第一章 三角形的证明 培优练习题(含解析)

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名称 第一章 三角形的证明 培优练习题(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-02-27 12:03:22

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北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明培优练习题
考试时间:100分钟;总分:120分
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图,其中AB=AC,BC是横梁,AD是竖梁,在焊接竖梁AD时,只需要找到BC的中点D,就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直,这样操作的数学依据是(  )
A.等边对等角 B.等腰三角形“三线合一”
C.勾股定理 D.垂线段最短
2.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(  )
A. B.2 C.3 D.
3.如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,点B、D、C、E在同一条直线上,点C和点E重合.∠B=∠DEF=90°,AB=DE,若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件是(  )
A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.BA∥EF D.AC=DF
(3题图) (4题图) (6题图) (7题图)
4.如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(  )
A. B. C.22 D.
5.下列条件:①b2=c2﹣a2;②∠C=∠A﹣∠B;③a:b:c::;④∠A:∠B:∠C=3:4:5,能判定△ABC是直角三角形的有(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤尺规作图:
①分别以B、C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M、N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠B的度数为(  )
A.20° B.25° C.30° D.40°
7.如图,∠AOB=150°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,PC∥OB交OA于点C,若PD=3,则OC的长为(  )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题,其中作图正确的是(  )
问题:某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,先要在道路AB边上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距离相等,在图中确定休息点M的位置.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2,以AC为边作等腰直角△ACD,连BD,则BD的最大值是(  )
A. B. C. D.
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与点A在BC的两侧,则AD的最大值为(  )
A.2+3 B.6+2 C.5 D.8
(10题图) (12题图) (13题图) (14题图)
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.(3分)若等腰三角形有一个内角为40°,则它的顶角度数为    .
12.(3分)如图,已知△ABC≌△DEF,若∠D=80°,则∠A=   .
13.(3分)如图,△ABC中,∠A=40°,∠C=20°,线段BC的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD=   .
14.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=60°,点M是平面内一动点,满足MA=MC,过点M作MN∥AB交直线BC于点N,当NC=3时,点M到边BC的距离为    .
15.(3分)如图,在△ABC中,D为BC上一点,连接AD,∠BAD+∠ACB=90°,点E在AD上,连接CE,∠B=∠DEC,若CE=3,AC=4,则线段AE的长为    .
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.(9分)如图,每个格子都是边长为1的小正方形,∠ABC=90°,四边形ABCD的四个顶点都在格点上.
(1)求四边形ABCD的周长;
(2)连接AC,试判断△ACD的形状,并求四边形ABCD的面积.
17.(9分)如图,△ABC中,∠A=60°.
(1)求作一点P,使得点P到B、C两点的距离相等,并且点P到AB、BC的距离也相等(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若∠ACP=15°,求∠ABP的度数.
18.(9分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AB=32,BC=24.
(1)△ABD与△CBD的面积之比为   ;
(2)若△ABC的面积为140,求DE的长.
19.(9分)如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC上一点,连接AD,E为是AD上一点且BE=CE.
(1)求证:AD垂直平分BC.
(2)已知∠ABC=75°,AB=3,求△ABC的面积.
20.(9分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
(2)若∠CAE=22°,求∠ACF的度数.
21.(9分)如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起,其中∠ACB=30°,∠DAE=45°,∠BAC=∠D=90°,固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,当点E落在射线AC的反向延长线上时,即停止旋转.
(1)如图2,当边AC落在∠DAE内.
①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系?试说明理由;
②过点A作射线AF,AG,若∠CAF∠CAD,∠BAG∠EAG,求∠FAG的度数;
(2)设△ADE的旋转速度为3°/秒,旋转时间为t,若它的一边与△ABC的某一边平行(不含重合情况),试写出所有符合条件的t的值.
22.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于点D,点E为AC上一点,连结DE,DF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:DE=DF;
(2)连结EF交CD于点G,若AC,当AD=CE时,求EG2的值.
23.(11分)八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动,请你和他们一起活动吧.
(1)【阅读理解】如图(1),在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.
