云南省玉溪市玉溪市一中2024-2025学年高二下学期开学考数学试题（含解析）

玉溪一中2024—2025学年下学期高二年级开学考
数 学 试 卷
总分：150分，考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数在复平面内对应的点为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．等差数列的前项和为，若，（ ）
A． B． C．1 D．
4．过点且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，E，F为线段AB上的点且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
8．在R上定义运算，时，不等式有解，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9．已知随机事件，且则下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与事件相互独立
B．若，则事件与事件互为对立事件
C．若事件，则
D．若事件相互独立，则
10．数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列的前项和最大
B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足
C．已知等差数列的前项和为，若，则
D．已知为等差数列，则数列也是等差数列
11．已知抛物线C：焦点为F，动直线与曲线C交于两点，下列说法正确的是
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若点M为，则周长的最小值为11
C. 若点M为，则的最小值为
D. 设O为坐标原点，作于点H，则H点到C的准线的距离的最大值为2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，且，则的最大值为 .
13. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点 ，分别在其左、右两支上，,是线段的中点，且，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）数列的前项和为，且
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若, 数列的前项和为，求证：．
16.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
17．（15分）等比数列中， ，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．
(1)试确定点M的位置；
(2)计算直线PB与平面MAC的距离；
(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？
19．（17分）已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于、两点（、不在轴上）.
（i）若的面积为，求直线的方程；
（ii）直线和分别与轴交于、两点，求证：为定值.
试卷第2页，共4页
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《玉溪一中2026届高二下开学考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D C B A B B AC ACD BC
1．D【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为，得到，
又，所以，
2．A【分析】利用复数的几何意义可得出，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.
【详解】由复数的几何意义可得，
所以，，化简可得.
3．D【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
4．C【详解】过点且倾斜角为的直线l的方程为，即．圆x2+y2-6y＝0的方程可化为x2+(y-3)2＝9，其圆心为(0，3)，半径r＝3，则圆心(0，3)到直线l的距离，
∴直线被圆截得的弦AB的长为．故选C．
5．B【详解】由已知，， ，，
6．A【详解】，而，
又，
所以.
7. B【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
8．B 【详解】由题意可得在上有解，所以即在上有解，
又，当且仅当时，等号成立，
所以在的最大值为，所以实数的取值范围是．故选B．
9．AC【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确；
对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足，
但不是对立事件，故B错误；.
对于C：，则 ，故C正确.
对于D，若独立，可得，故D错误
10．ACD【详解】对于A选项，由，可得，
又因为，故数列前项的和最大，A对；
对于B选项，当，时，则对任意的，，
则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错；
对于C选项，，则，C对；
对于D选项，若为等差数列，则，，
则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对，
11．BC 【详解】选项A，因为抛物线，即，所以准线方程为，故选项A错误；
选项B，如图，过A作准线的垂线，交准线于点G，过M作准线的垂线，分别交抛物线，准线于，，则周长，
当A在处时取到等号，又，，
所以周长的最小值为11，故选项B正确；
选项C，设，则，
当时取等号，故选项C正确；
选项D，易知，设过O且与动直线垂直的直线方程为，
由，解得，所以H点到C的准线的距离
，故选项D错误. 故选：
12．【详解】，，故答案为：
13. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度可得
，
则的对称轴为，，即，，
当时，，当时，，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是， 故答案为：
14．
15.
16.（1） （2）
【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
【小问2详解】由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，得到，于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
17．(1)(2)
【解析】（1）等比数列中， ，
所以公比，，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
18．(1)点M为PD中点 (2) (3)点E为PC中点
【详解】（1）连，则O为BD的中点，连接，
因为平面，平面平面，
又平面PBD，于是，所以点M为PD中点．
（2）因为，则，
底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，
而，则平面，又平面，
因此，∴，，，
∴，∴，
取AD的中点F，连接MF，
则，平面ABCD，且，
∵平面ACM，M为PD的中点，
∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，
∵，
∴，解得h．
（3）当点E为PC中点时，平面PBD．
19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由、可知，，则，
所以，即椭圆的离心率为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
（i）如图，设、，
若与轴重合，不合乎题意，
设过点的直线的方程为，
联立联立得：，
所以，，
，得，所以，
所以直线的方程为.
（ii）由（i）可知，，
，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
，所以为定值.
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