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第3课时 边角边
第4章 三角形
3 探索三角形全等的条件
【学习目标】
1.通过画图比较，得出SAS结论的过程，发展学生思维的全面性。
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的两边及其夹角作出三角形，培养学生的尺规作图能力.
3.通过画图比较，得出：两边及其中一边的对角对应相等时，两三角形不一定全等，发展学生发散思维能力。
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
当两个三角形满足六个条件中的三个对应相等时，有四种情况，哪种情况能说明这两个三角形全等？
×
√
？
√
两边一角
两角一边
三边
三角
新知初探
贰
新知初探
探究一：三角形全等的判定（“边角边”）
贰
问题1：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
如图，已知△ABC，用尺规作图画出一个△A′B′C′，使 A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A (即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
B
C
探究活动1：SAS 能否判定两个三角形全等
动手试一试
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：(1) 画∠DA'E =∠A；
(2) 在射线 A'D 上截取 A'B' = AB，在射线 A'E上截取 A'C' = AC；
(3) 连接 B'C'.
？
思考：
① △A′B′C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
在△ABC 和△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF (SAS).
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
知识要点
“边角边”判定全等的方法
几何语言：
因为AB = DE，
∠A =∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
即时测评
1.已知：如图，AB = CB，∠1 =∠2.
试说明：AD = CD，DB 平分∠ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD 与△CBD 中，
解：
所以△ABD≌△CBD (SAS).
因为AB = CB (已知)，
∠1 =∠2 (已知)，
BD = BD (公共边)，
所以 AD = CD，∠3 =∠4.
所以 DB 平分∠ADC.
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段 a，c， .
求作：△ABC，使 BC = a，AB = c，∠ABC = .
a
c
问题2做一做
利用尺规作三角形
作法 图示
（1）作一条线段 BC = a；
（2）以 B 为顶点，BC 为
一边，作 ；
B
C
B
C
B
C
B
C
（3）在射线 BD 上截取线
段 BA = c；
（4）连接 AC．△ABC 就
是所求作的三角形．
A
D
D
A
请按照给出的作法作出相应的图形．
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC 和△ABD 满足AB = AB，∠B =∠B，AC = AD，但它们并不全等.
探究活动2：SSA 能否判定两个三角形全等
画图验证：画△ABC 和△FED，使∠B = ∠E = 30°，
AB = EF = 5 cm，AC = DF = 3 cm ．观察所得的两个三角形是否一定全等？
B
A
M
C
D
B
A
C
E
F
D
结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等时，两个三角形不一定全等.
方法总结：判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备“SSA”条件时一般是不能判定三角形全等的．
即时测评
2.下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是 ( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：本题要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给
出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项 C 的条件不符合，故选 C.
C
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，AB = DB，BC = BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A＝∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
2.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 试说明：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
解：
因为 AD∥BC，
所以∠A =∠C.
因为 AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB
∠A = ∠C
AF = CE
所以△AFD≌△CEB (SAS).
所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
(已知)，
(已证)，
(已证)，
3. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，
试说明：BD = CD.
解：
因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
∠BAD =∠CAD
AD = AD
所以△ABD≌△ACD (SAS).
(已知)，
(公共边)，
(已证)，
所以 BD = CD.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
边角边
内容
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
作图
尺规作图：已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形
注意
1. “SAS”能证明三角形全等
2. “SSA”不一定证明三角形全等
课后作业
基础题：1.习题4.3 第 5,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.3第10,16题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 边角边 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过画图比较，得出SAS结论的过程，发展学生思维的全面性。
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的两边及其夹角作出三角形，培养学生的尺规作图能力.
3.通过画图比较，得出：两边及其中一边的对角对应相等时，两三角形不一定全等，发展学生发散思维能力。
【学习过程】
任务一：三角形全等的判定（“边角边”）
问题1:已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置有几种可能性呢？请尝试画一下。
问题2：如图，已知△ABC，用尺规作图画出一个△A′B′C′，使 A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A (即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
【方法归纳】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简称“ ”或“ ”
用符号语言来表示该三角形全等的条件：如图，
已知：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF.
是说明：△ABC≌△ABC.
