得．
在中，，
解得，
联立方程组则有
解得．
16.【答案】解：当时，
联立，得．
因为与有且仅有一个交点，
所以，
解得．
所以的方程为．
联立，
得．
因为与交于不同的两点，
所以，即．
设，，
则，
因为，
所以，．
．
．
所以．
17.【答案】解：在直三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以
则．
如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则
即，
取，
所以，
因为是平面的法向量，
所以，，
解得，
所以．

18.【答案】解：零假设为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关．
根据表中数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关．
证明：根据条件概率的定义，
．
由题意，，，，．
由中的结论及已知得
，
，
由概率的性质知．
由全概率公式，．
根据条件概率的定义，．
因为，
所以要证，
即证，
即证．
因为，，
所以成立．
则
说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率．
19.【答案】解：当时，，
．
是阶梯函数，
是常数．
由于，
所以这个常数为，．
当时，
当时，
，，都有，
的取值范围是．
则的取值范围是．
证明：由题意得，或．
当，即时，
，．
根据条件有，
由于，
当时，同理可得
所以为阶梯函数的必要条件是．
猜想的取值范围是，下面证明这个结论．
当时，
构造函数，
，
不是阶梯函数．
当时，
构造函数
，
不是阶梯函数，
当时，
构造函数
，
不是阶梯函数．
当时，．
若，，
则，矛盾．
，．
．
下面用数学归纳法证明：，，．
由知时，成立．
假设时，成立，
则，．
，
．
，．
则当时，成立．
同理当时，成立
成立．
假设，，
则，
即．
又，
所以，
则，即，
所以，与矛盾．
假设不成立．
所以为阶梯函数，的取值范围是．
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