(共24张PPT)
2 简单的轴对称图形
第5章 图形的轴对称
第2课时 线段的垂直平分线
【学习目标】
1.通过动手操作，明确线段是轴对称图形，发展空间观念.
2.探索线段垂直平分线的有关性质，学会用垂直平分线的性质解决一些实际问题，培养解决问题的能力.
3.通过尺规作图，会用尺规作图作一条线段的垂直平分线，培养数学的应用意识.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图所示，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
新知初探
贰
新知初探
探究一：线段垂直平分线的性质
贰
活动1 在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O. 你发现了什么？
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (简称中垂线).
归纳总结
活动2 尝试·思考
如图所示，直线是线段AB的垂直平分线，点C是上的任意一点。在线段AB上画出以直线为对称轴的一组对应点D和D',连接 CD和CD'
(1)你认为线段 CD和 CD'之间有什么关系 说说你的理由。
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
CD= CD'
点D'与点B重合，CD= CD'
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
归纳总结
即时测评
1.如图所示，DE 是 AC 的垂直平分线，AB＝12 厘米，
BC＝10 厘米，则△BCD 的周长为( )
A．22 厘米 B．16 厘米
C．26 厘米 D．25 厘米
解析：根据线段垂直平分线的性质
得 CD＝AD，故△BCD 的周长为
DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC
＝AB＋BC＝12＋10＝22 (厘米).
A
活动3 思考交流
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆
规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
如图所示，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线 假设线段
AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
·
·
A
B
探究二：作线段的垂直平分线
活动4 例题解析
例题 利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
1.分别以点 A 和点 B 为圆心，以
大于 AB 一半的长为半径作弧，
已知：线段 AB.
求作：AB 的垂直平分线.
2. 作直线 CD．则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
A
B
C
D
两弧相交于点 C 和 D；
请你说说这样做的理由。
活动5 操作·思考
如图所示，已知直线和上的一点P，如何用尺规作的垂线，使它经过点P？能说明你的作法吗？
作法：①以点P为圆心，以任意长为半径画圆，与直线l相交于点A，B；
②分别以A、B为圆心，以任意长为半径画圆，两圆相交于点MN，连接MN即可得出直线l的垂线．
即时测评
2.如图所示，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l 于 O，交 AB 于 E.
因为 EO 是线段 AB 的垂直平分线，
所以点 O 到 A，B 的距离相等.
所以这个公共汽车站 C 应建在 O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
2. 如图，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 cm.
A
B
C
D
E
10
3. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么 EA =_____cm，DA =_____cm.
A
B
E
D
C
4
6
解：因为 DE 是△ABC 边 AB 的垂直平分线，
所以 EB = EA.
所以△AEC 的周长为
AC + CE + EA
= AC + CE + EB
= AC + BC
= 4 + 5 = 9.
4. 如图，DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，交 AB、
BC 于 D、E，若 AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长.
A
D
B
E
C
课堂小结
肆
课堂小结
肆
线段垂直平分线的性质
内容
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
课后作业
基础题：1.习题5.2 第 2,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题5.2第13题
谢
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2 简单的轴对称图形
第2课时 线段的垂直平分线 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过动手操作，明确线段是轴对称图形，发展空间观念.
2.探索线段垂直平分线的有关性质，学会用垂直平分线的性质解决一些实际问题，培养解决问题的能力.
3.通过尺规作图，会用尺规作图作一条线段的垂直平分线，培养数学的应用意识.
【学习过程】
任务一：线段垂直平分线的性质
活动1 拿出准备好的长方形白纸，在纸上画一条线段，对折AB使点A,B重合，折痕与AB的交点为O.
【方法归纳】
线段是 图形， 是它的一条对称轴.
于一条线段，并且 这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称 ）
活动2 尝试思考
如图，直线是线段AB的垂直平分线，点C是上的任意一点。在线段AB上画出以直线E为对称轴的一组对应点D和D',连接 CD和CD'
(1)你认为线段 CD和 CD'之间有什么关系 说说你的理由。
(2)特别地，当点D与点A重合合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
归纳总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
【即时测评】
1.如图，DE 是 AC 的垂直平分线，AB＝12 厘米，BC＝10 厘米，则△BCD 的周长为( )
评价任务一
得分：
任务二：作线段的垂直平分线
活动3 思考交流
如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线 假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
活动4 例题解析
例2 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
活动5 操作思考
如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法吗？
l ·
P
【即时测评】
2.如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 cm.
3. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么 EA =_____cm，DA =_____cm.
如图，DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，交 AB、BC 于 D、E，若 AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长.
参考答案
即时测评：
1.A
2.解：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l 于 O，交 AB 于 E.
因为 EO 是线段 AB 的垂直平分线，
所以点 O 到 A，B 的距离相等.
