第一章 三角形的证明 培优练习题（含解析）

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北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明培优练习题
考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁，在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是（　　）
A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一”
C．勾股定理 D．垂线段最短
2．已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
3．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
（3题图） （4题图） （6题图） （7题图）
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　）
A． B． C．22 D．
5．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤尺规作图：
①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
7．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　）
A．2+3 B．6+2 C．5 D．8
（10题图） （12题图） （13题图） （14题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为 　 　．
12．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，若∠D＝80°，则∠A＝　 　．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝60°，点M是平面内一动点，满足MA＝MC，过点M作MN∥AB交直线BC于点N，当NC＝3时，点M到边BC的距离为 　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，∠BAD+∠ACB＝90°，点E在AD上，连接CE，∠B＝∠DEC，若CE＝3，AC＝4，则线段AE的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC＝90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积．
17．（9分）如图，△ABC中，∠A＝60°．
（1）求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且点P到AB、BC的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠ACP＝15°，求∠ABP的度数．
18．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝32，BC＝24．
（1）△ABD与△CBD的面积之比为　 　；
（2）若△ABC的面积为140，求DE的长．
19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，E为是AD上一点且BE＝CE．
（1）求证：AD垂直平分BC．
（2）已知∠ABC＝75°，AB＝3，求△ABC的面积．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
（2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数．
21．（9分）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转．
（1）如图2，当边AC落在∠DAE内．
①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线AF，AG，若∠CAF∠CAD，∠BAG∠EAG，求∠FAG的度数；
（2）设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与△ABC的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连结DE，DF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）连结EF交CD于点G，若AC，当AD＝CE时，求EG2的值．
23．（11分）八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧．
（1）【阅读理解】如图（1），在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
小聪同学是这样思考的：延长BD至点E，使DE＝BD，连接CE，利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形的三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是：　 　；中线BD的取值范围是　 　．
（2）【理解与应用】如图（2），在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，试探索BD与MN的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】如图（3），在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，试猜想线段AM，CN，MN三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，
选：B．
2．解：∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF是顶角∠BAC的平分线，
∵点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3，
选：C．
3．解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），本选项符合题意．
选：D．
4．解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2，AH＝BH＝CH，
∵CD＝AB＝2，
∴DH，
∴DB，
选：B．
5．解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，②能判断是直角三角形，
∵a：b：c：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C180°＝（）°＞90°，④不能判断是直角三角形
选：C．
6．解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∵CD＝AC，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B∠CDA＝25°，
选：B．
7．解：∵∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，
∴PE＝PD＝3，∠AOP＝∠BOP∠AOB＝75°，
∵PC∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，∠CPO＝∠BOP＝75°，
∴∠PCO＝180°﹣150°＝30°，
在Rt△PCE中，PC＝2PE＝6，
∵∠CPO＝∠COP，
∴OC＝PC＝6．
选：A．
8．解：∵M点到AC和BC两边的距离相等，
∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，
∴丙同学的作图正确．
选：C．
9．解：如图所示，以AC为斜边，作等腰直角△AOC，过点O作OE⊥AD交DA延长线于E，连接OD，
∴，∠OAC＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（AB右侧），
∴当点O在线段BD上时，BD最大，
∵△ACD是以AC为边的等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，AD＝AC＝2，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴，
∴DE＝AE+AD＝3，
在Rt△DOE中，由勾股定理得，
∴BD的最大值，
选：D．
10．解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，
∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AEAB＝6，
∵∠DBC＝90°＝∠EBA，
∴∠DBE＝∠CBA，
又∵BD＝BC，AB＝BE，
∴△DBE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC＝2，
在△ADE中，AD＜AE+DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值＝6+2＝8，
