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第2课时 角边角与角角边 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过动手画图，能归纳总结出三角形全等的条件ASA，能够进行有条理的思考并发展其简单的推理能力.
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的两角及其夹边作出三角形，培养学生的尺规作图能力.
3.通过小组合作探究，能说出“AAS”转化为“ASA”的过程，从而得出三角形全等的条件AAS，发展转化和推理的思想.
【学习过程】
任务一：角边角与角角边三角形全等判定定理
问题1:如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
问题2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′= AB，∠A′=∠A，∠B′ =∠B (即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
【方法归纳】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．
用符号语言来表示该三角形全等的条件：如图，
已知：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF.
试说明：△ABC≌△ABC.
证明：
【即时测评】
1.如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC， ∠B =∠C，试说明：AD = AE.
问题3 尺规作图：已知三角形的两边及其夹边，求作这个三角形。
已知：∠α，∠β，线段 c.
问题4 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“两角及两角所夹的边”这种情况吗？
【方法归纳】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为 或 ．
用符号语言来表示该三角形全等的条件：如图，
已知：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF.
试说明：△ABC≌△ABC.
【即时测评】
2.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 试说明：△BDA≌△AEC；
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2. 在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且 AC＝A′C′，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
3. 如图∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可).
4.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以，带哪块去合适 你能说明其中理由吗
5. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1 =∠2. 试说明：AB = AD.
参考答案
即时测评：
1.解：在△ACD 和△ABE 中，
因为∠A=∠A，AC=AB,∠C=∠B
所以△ACD≌△ABE (ASA).
所以 AD = AE.
2.解：因为 BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝90°.
所以∠ABD＝∠CAE.
在△BDA 和△AEC 中，
因为∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，
所以△BDA≌△AEC (AAS).
当堂训练
1.A
2.B
3.∠B =∠E
4.带 1 去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
5.解：因为 AB⊥BC，AD⊥DC，
所以∠B =∠D = 90°.
在△ABC 和△ADC 中，
因为∠B =∠D（已知）， ∠1 =∠2（已证），AC = AC（公共边），
所以△ABC≌△ADC（AAS）.
所以 AB = AD.
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第2课时 角边角与角角边
第4章 三角形
3 探索三角形全等的条件
【学习目标】
1.通过动手画图，能归纳总结出三角形全等的条件ASA，能够进行有条理的思考并发展其简单的推理能力.
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的两角及其夹边作出三角形，培养学生的尺规作图能力.
3.通过小组合作探究，能说出“AAS”转化为“ASA”的过程，从而得出三角形全等的条件AAS，发展转化和推理的思想.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
小明踢球时，不小心把学校花架上一块三角形玻璃击碎了，想赶紧去配一块，可是玻璃已经碎了，你能帮他想想办法吗？
问题1：上节课中，我们虽然找出了一种方法，利用SSS就可以得到一个与原三角形全等的三角形，但是玻璃已经碎了，我们无法测出它的三条边，小明是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？
新知初探
贰
新知初探
探究一：角边角与角角边三角形全等判定定理
贰
问题1：如果已知一个三角形的两角及一边的大小，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
问题2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′ = AB，∠A′ =∠A，∠B′ =∠B (即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
C
B
作法：
（1）画线段 A'B' = AB；
（2）在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B，
A'D，B'E 相交于点 C'.
A′
B′
C′
E
D
想一想：从中你能发现什么规律？
A
C
B
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
几何语言：
因为∠A =∠A′（已知），
AB = A′B′（已知），
∠B =∠B′（已知），
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
即时测评
1.如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC， ∠B =∠C，试说明：AD = AE.
分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出 AD = AE.
解：在△ACD 和△ABE 中，
因为∠A =∠A（公共角 ），
AC = AB（已知），
∠C =∠B（已知 ），
所以△ACD≌△ABE (ASA).
所以 AD = AE.
A
B
C
D
E
已知：∠α，∠β，线段 c.
求作：△ABC，使∠A = ∠α，∠B =∠β，AB = c.
