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第4课时 三角形全等的综合运用
课标摘录 1.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。 2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。 5.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
教学目标 1.理解并掌握三角形全等的定义及四种判定条件(SSS、SAS、ASA、AAS),能灵活运用这些条件判断两个三角形是否全等。 2.通过实例分析、小组讨论和动手操作,培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力,以及空间想象能力。
教学重难点 重点:理解并掌握三角形全等的四种判定条件,并能准确应用这些条件解决实际问题。 难点:如何根据题目条件灵活选择适当的判定条件,以及将三角形全等的知识应用于解决复杂的几何问题。
教学策略 本节课是前面所学全等三角形的有关知识的提升,教学过程中渗透着“类比思想”和“方法迁移”的研究方法,这些数学思想和研究方法为后面学习相似三角形奠定了基础,所以本节课以一个基本型为主线进行方法的渗透,可以采取类比和迁移的教学方法进行,让学生探究解决问题的方法,灵活掌握方法并应用,那么将来学习相似时学生会很轻松。
情境导入 小刚设计了一个玩具模型,如图所示,其中AB=AC,BD=CE,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD,BE相交于点O,为了使图形美观,小刚希望AO恰好平分∠BAC,他的这个愿望能实现吗 请你帮他说明理由。 师生活动:教师引导学生进行分析,先根据角角边判定△BOD和△COE全等,根据全等三角形对应边相等得到OD=OE,再根据边边边判定△ADO和△AEO全等,然后利用全等三角形对应角相等即可证明AO平分∠BAC。
新知初探 探究一 灵活选用合适方法证明三角形全等 活动1:如图所示,∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件说明:△ABC≌△DEF。 (1)若要以“SAS”为依据,还缺条件 ; (2)若要以“ASA”为依据,还缺条件 ; (3)若要以“AAS”为依据,还缺条件 ; (4)若要以“SSS”为依据,还缺条件 。
活动2:例题解析 例1 如图所示,AB∥CD,并且AB=CD,那么△ABD与△CDB全等吗 请说明理由。 解:因为AB∥CD,根据“两直线平行,内错角相等”,所以∠1=∠2。 在△ABD和△CDB中,因为AB=CD,∠1=∠2,BD=DB,根据三角形全等的判定条件“SAS”, 所以△ABD≌△CDB。 归纳总结: 该题的分析思路:①要求什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件。 意图说明 通过活动1引导学生复习判定三角形全等的四个条件,为后续学习作铺垫,利用例题引导学生归纳总结该题的思路,培养学生善于思考,善于总结,善于归纳的良好数学思维习惯。 探究二 全等三角形判定和性质的综合应用 活动3:例题解析 例2 (1)如图所示AC与BD交于点O,且OA=OB,OC=OD。 △AOD与△BOC全等吗 请说明理由。 (2)△ACD与△BDC全等吗 为什么 解:(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角,根据“对顶角相等”, 所以∠AOD=∠BOC。在△AOD和△BOC中,因为OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△AOD≌△BOC。 (2)由(1)可知,△AOD≌△BOC, 根据“全等三角形的对应边相等”,所以AD=BC。 因为OA=OB,OC=OD,AC=OA+OC,BD=OB+OD,所以AC=BD。 在△ACD和△BDC中,因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,根据三角形全等的判定条件“SSS”,所以△ACD≌△BDC。 追问:你还能根据其他的判定条件,判断这两个三角形全等吗 活动4:巩固提升 如图所示,AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF。 BF与DE相等吗 师生活动:教师引导学生分析,要说明BF=DE,由于BF,DE在△ADE和△CBF中,只满足两边对应相等,需要证这两边的夹角相等,即∠1=∠2,所以只需要判定△ADC≌△CBA即可,已知AB=CD,BC=DA及公共边可根据“SSS”判定全等。 意图说明 通过例题和巩固练习培养学生善于挖掘隐含条件的能力,例题中∠AOD与∠BOC是对顶角,把它看作已知条件,转化为基本型,从而判定三角形全等,达到解决问题的目的。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 三角形全等的综合运用 1.例题解析 2.归纳总结 3.巩固提升
教学反思
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第4课时 三角形全等的综合应用
第4章 三角形
3 探索三角形全等的条件
【学习目标】
1.理解全等三角形的性质，学会应用三角形全等的性质进行简单的推理.
2.掌握三角形全等的判定方法，能根据已知条件灵活选择判定方法 .
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB＝AC，BD=CE，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点O，为了使图形美观，小刚希望AO恰好平分∠BAC，他的这个愿望能实现吗？请你帮他说明理由．
新知初探
贰
新知初探
探究一：灵活选用合适方法证明三角形全等
贰
活动1 如图，∠B＝∠DEF,BC＝EF,补充条件求证：△ABC≌△DEF.