所以这个公共汽车站 C 应建在 O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．
当堂训练
1.B
2.10
3.4,6
4.9
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第2课时 线段的垂直平分线
课标摘录 理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
教学目标 1.在经历探索线段的轴对称性质的过程中,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念。 2.探索垂直平分线的基本性质,掌握线段垂直平分线的尺规作图方法,进一步在实际应用中体会等腰三角形的有关性质。
教学重难点 重点:掌握线段的对称性,探索线段垂直平分线的性质,会用尺规平分线段或者作出相应线段的垂直平分线。 难点:能独立归纳出线段垂直平分线的性质,并会在实际问题中灵活应用这一性质。
教学策略 本节课除了关注数学与现实生活的紧密结合外,还应注意创设多角度思考问题的机会,使学生经历“做中学,学中做”的探究过程,更深一层体会数学学习的重要性,并从中得到锻炼提高,进一步增强自身的数学素养。
情境导入 如图所示,某地由于居民增多,要在公路l边增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个公共汽车站C建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长
新知初探 探究一 线段垂直平分线的性质 活动1: 在纸片上画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合,设折痕与AB的交点为O。你发现了什么 师生活动:学生通过观察与测量得出AO=BO。学生积极讨论,教师引导学生总结。 归纳总结 线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线)。 活动2:尝试思考 如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'。 (1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。 (2)特别地,当点D与点A重合时,点D'位于什么位置 此时,线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论 归纳总结:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 意图说明 鼓励学生进行讨论与交流,也可以利用多媒体演示,以加强对线段的中垂线性质的理解。学生可以利用折叠重合或全等三角形加以说明。
探究二 作线段的垂直平分线 活动3:思考交流 如图所示,已知线段AB,如何作出它的垂直平分线 假设线段AB的垂直平分线已作出,那么 (1)这条直线有什么特征 (2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。 活动4:例题解析 例题 利用尺规,作线段AB的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:AB的垂直平分线. 师生活动:学生独立思考,学生代表发言说明作图过程,教师通过PPT或者教具操作展示如下: 作法: (1)分别以点A和点B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D; (2)作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 对于学生不同但合理的方法,教师都应予以肯定. 追问:请你说说这样作的理由。 活动5:巩固练习:现在我们回过头来解决开头我们提出的问题。 如图所示,某地由于居民增多,要在公路l边增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个公共汽车站C建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写画法) 师生活动:学生独立思考,学生代表发言,教师引导学生简单说明画图过程与理由,并给予适当的评价与完善。 活动6:操作思考 如图所示,已知直线l和l上的一点P,如何用尺规作l的垂线,使它经过点P 能说明你的作法的道理吗 师生活动:学生独立思考,学生代表发言,教师引导学生简单说明画图过程与理由,并给予适当的评价与完善。 意图说明 锻炼学生作图能力,尺规作图不要求学生写作法,但学生应能说明其中的道理,即以操作和理解为主,提高学生的语言表达能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质 2.作线段的垂直平分线 3.巩固练习
教学反思
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第2课时 线段的垂直平分线
数学 七年级下册BSD
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基础题
预习导学
1.线段的轴对称性
线段是轴对称图形,垂直并且 线段的直线是它的一条对称轴。
2.线段的垂直平分线
(1)定义: 于一条线段,并且 这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线);
(2)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
。
平分
垂直
平分
相等
课堂互动
知识点1:线段垂直平分线的性质
(1)若CD=CA,∠A=50°,求∠ACB的度数;
(2)若AB=10,AC=4,则△ACD的周长为 。
解:(2)14
知识点2:用尺规作线段的垂直平分线
例2 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要在道路AB的边缘上建一个休息点M,使它到A,C两个点的距离相等。在图中确定休息点M的位置。
解:如图所示,作AC的垂直平分线交AB于点M,
则点M为所求。
基础题
1.(2024清镇期中)如图所示,P为线段AB的垂直平分线上一点,若PB=
3 cm,则PA的长为( )
D
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
A.50° B.60° C.70° D.80°
C
3.如图所示,在△ABC中,已知BC=6,AB=10,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD,则△BCD的周长为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是AD上一点,若CE=5,则BE等于( )
A.7 B.6
C.5 D.4
C
5.如图所示,在△ABC中,AD是BC的垂直平分线,若BC=8,AD=6,则图中阴影部分的面积是 。
12
中档题
6.如图所示,在△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1,则∠C等于( )
A.28° B.25° C.22.5° D.20°
A
7.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上,且AC=16 cm,则BM的长为 。
8 cm
8.任意画一个钝角三角形ABC(∠A>90°)。
(1)用直尺和圆规分别作出两边AB和AC的垂直平分线l1,l2。
解:(1)用尺规作图,分别作钝角三角形ABC的两边AB和AC的垂直平分线l1,l2,如图所示。
(2)l1,l2的交点O到点B,C的距离是否相等 说明理由。
解:(2)相等。理由如下:
连接OA,OB,OC(图略)。
因为l1是AB的垂直平分线,
所以OA=OB。
因为l2是AC的垂直平分线,
所以OA=OC。所以OB=OC。
即l1,l2的交点O到点B,C的距离相等。
素养题
9.(推理能力)如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N。
(1)若AB=12 cm,求△MCN的周长;
解:(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N,
所以AM=CM,BN=CN。
因为AB=12 cm,
所以△MCN的周长是CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=12 cm。
(2)若∠ACB=118°,求∠MCN的度数。
解:(2)因为∠ACB=118°,
所以∠A+∠B=180°-∠ACB=62°。
因为AM=CM,BN=CN,
所以∠A=∠ACM,∠B=∠BCN。
所以∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=62°。
所以∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=118°-62°=56°。
谢谢观赏！