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：①顶角为40°；
②当底角的度数为40°时，顶角的度数为180°﹣40°×2＝100°；
综上所述：它的顶角的度数为40°或100°；
答案为：40°或100°．
12．解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，
∵∠D＝80°，
∴∠A＝80°．
答案为：80°．
13．解：∵∠A＝40°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
∵线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝120°﹣20°＝100°，
答案为：100°．
14．解：∵AB＝AC＝9，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9，∠ABC＝60°，
∵MA＝MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
∴M在∠ABC的角平分线上，
如图，当N在BC延长线时，过M作MH⊥BC交BC延长线于H，
∵BC＝9，CN＝3，
∴BN＝9+3＝12，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM∠ABC＝30°，
∵MN∥AB，
∴∠BMN＝∠ABM＝30°，∠MNH＝∠ABC＝60°
∴∠CBM＝∠BMN，
∴MN＝BN＝12，
∵sin∠MNH＝sin60°，
∴MN＝6；
如图，当N在线段BC上时，过M作MK⊥BC于K，
∵BC＝9，CN＝3，
∴BN＝9﹣3＝6，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM∠ABC＝30°，
∵MN∥AB，
∴∠BMN＝∠ABM＝30°，∠MNK＝∠ABC＝60°
∴∠CBM＝∠BMN，
∴MN＝BN＝6，
∵∠NMK＝90°﹣60°＝30°，
∴NKMN＝3，
∴N和K重合，
∴MCCN＝3，
∴M到BC的距离是3或6．
答案为：3或6．
15．解：过点C作CF⊥AC，交AD的延长线于点F，
则：∠ACF＝∠ACD+∠FCD＝90°，
∵∠BAD+∠ACB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠CDF，∠ADB+∠BAD+∠B＝∠CDF+∠FCD+∠CFD＝180°，
∴∠B＝∠CFD，
∵∠B＝∠DEC，
∴∠CFD＝∠DEC，
∴CF＝CE＝3，
∵∠ACF＝90°，AC＝4，
∴，
过点C作CH⊥AF于点H，
则：，EF＝2EH，∠CHE＝90°，
∴3×4＝5CH，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）∵AB＝4，BC＝3，，，
∴四边形ABCD的周长＝4+3+5+512+5；
（2）如图，
∵AC5，CD＝5，，
∴AC2+CD2＝50＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴S△ACDAC CD，
∵S△ABCBC AB＝6，
∴．
17．17．解：（1）如图，
（2）如图，
∵PD是BC的中垂线，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABP，
∵∠A＝60°，
∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝120°，
∵∠ACP＝15°，
∴∠ABP＝35°．
18．解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
由角平分线的性质可知：
∴DE＝DF，
∴，
答案为：4：3；
（2）由（1）可得：，
∴，
∵，
∴DE＝5．
19．（1）证明：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AD垂直平分BC；
（2）解：△ABC中，
∵AB＝AC＝3，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
过点B作BF⊥AC于F，
∴BFAB，
∴△ABC的面积AC BF3．
20．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣22°＝23°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝23°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝23°+45°＝68°．
21．解：（1）①∠BAE＝∠CAD+45°，理由如下：
∵∠DAE＝45°，
∴∠CAD＝∠DAE﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣∠CAE，
∴∠BAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠CAE）﹣（45°﹣∠CAE）＝45°，
∴∠BAE＝∠CAD+45°；
②设∠CAD＝α，由（1）知∠BAE＝∠CAD+45°＝α+45°，
∵∠CAF∠CAD，∠BAG∠EAG，
∴∠CAFα，∠BAG∠BAEα+15°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠CAD﹣∠CAF＝45°﹣αα＝45°α，
∴∠FAG＝∠EAF+∠BAE+∠BAG＝45°α+（α+45°）+（α+15°）＝105°，
∴∠FAG的度数是105°；
（2）设旋转过程中，D与D'，E与E'是对应点，
当AD'∥BC时，如图：
∵∠D'AC＝∠ACB＝30°，
∴∠DAD'＝45°﹣30°＝15°，
∴t＝15°÷3°＝5；
当D'E'∥AB时，如图：
∵∠DAD'＝45°
∴t＝45°÷3°＝15（秒）；
当D'E'∥BC时，如图：
∵∠B＝60°，
∴∠BAD'＝30°，
∴∠DAD'＝45°+60°＝105°，
∴t＝105°÷3°＝35（秒）；
当D'E'∥AC时，如图：
∵∠DAD'＝135°，
∴t＝135°÷3°＝45（秒）；
当AE'∥BC时，如图：
∵∠E'AC＝180°﹣∠ACB＝150°，
∴∠BAD'＝150°﹣90°﹣45°＝15°，
∴∠DAD'＝45°+90°+15°＝150°，
∴t＝150°÷3°＝50；
综上所述，t的值是5或15或35或45或50．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝BD，∠BCD＝∠ACD＝∠A＝45°，∠ADC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝90°＝∠ADC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
（2）解：∵AC，CD＝AD，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝1，
∴AD＝CE＝1，
∴AE1，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF1，
∵AD＝CE＝CD，
∴∠CDE＝67.5°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，∠DEF＝45°，
∴∠DGE＝67.5°＝∠EDC，
∴GE＝DE，
∴EF2＝2GE2，
∵FC2+CE2＝EF2，
∴1+3﹣22GE2，
∴GE2＝2．
23．解：（1）在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，BD是AC边上的中线，如图1，延长BD至点E，使DE＝BD，连接CE，
，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
由三角形三边关系可得：CE﹣BC＜BE＜CE+BC，
∴2＜BE＜18，
∵BE＝2BD，
∴1＜BD＜9，
答案为：SAS，1＜BD＜9；
（2）2BD＝MN；理由如下：
在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，如图2，延长BD至E，使得DE＝BD，连接CE，
，
由（1）可得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∴CE＝BM，
∵∠ABC+∠MBN+∠ABM+∠NBC＝360°，
∴∠ABC+∠MBN＝180°，即∠ABD+∠CBD+∠MBN＝180°，
∵∠E+∠CBD+∠BCE＝180°，
∴∠MBN＝∠BCE，
在△BCE和△NBM中，
，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝BM，
∵BE＝2BD，
∴2BD＝MN；
（3）AM2+CN2＝MN2，证明如下：
如图3，延长ND至F，使得FD＝ND，连接AF、MF，
，
同（1）可得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，∠DAF＝∠C，
∴AF∥BC，
∵∠B＝90°，
∴∠MAF＝90°，
在直角三角形MAF中，由勾股定理得：AM2+AF2＝MF2，
∵DM⊥DN，FD＝DN，
∴MN＝MF，
∴AM2+CN2＝MN2．
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