问题3：尺规作图：已知三角形的两边及其夹边，求作这个三角形。
请按照给出的作法作出相应的图形．
作法 图示
(1) 作 ；
A
F
(2) 在射线 AF上截取线段 AB = c；
C
D
B
A
D
F
A
B
D
F
(3) 以 B 为顶点，以 BA 为一边，
作 ，BE 交 AD 于 C.
△ABC 就是所求作的三角形.
E
问题4 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“两角及两角所夹的边”这种情况吗？
根据三角形的内角和是180°，如果两个三角形有两个内角分别相等，则另一个内角一定也相等，从而可以把“两角及其中一个角的对边”转化为“两角及两角所夹的边”．也就是说，已知“两角及其中一个角的对边”所作出的的三角形也都是全等的．
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
因为∠A =∠A′（已知），
∠B =∠B′（已知），
AC = A′C′（已知），
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
所以 △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
即时测评
2.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 试说明：△BDA≌△AEC；
解：因为 BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝90°.
所以∠ABD＝∠CAE.
在△BDA 和△AEC 中，
因为∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，
所以△BDA≌△AEC (AAS).
例题：如图，AB与CD相交与点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
探究二： 角边角与角角边三角形全等判定定理的应用
解：因为O是AB的中点，
所以AO=BO,
在△AOC和△BOD中，
因为∠A=∠B,AO=BO,∠AOC=∠BOD,
所以△AOC≌△BOD（ASA)
变式一：如图,∠A=∠B，∠AFC=∠BED，那么要得到△ACF≌△BDE，还应给出的条件是( )
A.∠C=∠D B.AC=ED C.CF=BD D.AE=BF
D
变式二：如图,AF=BE，AC∥BD，∠C=∠D，试说明，CF∥ED
解：因为AC∥BD，
所以∠A=∠B
在△AFC和△BED中，
因为∠C=∠D，∠A=∠B，AF=BE，
所以△AFC≌△BED（AAS)
所以∠AFC=∠BED
所以CF∥ED
归纳总结：
1.直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
2.隐含条件：即已知没有给出，但通过读图很容易得到的条件，如公共边、公共角、对顶角等.
3.间接条件：即已知中所给条件不是三角形的边和角，需要进一步推理.比如平行、角平分线、垂直等都可得到角相等.中点、等式的基本性质可推出线段相等等.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2. 在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且 AC＝A′C′，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
A
B
A
B
C
D
E
F
3. 如图∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可).
∠B =∠E
或∠A =∠D
（ASA）
（AAS）
AB = DE 可以吗？
×
AB∥DE
4.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以，带哪块去合适 你能说明其中理由吗
3
2
1
答：带 1 去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
5. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1 =∠2.
试说明：AB = AD.
A
C
D
B
1
2
解：因为 AB⊥BC，AD⊥DC，
所以∠B =∠D = 90°.
在△ABC 和△ADC 中，
因为∠B =∠D（已知），
∠1 =∠2（已证），
AC = AC（公共边），
所以△ABC≌△ADC（AAS）.