（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；
（4）若要以“SSS” 为依据，还缺条件 ；
（3）若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿；
（2）若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；
AB=DE
∠A=∠D
∠ACB=∠DFE
AB=DE,AC=DF
情境导入
范例应用
活动2 例题解析
例1 如图，AB∥CD,并且AB=CD，那么 ABD与 CBD全等吗？请说明理由。
A
B
D
C
1
2
解:因为AB//CD,
根据“两直线平行，内错角相等”,
所以∠1=∠2.
在△ABD和△CDB中，
因为AB=CD,∠1=∠2,BD=DB,
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABD≌△CDB。
归纳总结：
证明题的分析思路：
①要证什么？
②已有什么？
③还缺什么？
④创造条件.
探究二：全等三角形判定和性质的综合应用
活动3 例题解析
例2 如图 AC与BD交于点 0,且 OA= OB,0C=OD。
(1) △AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么
B
C
A
D
O
解:(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以 ∠AOD=∠BOC。
在△AOD和△BOC中,
因为OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌ △BOC
(2) 由(1)可知，△AOD≌△BOC,
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以 AD=BC。
因为 OA=OB,0C=OD,
AC=OA+OC,BD=OB+OD,所以AC=BD。
在△ACD和△BDC中，
因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ACD△BDC
追问：你还能根据其他的判定条件，判断这两个三角形全等吗
即时测评
1.已知:如图,AB＝CD,BC＝DA,E,F是AC上的两点,且AE＝CF.
求证:BF＝DE.
分析：要说明BF﹦DE，由于BF、DE所在△ABE和△CBF中，只满足两边对应相等，需要证这两边的夹角相等，即∠1＝∠2，所以只需要证明△ADC≌△CBA即可，根据已知AB＝CD,BC＝DA及公共边可根据“SSS”判定全等.
解：在△ABC和△CDA中,
所以△ABC≌△CDA.(SSS)
所以∠1＝∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF与△DAE中,
所以△BCF≌△DAE. (SAS)
所以BF＝DE.(全等三角形的对应边相等)
因为AB=CD,BC=DA,CA=AC,
因为BC=DA,∠1=∠2，CF=AE
当堂达标
叁
当堂达标
叁
解：因为BE=CF，
所以BE+EC=CF+EC.
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
因为AB=DE,AC=DF,BC=EF,
所以△ABC≌△DEF（SSS）.
所以∠A=∠D .
1. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE , AC=DF，
BE=CF,试说明：∠A=∠D .
2 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AD=AE.
连接BD，CE，∠ABD=∠ACE. 试说明：AB=AC.
分析：
AB=AC
△BAD≌△CAE
已知∠BAC=∠DAE , AD=AE，∠ABD=∠ACE.
∠BAC -∠CAD=∠DAE-∠CAD
∠BAD=∠CAE
（AAS）
解：因为∠BAC=∠DAE,
所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD.
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
所以△BAD≌△CAE(AAS) .
所以AB=AC.
当出现点共线、角共顶点时，经常会用到等量相加结果相等、等量相减结果相等，这也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.
∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE,AD=AE
3. 如图，点A ，B ，C ，D在一条直线上，且AB=CD，
若，∠1=∠2，EC=FB．试说明：∠E=∠F.
要证∠E=∠F.
分析：
需证△ACF≌△ADF
已知AB=CD
AB+BC=CD+BC
AC=BD
已知∠1=∠2
∠ABC=∠BCD=180°
∠ABC－∠1=∠BCD－∠2
∠DBF=∠ACE
SAS
EC=FB
解：因为AB=CD,
所以AB+BC=CD+BC. 即AC=BD.
因为∠ABC=∠BCD=180°，∠1=∠2 ，
所以∠ABC－∠1=∠BCD－∠2.
即∠DBF=∠ACE.
在△AEC和△DFB中，
因为EC=FB,∠ACE=∠DBF,AC=DB,
所以△AEC≌DFB （SAS）.
所以∠E=∠F.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1 几何题解题习惯
依题意标图、关注图形特征、挖掘隐藏条件.
3 几何题解题思路
从结论入手，结合已知，双向推理.
2 三角形全等知识
巩固判定方法，根据已知条件灵活选择判定方法.
课后作业
基础题：1.习题4.3 第 7,10题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.3第11题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.4 三角形全等的综合运用 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.理解全等三角形的性质，学会应用三角形全等的性质进行简单的推理.
2.掌握三角形全等的判定方法，能根据已知条件灵活选择判定方法 .
【学习过程】
任务一：灵活选用合适方法证明三角形全等
活动1 如图，∠B＝∠DEF,BC＝EF,补充条件求证：△ABC≌△DEF.