小聪同学是这样思考的:延长BD至点E,使DE=BD,连接CE,利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形的三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是:   ;中线BD的取值范围是   .
(2)【理解与应用】如图(2),在△ABC中,点D是AC的中点,AB=MB,BC=BN,其中∠ABM=∠NBC=90°,连接MN,试探索BD与MN的数量关系,并说明理由.
(3)【问题解决】如图(3),在△ABC中,∠B=90°,点D是AC的中点,点M在AB边上,点N在BC边上,若DM⊥DN,试猜想线段AM,CN,MN三者之间的数量关系,并证明你的结论.
参考答案
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.解:∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∵BD=CD,
∴AD⊥BC,
选:B.
2.解:∵AF是等腰△ABC底边BC上的高,
∴AF是顶角∠BAC的平分线,
∵点F到直线AB的距离为3,
∴点F到直线AC的距离为3,
选:C.
3.解:A.AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,符合全等三角形的判定定理SAS(不是两直角三角形全等的判定定理HL),能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(SAS),本选项不符合题意;
B.∠ACB=∠DFE,∠B=∠DEF,AB=DE,符合全等三角形的判定定理AAS(不是两直角三角形全等的判定定理HL),能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(AAS),本选项不符合题意;
C.∵BA∥EF,
∴∠A=∠ACF,
由AB=DE,∠B=∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF,本选项不符合题意;
D.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠B=∠DEF=90°,AC=DF,AB=DE,符合两直角三角形全等的判定定理HL,能推出Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),本选项符合题意.
选:D.
4.解:如图,过点C作CH⊥AB于H,
∵AC=BC=2,∠ACB=90°,CH⊥AB,
∴AB=2,AH=BH=CH,
∵CD=AB=2,
∴DH,
∴DB,
选:B.
5.解:∵b2=c2﹣a2,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,①能判断是直角三角形,
∵∠C=∠A﹣∠B,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=90°,
∴△ABC是直角三角形,②能判断是直角三角形,
∵a:b:c::,
∴可以假设,a=20k,b=15k,c=12k,
∴a2≠b2+c2,
∴△ABC不是直角三角形,③不能判断是直角三角形,
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,
∴∠C180°=()°>90°,④不能判断是直角三角形
选:C.
6.解:由作法得MN垂直平分BC,
∴DB=DC,
∴∠B=∠DCB,
∵CD=AC,
∴∠CDA=∠A=50°,
∵∠CDA=∠B+∠DCB,
∴∠B∠CDA=25°,
选:B.
7.解:∵∠AOB=150°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,
∴PE=PD=3,∠AOP=∠BOP∠AOB=75°,
∵PC∥OB,
∴∠PCO+∠AOB=180°,∠CPO=∠BOP=75°,
∴∠PCO=180°﹣150°=30°,
在Rt△PCE中,PC=2PE=6,
∵∠CPO=∠COP,
∴OC=PC=6.
选:A.
8.解:∵M点到AC和BC两边的距离相等,
∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点,
∴丙同学的作图正确.
选:C.
9.解:如图所示,以AC为斜边,作等腰直角△AOC,过点O作OE⊥AD交DA延长线于E,连接OD,
∴,∠OAC=45°,
∵∠ABC=45°,
∴点B在以O为圆心,为半径的圆周上运动(AB右侧),
∴当点O在线段BD上时,BD最大,
∵△ACD是以AC为边的等腰直角三角形,
∴∠CAD=90°,AD=AC=2,
∴∠OAE=45°,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴,
∴DE=AE+AD=3,
在Rt△DOE中,由勾股定理得,
∴BD的最大值,
选:D.
10.解:如图,将BA绕点B顺时针旋转90°,得到BE,连接AE,DE,
∴BE=AB,∠ABE=90°,
∴AEAB=6,
∵∠DBC=90°=∠EBA,
∴∠DBE=∠CBA,
又∵BD=BC,AB=BE,
∴△DBE≌△CBA(SAS),
∴DE=AC=2,
在△ADE中,AD<AE+DE,
∴当A,D,E三点共线时,AD有最大值,
∴AD的最大值=6+2=8,
选:D.