所以 AB = AD.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
角边角
角角边
内容
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)
尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形
注意
注意“角边角”和“角角边”中两角与边的区别
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”)
课后作业
基础题：1.习题4.1 第 2,3,4,9题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.1第14题
谢
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第2课时 角边角与角角边
课标摘录 1.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 2.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 3.能用尺规作图:已知两角一边作三角形。
教学目标 1.探索三角形全等的条件“ASA”和“AAS”,能掌握并会运用“ASA”和“AAS”判定两个三角形全等。 2.培养学生动手操作的能力,能用尺规作图:已知两角一边作三角形。
教学重难点 重点:探索三角形全等的“ASA”条件,掌握“ASA”“AAS”判定两个三角形全等的方法。 难点:运用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等。
教学策略 本节课通过自主学习与合作交流,多数学生能够辨认图形中的各对应边、各对应角,会有个别学生对形成对应的判定三角形全等的数学模型有一定的困难,特别是对AAS判定方法的理解,实现数学化方面存在学习障碍。针对这一问题,采取策略是从简单条件关系入手,再到稍复杂问题情境,通过多种手段的活动过程,找出对应的条件关系解决问题,使学生体会用已有知识解决问题的局限性,自然转到探索解决问题的新途径。
情境导入 小明踢球时,不小心把学校花架上一块三角形玻璃击碎了,想赶紧去配一块,可是玻璃已经碎了,你能帮他想想办法吗 问题:上节课中,我们虽然找出了一种方法,利用SSS就可以得到一个与原三角形全等的三角形,但是玻璃已经碎了,我们无法测出它的三条边,小明是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具 如果可以,带哪块去合适
新知初探 探究一 角边角与角角边三角形全等判定定理 活动1:探究 如果给出3个条件画三角形,有4种可能的情况:三条边、三个角、两角一边、两边一角.由前面的学习可知:如果给出一个三角形三条边的长度,那么由此得到的三角形都是全等的(SSS)。 问题:如果已知一个三角形的两角及一边,有几种可能的情况呢 预设答案: ①两角及两角所夹的边;②两角及其中一个角的对边。 学生操作:如果三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边是2 cm,如图所示,你能画出这个三角形吗
追问1:将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等的 预设答案:所画的三角形都全等。 追问2:改变上述条件中的角度和边长,你能得到同样的结论吗 如图所示。 所画的三角形都全等。 追问3:由此你能得出什么规律 归纳总结:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”。 几何语言: 如图所示,在△ABC与△A'B'C'中, 因为∠B=∠B', BC=B'C', ∠C=∠C', 根据三角形全等的判定条件“ASA”, 所以△ABC≌△A'B'C'。 活动2:交流 现在你能解决情境中的问题了吗 小明带哪一块碎片去就可以配一块与原来一样的三角形玻璃呢 活动3:尺规作图:已知三角形的两边及其夹边,求作这个三角形。 已知:∠α,∠β,线段c。 求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c。 师生活动:学生独立思考,教师出示表格并要求:请按照给出的作法作出相应的图形。 学生按照作法独立完成表格,学生代表展示: 作法图示(1)作∠DAF=∠α;(2)在射线AF上截取线段AB=c;(3)以点B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β,BE交AD于点C。△ABC就是所要作的三角形。
对于用不同方法的学生,教师都可让其展示,并及时鼓励,帮助学生树立信心。 活动4:如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢 你能将它转化为“两角及两角所夹的边”这种情况吗 归纳总结:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”。
几何语言: 如图所示,在△ABC与△A'B'C'中, 因为∠B=∠B', ∠C=∠C', AB=A'B', 根据三角形全等的判定条件“AAS”, 所以△ABC≌△A'B'C'。 意图说明 通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力,提高他们归纳知识、组织语言和表达的能力。在探究的过程中通过找出前面的作图探究和操作探究的区别与联系,体会可以将未知问题转化为已知问题的转化思想。操作探究部分先由特例再将一般情况进行证明使学生体会从特殊到一般的数学思想。 探究二 角边角与角角边三角形全等判定定理的应用 活动5:例题解析 例题 如图所示,AB与CD相交于点O,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗 为什么 变式一:如图所示,已知∠A=∠B,∠AFC=∠BED,要得到△ACF≌△BDE,还应给出的条件是() A.