（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；
（2）若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；
（3）若要以“AAS”为依据，还缺条件 ；
（4）若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；
活动2 例题解析
例1 如图，AB∥CD,并且AB=CD，那么 ABD与 CBD全等吗？请说明理由。
评价任务一
得分：
任务二：全等三角形判定和性质的综合应用
活动3 例题解析
例2如图 AC与BD交于点 0,且 OA= OB,=0C=OD。
(1) △AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么
【即时测评】
1.已知:如图,AB＝CD,BC＝DA,E,F是AC上的两点,且AE＝CF.
试说明:BF＝DE.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE , AC=DF，
BE=CF,试说明：∠A=∠D .
2 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AD=AE.连接BD，CE，∠ABD=∠ACE. 试说明：AB=AC.
3. 如图，点A ，B ，C ，D在一条直线上，且AB=CD，若，∠1=∠2，EC=FB．试说明：∠E=∠F.
参考答案
即时测评：
1.证明：在△ABC和△CDA中,
因为
所以△ABC≌△CDA.(SSS)
所以∠1＝∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF与△DAE中,
因为
所以△BCF≌△DAE. (SAS)
所以BF＝DE.(全等三角形的对应边相等)
当堂训练
1.证明：因为BE=CF，
所以BE+EC=CF+EC.
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（SSS）.
所以∠A=∠D .
2.证明：因为∠BAC=∠DAE,
所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD.
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
所以△BAD≌△CAE(AAS) .
所以AB=AC.
3.证明：
因为AB=CD,
所以AB+BC=CD+BC. 即AC=BD.
因为∠ABC=∠BCD=180°，
∠1=∠2 ，
所以∠ABC－∠1=∠BCD－∠2.
即∠DBF=∠ACE.
在△AEC和△DFB中，
所以△AEC≌DFB （SAS）.
所以∠E=∠F.
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第4课时 三角形全等的综合运用
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.判定两个三角形全等方法有 种,分别简写为“边边边”或“ ”;“角边角”或“ ”;“ ”或“AAS”;“边角边”或“ ”。
2.尺规作三角形的类型
四
尺规 作图 类型 依据
已知两边及其夹角作三角形
已知两角一边作三角形 或
已知三边作三角形
SSS
ASA
角角边
SAS
SAS
AAS
ASA
SSS
课堂互动
知识点1:灵活运用四种方法说明两个三角形全等
例1 如图所示,点A,B,D,E在同一条直线上,在△ABC与△DEF中,∠C=
∠F,BE=AD,请你添加一个条件,使△ABC≌△DEF,并写出判定方法,则可以添加的条件是: 。
∠CAB=∠D(AAS)(答案不唯一)
知识点2:尺规作图
例2 小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中,回顾了作图的过程,并作了如下的思考:
由尺规作图,知OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,
所以△OCD≌△O′C′D′,
所以∠DOC=∠D′O′C′。
请你说明小华得到两个三角形全等的根据是( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
A
基础题
1.如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,∠1=
∠2,则图中的全等三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.1对 D.4对
D
2.用尺规作图,已知三边作三角形,用到的基本作图是( )
A.作一个角等于已知角
B.作一条线段等于已知线段
C.作已知直线的垂线
D.作角的平分线
B
3.如图所示,双人漫步机是一种有氧运动器材,通过进行心血管健康的有氧运动,如慢跑、快走等,可以增强人体的心肺功能,降低血压、改善血糖。这种设计应用的几何原理是( )
A.三角形具有稳定性
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
A
4.(2024贵州模拟)如图所示,在△ABC和△BAD中,AC=BD,BC=AD,在不添加任何辅助线的条件下,可判断△ABC≌△BAD。判断这两个三角形全等的依据是( )
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
C
5.(2024 牡丹江)如图所示,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件: ,使得AE=CE。(只添一种情况即可)
DE=EF(答案不唯一)
6.如图所示,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB。
(1)试说明:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °。
解:(2)因为∠DAB=70°,∠D=90°,
所以∠DBA=90°-70°=20°,
由(1)知△ABC≌△BAD,
所以∠CAB=∠DBA=20°。
故答案为20。
中档题
7.(2024毕节金沙期末)如图所示,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是( )
A.∠B=∠D B.BC=DE
C.∠1=∠2 D.AB=AD
D
8.(2024成都)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 。
100°
9.如图所示,AC=DB,AB=DC,可以由“SSS”判定全等的三角形是
。
△ABD≌△DCA;△ABC≌△DCB
素养题
10.(推理能力、几何直观)如图所示,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么BE与DF之间有什么数量关系 请说明
理由。
解:BE=DF。理由如下:
如图所示,连接BD。
在△ABD和△CDB中,
因为AB=CD,AD=CB,BD=DB,
所以△ABD≌△CDB(SSS),
所以∠A=∠C。
因为AD=CB,DE=BF,
所以AD+DE=CB+BF,
所以AE=CF。
在△ABE和△CDF中,
因为AE=CF,∠A=∠C,AB=CD,
所以△ABE≌△CDF(SAS),
所以BE=DF。