【即时测评】
1.已知：如图，AB = CB，∠1 =∠2.试说明：AD = CD，DB 平分∠ADC.
问题2做一做
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．已知：线段 a，c，∠α.
a c
评价任务一
得分：
任务二：探索两边及其中一边的对角对应相等时，两三角形是否全等
问题3如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
【方法归纳】判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备“SSA”条件时一般是不能判定三角形全等的．
【即时测评】
2.下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是 ( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如图，AB = DB，BC = BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A＝∠C D.∠ABD＝∠EBC
2.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 试说明：△AFD≌△CEB.
3. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线， 试说明：BD = CD.
参考答案
即时测评：
1.解：在△ABD 与△CBD 中，
因为AB = CB (已知)，∠1 =∠2 (已知)，BD = BD (公共边)，
所以△ABD≌△CBD (SAS).
所以 AD = CD，∠3 =∠4.
所以 DB 平分∠ADC.
2.C
当堂训练
1.D
2.解：因为 AD∥BC，所以∠A =∠C.
因为 AE = CF，所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
在△AFD 和△CEB 中，
因为AD = CB(已知)，∠A =∠C(已证)，AF = CE(已证)，
所以△AFD≌△CEB (SAS).
3.解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
因为AB = AC∠BAD =∠CADAD = AD
所以△ABD≌△ACD (SAS).
所以 BD = CD.
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第3课时 边角边
课标摘录 1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.能用尺规作图:已知两边及其夹角作三角形。
教学目标 1.明确SAS的内容,能用SAS判定两个三角形全等。 2.探索并认识“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”,体会分类讨论思想。
教学重难点 重点:“边角边”条件判断全等。 难点:探索“两边一角”能否用于判定全等。
教学策略 现代课堂教学应该是把研究学习与合作学习贯穿于整个教学过程的始终。授课并非仅由教师一个人完成,而应由师生、生生共同合作完成,在教学过程中要让学生成为学习的主体,充分发挥学生的合作意识,通过组内成员合作研讨、互教互学、教师巡视指导来完成教学内容。根据本节课的教学内容和教学特点,在教学中,采用小组合作学习的教法,让学生通过合作学习,研究解决问题的方法并实施,完成教学目标。
情境导入 当两个三角形满足六个条件中的三个时,有四种情况: 三角×三边√两边一角 两角一边√
师生活动:教师通过多媒体让学生感受图形的重合,并引出下一个问题。
新知初探 探究一 三角形全等的判定(“边角边”) 活动1:尝试思考 问题:如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢 师生活动:学生积极回答,教师整理为两种情况: “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” 追问:每种情况下得到的三角形都全等吗 由此引出后面的探究。 做一做 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,它们所夹的角为40°,你能画出这个三角形吗 你画的三角形与同伴画的一定全等吗 师生活动:学生根据要求画图,然后小组互相观察图片,发现画出的三角形都全等。 追问:改变上述条件中的角度和边长,再试一试。 学生小组合作,类比上述过程操作,发现结论不变,教师引导学生归纳总结。
归纳总结 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。 几何语言:在△ABC和△DEF中, 因为AB=DE,∠A=∠D,AC=DF, 根据三角形全等的判定条件“SAS”, 所以△ABC≌△DEF。 活动2:做一做 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形。 已知:线段a,c,∠α. 求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α. 师生活动:学生独立思考,教师示范其中一种方法:向学生讲解作法与示范图示. 教师追问:将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗 为什么 预测学生能根据上节课知识回答:全等。因为两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)。 活动3:议一议 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,长度为2.5 cm的边所对的角为40°情况会怎样呢 师生活动:学生根据要求画图,然后小组互相观察图片,发现画出的三角形不都全等。 由此教师引导学生得出结论:两边分别相等且其中一组等边的对角相等时,两个三角形不一定全等。 意图说明 对于“两边及其夹角”的情况,仍然是先要求学生利用量角器、直尺、三角尺等各种工具画出三角形,并进行比较;然后改变条件中的角度和边长再画三角形,最后得出结论。重现了上一课时“从一般到特殊,再从特殊到一般”的解决问题的过程。教学中注意适时渗透分类和将一般转化为特殊的数学思想方法。在着手解决问题之前,建议引导学生回顾上课时探究问题的归纳推理过程,增强有意识地进行归纳推理的自觉性。 探究二 三角形全等的判定(“边角边”)的应用 活动4:例题解析 例 1.如图所示,AB=CB,∠ABD=∠CBD,那么△ABD和△CBD全等吗 例1图 例2图 例 2.如图所示,AB=DB,CB=EB,∠1=∠2,∠A与∠D相等吗 意图说明 巩固学习的“SAS”判定条件,锻炼学生运用“SAS”判定条件证明三角形全等的解题能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 边角边 1.“边角边”判定三角形全等 2.尺规作图 3.判定定理应用
