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2 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过观察、折叠等活动，发现角平分线的有关性质，发展条理思考和规范的数学语言习惯意识．
2.通过知识运用，学会借助辅助线构造所需的图形解决问题，提高分析问题、解决问题的能力.
3.通过老师的板演示范过程，学会利用尺规作角的平分线，提高作图的能力.
【学习过程】
任务一：角的对称性
活动1 如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么？
【方法归纳】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
评价任务一
得分：
任务二：角平分线的性质
活动2 如图所示，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D ,连接 CD和 CD 。
(1) 你认为线段 CD和 CD 之间有什么关系 说说你的理由。
(2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示),CD 与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和 CD 之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
追问：改变点C的位置，线段CD和CD 还相等吗？你能解释其中的道理吗？
【方法归纳】
性质定理： .
应用所具备的条件：
；（2） .
定理的作用： .
应用格式：
因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD = CE.
【即时测评】
如图所示，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，
垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm.
2.如图所示，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4， AB＝14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；
(2) 求△APB 的面积.
活动3 思考交流
如图 5-21,已知∠AOB 如何作出它的平分线
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
（1）这条射线有什么特征
（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
活动4 例题解析
例1利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
活动 5 思考交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流
活动 6 回顾·反思
回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了那些方法，积累了那些经验。
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，
则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ）
A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
2. 如图所示，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，
若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
3.△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，
则点 D 到 AB 的距离是 .
4. 如图所示，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离.
参考答案
即时测评：
1.4
2.4，28
当堂训练
1.A
2.60，BF
3.3
4.6
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
2 简单的轴对称图形
第5章 图形的轴对称
第3课时 角平分线的性质
【学习目标】
1.通过观察、折叠等活动，发现角平分线的有关性质，发展条理思考和规范的数学语言习惯意识．
2.通过知识运用，学会借助辅助线构造所需的图形解决问题，提高分析问题、解决问题的能力.
3.通过老师的板演示范过程，学会利用尺规作角的平分线，提高作图的能力.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
从图中你发现了什么几何图形？
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴。
新知初探
贰
新知初探
探究一：角的对称性
贰
活动1： 如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么？
A
B
O
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
验证猜想
A
B
O
C
B
探究二：角平分线的性质
如图所示OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D',连接 CD和 CD'。
(1) 你认为线段 CD和 CD'之间有什么关系 说说你的理由。
活动2 尝试·思考
D
O
C
D'
A
B
P
(2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示),CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和 CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
D
O
C
D'
B
A
P
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
定理的作用：
证明线段相等.
知识要点
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
因为 OP 是∠AOB 的平分线，
所以 PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完整，不能少.
即时测评
1.如图所示，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
即时测评
2.如图所示，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4， AB＝14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；
(2) 求△APB 的面积.
A
B
C
P
D
4
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
故 AB·PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
活动3 思考·交流
如图所示,已知∠AOB如何作出它的平分线
O
A
B
（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
（1）这条射线有什么特征
活动4 例题解析
例 利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2) 分别以点M和点N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3) 作射线OC. 射线OC即为所求.
活动 5 思考·交流
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流
活动 6 回顾·反思
回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了那些方法，积累了那些经验。
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到
角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
叁
叁
叁
3. 如图所示。△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
2. 如图所示，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
因为 AD∥BC，
所以 MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离.
因为 AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
所以 PM = PE. 同理，PN = PE.
所以 PM = PN = PE =3.