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.解:①顶角为40°;
②当底角的度数为40°时,顶角的度数为180°﹣40°×2=100°;
综上所述:它的顶角的度数为40°或100°;
答案为:40°或100°.
12.解:∵△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D,
∵∠D=80°,
∴∠A=80°.
答案为:80°.
13.解:∵∠A=40°,∠C=20°,
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=120°,
∵线段BC的垂直平分线DE交AC于点D,
∵BD=CD,
∴∠DBC=∠C=20°,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=120°﹣20°=100°,
答案为:100°.
14.解:∵AB=AC=9,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=9,∠ABC=60°,
∵MA=MC,
∴M在AC的垂直平分线上,
∴M在∠ABC的角平分线上,
如图,当N在BC延长线时,过M作MH⊥BC交BC延长线于H,
∵BC=9,CN=3,
∴BN=9+3=12,
∵BM平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM∠ABC=30°,
∵MN∥AB,
∴∠BMN=∠ABM=30°,∠MNH=∠ABC=60°
∴∠CBM=∠BMN,
∴MN=BN=12,
∵sin∠MNH=sin60°,
∴MN=6;
如图,当N在线段BC上时,过M作MK⊥BC于K,
∵BC=9,CN=3,
∴BN=9﹣3=6,
∵BM平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM∠ABC=30°,
∵MN∥AB,
∴∠BMN=∠ABM=30°,∠MNK=∠ABC=60°
∴∠CBM=∠BMN,
∴MN=BN=6,
∵∠NMK=90°﹣60°=30°,
∴NKMN=3,
∴N和K重合,
∴MCCN=3,
∴M到BC的距离是3或6.
答案为:3或6.
15.解:过点C作CF⊥AC,交AD的延长线于点F,
则:∠ACF=∠ACD+∠FCD=90°,
∵∠BAD+∠ACB=90°,
∴∠FCD=∠BAD,
∵∠ADB=∠CDF,∠ADB+∠BAD+∠B=∠CDF+∠FCD+∠CFD=180°,
∴∠B=∠CFD,
∵∠B=∠DEC,
∴∠CFD=∠DEC,
∴CF=CE=3,
∵∠ACF=90°,AC=4,
∴,
过点C作CH⊥AF于点H,
则:,EF=2EH,∠CHE=90°,
∴3×4=5CH,
∴,
∴,
∴,
∴.
答案为:.
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.解:(1)∵AB=4,BC=3,,,
∴四边形ABCD的周长=4+3+5+512+5;
(2)如图,
∵AC5,CD=5,,
∴AC2+CD2=50=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴S△ACDAC CD,
∵S△ABCBC AB=6,
∴.
17.17.解:(1)如图,
(2)如图,
∵PD是BC的中垂线,
∴∠PBC=∠PCB,
∵BP是∠ABC的角平分线,
∴∠PBC=∠ABP,
∵∠A=60°,
∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=120°,
∵∠ACP=15°,
∴∠ABP=35°.
18.解:(1)过点D作DF⊥BC于F,
由角平分线的性质可知:
∴DE=DF,
∴,
答案为:4:3;
(2)由(1)可得:,
∴,
∵,
∴DE=5.
19.(1)证明:∵AB=AC,BE=CE,
∴AD垂直平分BC;
(2)解:△ABC中,
∵AB=AC=3,∠ABC=75°,
∴∠ACB=∠ABC=75°,
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°,
过点B作BF⊥AC于F,
∴BFAB,
∴△ABC的面积AC BF3.
20.(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=∠ABE=90°,
在Rt△ABE和Rt△CBF中,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL);
(2)解:∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣22°=23°,
由(1)知:Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=23°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°.