教学反思
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第3课时 边角边
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1. 及其 分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“ ”。
2.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形 全等。
两边
夹角
SAS
不一定
课堂互动
知识点1:利用“SAS”说明两个三角形全等
例1 如图所示,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,
C,D,E三点在同一条直线上,连接BD。
请问图中的BD,CE有何特殊位置和数量关系 并说明理由。
解:BD=CE,BD⊥CE。理由如下:
因为∠BAC=∠DAE=90°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中,因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE,∠ADB=∠E。
因为∠DAE=90°,所以∠E+∠ADE=90°,
所以∠ADB+∠ADE=90°,即∠BDE=90°。
所以BD⊥CE,所以BD,CE的关系为BD=CE,BD⊥CE。
知识点2:灵活运用四种方法说明两个三角形全等
例2 如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请你添加一个条件: ,使△AOB≌△COD。
OB=OD(答案不唯一)
知识点3:已知两边及夹角作三角形
例3 如图所示,已知:线段a,b,∠α。
求作:△ABC,使BA=a,BC=b,∠B=∠α。
解:作法如图所示。(1)作∠MBN=∠α。
(2)在射线BM上截取BA=a。
(3)在射线BN上截取BC=b。
(4)连接AC。则△ABC为所求作三角形。
[规律总结]尺规作三角形的步骤:(1)分析已知,确定求作类型;(2)确定作图思路;(3)正确作图并保留作图痕迹。
基础题
1.如图所示,AD平分∠BAC,AB=AC,那么判定△ABD≌△ACD的理由是
( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
2.如图所示,已知∠ACB=∠DBC。添加下列条件,仍不能证明△ABC≌
△DCB的是( )
A.∠ABC=∠DCB B.AC=BD
C.AB=CD D.∠A=∠D
B
C
3.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF=
。
50°
4.(2024乐山)已知:如图所示,AB平分∠CAD,AC=AD。试说明:∠C=∠D。
解:因为AB平分∠CAD,
所以∠CAB=∠DAB。
在△CAB和△DAB中,
AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB ,
所以△CAB≌△DAB(SAS),
所以∠C=∠D。
中档题
5.已知△ABC,△DEF,△XYZ的相关数据如图所示,则( )
A.△ABC≌△XZY
B.△DEF≌△XYZ
C.∠C=∠Z
D.∠F=80°
C
6.如图所示,AB=AD,AC=AE,若添加一个条件,可使△ABC≌△ADE,则添加的条件是 (只需填一个满足题意的条件即可)。
BC=DE或∠BAC=∠DAE
7.(2024云南)如图所示,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,
AC=AD。试说明:△ABC≌△AED。
解:因为∠BAE=∠CAD,
所以∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD。
在△ABC与△AED中,
AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
所以△ABC≌△AED(SAS)。
素养题
8.回答问题:
(1)[初步探索] 如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=
90°,E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,
∠EAF之间的数量关系,小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是 ;
解:(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF
(2)[灵活运用] 如图(2)所示,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=
180°,E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,判断上述结论是否仍然成立,并说明理由。
解:(2)上述结论仍成立,理由如下:
如图所示,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG。
因为∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
所以∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中,AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG,
所以△ABE≌△ADG(SAS),
所以∠BAE=∠DAG,AE=AG。
在△AEF和△AGF中,AE=AG,AF=AF,EF=GF,
所以△AEF≌△AGF(SSS),
所以∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF。