所以 MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
4. 如图所示，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段(距离)相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
课后作业
基础题：1.习题5.2 第 3,4,9,10题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题5.2第11,14题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 角平分线的性质
课标摘录 理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。
教学目标 1.会用尺规作一个角的平分线,知道作法的合理性。 2.探索并证明角平分线的性质。 3.能用角平分线的性质解决简单问题。
教学重难点 重点:探索并证明角平分线的性质。 难点:能用角平分线的性质解决简单问题。
教学策略 课堂开始设计了折纸活动,让学生体验角的轴对称性,为学分线的性质做好铺垫。通过学习尺规作图,以达到复习全等和再次验证猜想的目的,从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣,使教学目标顺利达成。有效提高了学生对新知识的理解和感悟,教学效果较好。
情境导入 从图中你发现了什么几何图形 角是生活中常见的图形,角是轴对称图形吗 如果是,请指出它的对称轴。 师生活动:教师通过放映PPT展示角在生活中的应用,通过追问引出后续探究。
新知初探 探究一 角的轴对称性 活动1:观察思考 如图所示,将∠AOB对折,你发现了什么 师生活动:学生独立画图折叠,发现∠AOB被平分,学生积极讨论。 归纳总结:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴。 意图说明 以操作性活动以及“你发现了什么”的问题探究角的轴对称性。由于角的两边是射线,图形具有一定的抽象性,建议让学生充分讨论“角是否是轴对称图形”的问题,关注学生是否能将直观与想象相结合。学生在回答“角是轴对称图形”后,建议要求进一步说明角的对称轴的特点。 探究二 角平分线的性质 活动2:尝试思考 如图(1)所示,OP是∠AOB的平分线,点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'。 (1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。 图(1) 图(2) 师生活动:学生根据要求独立操作画图,然后通过观察发现:CD=CD'。
(2)特别地,当CD⊥OA时(如图(2)所示),CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时,线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论 教师追问:改变点C的位置,线段CD和CD'还相等吗 学生独立思考,然后小组讨论,发现结论不变,猜测:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 归纳总结: (1)性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)应用所具备的条件: ①点在角平分线上;②到角两边的距离(垂直)。 (3)定理的作用:证明线段相等。 (4)符号语言: 因为OC是∠AOB的平分线,CD⊥OA,CD'⊥OB, 所以CD=CD'。 活动3:思考交流 如图所示,已知∠AOB,如何作出它的平分线 师生活动:假设∠AOB的平分线已作出,那么 (1)这条射线有什么特征 (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢 与同伴进行交流。 活动4:例题解析 例题 利用尺规,作∠AOB的平分线。 已知∠AOB,求作:∠AOB的平分线。 师生活动:学生独立思考,学生代表发言,教师给予评价并整理板书。 作法: (1)在OA和OB上分别截取OM,ON,使OM=ON(如图所示); (2)分别以点M和点N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点C; (3)作射线OC。 射线OC即为所求。 活动5:巩固练习(具体内容见同步课件) 活动6:思考交流 归纳总结:过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线,这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流。 意图说明 通过尝试思考,得到角平分线的性质,把活动和思考结合起来,以加深对角平分线性质的理解,同时积累数学活动经验。例题强化学生对角平分线的性质的理解与应用,练习加大难度,提升学生的解题技巧,让学生学会逆向思维,锻炼学生的思考能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 角平分线的性质 1.角是轴对称图形 2.角平分线的性质 3.例题解析 4.角平分线的应用
教学反思
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第3课时
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.角的轴对称性
角是轴对称图形, 所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离 。
角平分线
相等
课堂互动
知识点1:角平分线的性质
例1 如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
D
知识点2:用尺规作角平分线
例2 如图所示,在△ABC中,∠C=90°。作∠ABC的平分线交AC于点D
(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不用写作法)。
解:∠ABC的平分线如图所示。
基础题
1.如图所示,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心,EF的长为半径画弧,交弧①于点D,画射线OD。若∠AOB=35°,则∠BOD的度数是( )
A.35° B.60° C.70° D.80°
C
2.如图所示,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,AB=5,DE=2,则△ABD的面积是( )
A.5 B.7
C.7.5 D.10
A
C
A.115° B.110° C.105° D.100°
4.如图所示的是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,这种作法中得到三角形全等的依据是( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
D
5.如图所示,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=55°,则∠BOC= 。
117.5°
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,且E为AB的中点。求∠B的度数。
解:因为DE⊥AB于点E,E为AB的中点,
所以直线DE是线段AB的垂直平分线。
所以DA=DB。所以∠DAB=∠B。
因为AD平分∠CAB,所以∠CAD=∠DAB。
因为∠C=90°,
所以∠B=∠CAD=∠DAB=30°。
中档题
7.如图所示,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,
DE=4,AB=7,则AC的长是( )
A.3 B.4
C.6 D.5
D
8.如图所示,△ABC的三边AB,BC,AC的长分别是8,12,16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC等于( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
C
9.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 。
2.4
10.如图所示,在△ABC中,点P是AC上一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等(不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,点M即为所求。
素养题
11.(推理能力)如图所示,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC。试说明:
(1)AM⊥DM;
解:(1)因为AB∥CD,所以∠BAD+∠ADC=180°。
因为AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
所以2∠MAD+2∠ADM=180°。
所以∠MAD+∠ADM=90°。
所以∠AMD=90°,即AM⊥DM。
(2)M为BC的中点。
解:(2)如图所示,过点M作MN⊥AD,交AD于点N。
因为∠B=90°,AB∥CD,
所以BM⊥AB,CM⊥CD。
又因为AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
所以BM=MN,MN=CM。
所以BM=CM,
即M为BC的中点。