21.解:(1)①∠BAE=∠CAD+45°,理由如下:
∵∠DAE=45°,
∴∠CAD=∠DAE﹣∠CAE=45°﹣∠CAE,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=90°﹣∠CAE,
∴∠BAE﹣∠CAD=(90°﹣∠CAE)﹣(45°﹣∠CAE)=45°,
∴∠BAE=∠CAD+45°;
②设∠CAD=α,由(1)知∠BAE=∠CAD+45°=α+45°,
∵∠CAF∠CAD,∠BAG∠EAG,
∴∠CAFα,∠BAG∠BAEα+15°,
∴∠EAF=∠DAE﹣∠CAD﹣∠CAF=45°﹣αα=45°α,
∴∠FAG=∠EAF+∠BAE+∠BAG=45°α+(α+45°)+(α+15°)=105°,
∴∠FAG的度数是105°;
(2)设旋转过程中,D与D',E与E'是对应点,
当AD'∥BC时,如图:
∵∠D'AC=∠ACB=30°,
∴∠DAD'=45°﹣30°=15°,
∴t=15°÷3°=5;
当D'E'∥AB时,如图:
∵∠DAD'=45°
∴t=45°÷3°=15(秒);
当D'E'∥BC时,如图:
∵∠B=60°,
∴∠BAD'=30°,
∴∠DAD'=45°+60°=105°,
∴t=105°÷3°=35(秒);
当D'E'∥AC时,如图:
∵∠DAD'=135°,
∴t=135°÷3°=45(秒);
当AE'∥BC时,如图:
∵∠E'AC=180°﹣∠ACB=150°,
∴∠BAD'=150°﹣90°﹣45°=15°,
∴∠DAD'=45°+90°+15°=150°,
∴t=150°÷3°=50;
综上所述,t的值是5或15或35或45或50.
22.(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,
∴CD=AD=BD,∠BCD=∠ACD=∠A=45°,∠ADC=90°,
∵DF⊥DE,
∴∠FDE=90°=∠ADC,
在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴DE=DF;
(2)解:∵AC,CD=AD,∠ADC=90°,
∴AD=CD=1,
∴AD=CE=1,
∴AE1,
∵△ADE≌△CDF,
∴AE=CF1,
∵AD=CE=CD,
∴∠CDE=67.5°,
∵DE=DF,∠EDF=90°,
∴EF2=DE2+DF2=2DE2,∠DEF=45°,
∴∠DGE=67.5°=∠EDC,
∴GE=DE,
∴EF2=2GE2,
∵FC2+CE2=EF2,
∴1+3﹣22GE2,
∴GE2=2.
23.解:(1)在△ABC中,若AB=10,BC=8,BD是AC边上的中线,如图1,延长BD至点E,使DE=BD,连接CE,

∴AD=CD,
在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),
∴CE=AB=10,
由三角形三边关系可得:CE﹣BC<BE<CE+BC,
∴2<BE<18,
∵BE=2BD,
∴1<BD<9,
答案为:SAS,1<BD<9;
(2)2BD=MN;理由如下:
在△ABC中,点D是AC的中点,AB=MB,BC=BN,其中∠ABM=∠NBC=90°,如图2,延长BD至E,使得DE=BD,连接CE,

由(1)可得:△ABD≌△CED,
∴∠ABD=∠E,AB=CE,
∴CE=BM,
∵∠ABC+∠MBN+∠ABM+∠NBC=360°,
∴∠ABC+∠MBN=180°,即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°,
∵∠E+∠CBD+∠BCE=180°,
∴∠MBN=∠BCE,
在△BCE和△NBM中,

∴△BCE≌△NBM(SAS),
∴BE=BM,
∵BE=2BD,
∴2BD=MN;
(3)AM2+CN2=MN2,证明如下:
如图3,延长ND至F,使得FD=ND,连接AF、MF,

同(1)可得:△AFD≌△CND(SAS),
∴AF=CN,∠DAF=∠C,
∴AF∥BC,
∵∠B=90°,
∴∠MAF=90°,
在直角三角形MAF中,由勾股定理得:AM2+AF2=MF2,
∵DM⊥DN,FD=DN,
∴MN=MF,
∴AM2+CN2=MN2.
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