∠C=∠D B.AC=ED C.CF=BD D.AE=BF 变式二:如图所示,已知AF=BE,AC∥BD,∠C=∠D,CF与ED平行吗 归纳总结:找条件,证全等。 直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角。 隐含条件:即已知中没有给出,但通过读图很容易得到的条件,如公共边、公共角、对顶角等。 间接条件:即已知中所给条件不是三角形的边和角,需要进一步推理,比如平行、角平分线、垂直等都可得到角相等,中点、等式的基本性质可推出线段相等等。 意图说明 通过设置例题及例题的变形题,巩固所学的“角边角”及“角角边”定理,并进一步归纳总结做题方法。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 角边角与角角边 1.两角及其夹边相等(角边角ASA) 2.尺规作图 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等(角角边AAS) 4.例题解析
教学反思
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第2课时 角边角与角角边
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1. 及其 分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ ”。
2.两角分别相等且其中 相等的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”。
两角
夹边
ASA
一组等角的对边
角角边
AAS
课堂互动
知识点1:利用“ASA”说明两个三角形全等
例1 如图所示,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2。试说明:BC=DE。
解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中,
因为∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠B=∠D,
所以△ABC≌△ADE(ASA),
所以BC=DE。
知识点2:利用“AAS”说明两个三角形全等
例2 如图所示,已知AB与CD相交于点O,AC∥BD,AO=BO,试说明:AC=BD。
解:因为AC∥BD,
所以∠A=∠B,∠C=∠D。
在△AOC和△BOD中,
∠C=∠D,∠A=∠B,AO=BO,
所以△AOC≌△BOD(AAS)。
所以AC=BD。
[规律总结] 已知两个三角形的一组对应边相等,任意两组对应角相等,则这两个三角形全等,应用时要分清相等的边是两角的夹边(ASA)还是其中一组等角的对边(AAS);同时要注意图形中的隐含条件,如公共角、公共边、对顶角等。
知识点3:已知两角及共边
例3 如图(1)所示,已知线段a,∠1,求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=
∠1,芮芮的作法如图(2)所示,则下列说法中一定正确的是( )
A
图(1)
图(2)
基础题
1.已知AB=A′B′,∠A=∠A′,∠C=∠C′,则△ABC≌△A′B′C′的根据是( )
A.SAS B.SSA
C.ASA D.AAS
D
2.如图所示,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE。下列条件中,能使△ABC≌△DEF的是( )
A.∠E=∠B B.ED=BC
C.AB=EF D.AF=CD
D
3.如图所示为一块打碎的三角形玻璃,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去
C.带③去 D.带①和②去
C
4.如图所示,已知点B,E,C,F在同一条直线上,∠B=∠DEF,BC=EF,现要说明△ABC≌△DEF,若要以“ASA”为依据,还需添加条件:
;若要以“AAS”为依据,还需添加条件:
。
∠BCA=∠EFD
∠A=∠D
5.如图所示,点O是线段AB的中点,OD∥BC,AD∥OC。试说明:
△AOD≌△OBC。
解:因为点O是线段AB的中点,所以AO=BO。
因为OD∥BC,AD∥OC,
所以∠AOD=∠OBC,∠BOC=∠OAD。
在△AOD与△OBC中,
因为∠AOD=∠OBC,AO=OB,
∠OAD=∠BOC,所以△AOD≌△OBC(ASA)。
6.如图所示,小明在纸上画了一个三角形,不料被墨水污染了一部分,请你画一个与他画的一样的(全等的)三角形,你能做到吗
解:能。如图所示,△A′B′C′就是所求作的三角形。
中档题
7.如图所示,已知线段AB=20米,MA⊥AB于点A,MA=6米,射线BD⊥AB于点B,点P从点B向点A运动,每秒走1米,点Q从点B向点D运动,每秒走3米,P,
Q同时从点B出发,则出发x秒后,在线段MA上有一点C,使△CAP与△PBQ全等,则x的值为( )
A.5 B.5或10
C.10 D.6或10
A
8.如图所示,AE=AD,∠B=∠C,BE=4,AD=5,则AC= 。
9
9.如图所示,AB=AD,∠BAD=90°,AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E,且DE=8,
BC=6,则 CE= 。
2
素养题
10.(推理能力)已知,如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E,试说明:DE=BD+CE。
解:因为BD⊥直线m,CE⊥直线m,
所以∠BDA=∠CEA=90°。
因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠CAE=90°。
因为∠BAD+∠ABD=90°,所以∠CAE=∠ABD。
在△ADB和△CEA中,
因为∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=CA,
所以△ADB≌△CEA(AAS),
所以AE=BD,AD=CE,
所以DE=AE+AD=BD+CE。
