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问题解决策略：转化 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.初步学会运用转化的策略分析问题，灵活确定解决问题的思路。
2.能根据问题的特点确定具体的转化方法，从而有效地解决问题。
【学习过程】
任务一：转化策略
问题1:七年级二班的同学领到一个测量不规则草地面积（如图阴影图形）的实践任务，你能帮助他们想出办法测量吗？
在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下：
组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程．
问题2：如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜。你认为自助助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它的距离之和最短
甲居民楼
乙居民楼
道路
活动1理解问题
教师引导学生理解问题，如果把两个居民楼和自助取货柜所在的位置都看作点，道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题 试着写一写、画一画。
活动2拟订计划
(1)你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
(2)相信你能解决以下问题:如图，直线的两侧分别有A，B两点，在直线上确定一个点C，使AC+ CB最短。原问题与下图这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为下图这样的问题吗 说说你的想法。
A
B
活动3 实施计划
写出你的解决方案，并说明道理。
小明是这样思考的:
如图，作点B关于的对称点B ，根据轴对称的性质，对于上任意一点 C，都有BC=B C,因此AC+BC=AC+B C,问题转化为:在直线上确定一个点C，使AC+BC最短。根据“两点之间线段最短”，连接AB ，与交于点C，点C就是所要确定的点。
A
B
l
C
B，
追问：请同学们来说一下小明解决方案的根据。
活动4 回顾反思
(1)回顾本题的解决过程，你有有哪些感悟
(2)利用转化策略解决问题时 需要注意些什么
【即时测评】
2.已知x2-5x+1=0 ，求x4 + 的值。
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
2．已知x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m＝ ．
3．△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围．
4．已知a+b＝4，ab＝2
（1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2的值．
5．如图，已知AB∥CD，∠A＝36°，∠C＝120°，求∠F﹣∠E的大小．
参考答案
即时测评：
1.4
2.527
当堂训练
1.B
2.5或-3
3.1＜AD＜4
4.（1）12（2）8
5.24°
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
问题解决策略：转化
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
七年级（2）班的同学领到一个测量不规则草地面积（如图阴影图形）的实践任务，你能帮助他们想出办法测量吗？
在数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的
熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。
在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下：
组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
请同学们将四个小组的数据收集并整理，思考一下能不能用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程．
新知初探
贰
新知初探
探究：转化策略
贰
问题：
如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜。你认为自助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它的距离之和最短
甲居民楼
乙居民楼
道路
如果把两个居民楼和自助取货柜所在的位置都看作点，道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题 试着写一写、画一画。
理解问题
拟定计划
(2)相信你能解决以下问题:如图，直线的两侧分别有A，B两点，在直线上确定一个点C，使AC+ CB最短。原问题与下图这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为下图这样的问题吗 说说你的想法。
(1)你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
A
B
实施计划
写出你的解决方案，并说明道理。
小明是这样思考的:
如图，作点B关于的对称点B'，根据轴对称的性质，对于上任意一点 C，都有BC=B'C,因此AC+BC=AC+B'C,问题转化为:在直线上确定一个点C，使AC+BC最短。根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与交于点C，点C就是所要确定的点。
追问：请同学们来说一下小明解决方案的根据。
回顾反思
(2)利用转化策略解决问题时 需要注意些什么
(1)回顾本题的解决过程，你有有哪些感悟
即时测评
1.已知x2+x-1=0 ，求x3+2x2+3的值。
2.已知x2-5x+1=0 ，求x4 + 的值。
即时测评
当堂达标
叁
当堂达标
叁
B
2．已知x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m＝ ．
5或﹣3
3．△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围．
解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
4．已知a+b＝4，ab＝2
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a﹣b）2的值．
解：（1）∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
（2）∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝12﹣2×2＝8．
5．如图，已知AB∥CD，∠A＝36°，∠C＝120°，求∠F﹣∠E的大小．
解：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠A＝∠1＝36°，∠2＝∠3，∠4＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°
∴∠EFC﹣∠AEF＝∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝∠4﹣∠1＝60°﹣36°＝24°．
课堂小结
肆
课堂小结
肆
转化是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题化为一类已经解决或比较容易解决的问题的思维方法.数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换。常见的转化方法有换元法、等积转化法、数形结合法、函数法、特殊值法等.
课后作业
基础题：1.习题5.3 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题5.3第4题
谢
谢(共17张PPT)
☆问题解决策略:转化
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
数学学习中,常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。通过转化,可以把一个问题转化为与它等价的问题,达到化繁为简,化难为易,化不熟悉为熟悉的
目的。
课堂互动
知识点1:转化思想解决最短距离问题
例1 小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家,如图所示,小刚的家在A处,王奶奶的家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为1 000 m,则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短路程是多少
解:如图所示,作点A关于CD的对称点A′,连接A′B与CD相交于点M,
连接AM,
则A′B的长即为小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短路程。
由作图可知∠A′MC=∠BMD,∠A′CM=∠BDM=90°,AC=BD=A′C,
所以△A′CM≌△BDM(AAS)。
所以A′M=BM,CM=DM。
所以AM=1 000 m。
又由轴对称的性质,知AM=A′M,所以A′M=BM=1 000 m。
所以A′B=2 000 m。
此类问题的关键是把在直线同侧的点利用对称转化到直线两侧,再根据两点之间线段最短的性质解决问题。
知识点2:转化在求面积方面的应用
解:连接BD,EF,如图所示。
由题意,得EF所在直线是正方形ABCD的一条对称轴,且BE=DF,
所以OF=OE,EF⊥AD,EF⊥BC。
从而易得△BEO≌△DFO,所以S△BEO=S△DFO。
求阴影部分的面积的问题,常常通过和、差、割、补、平移、旋转,把面积相等的图形补到另一个图形上,使不规则的图形变成规则的图形,以此来达到简算的目的。
知识点3:转化在智力游戏中的应用
例3 假设排列着100个乒乓球,由两个人轮流拿球装入口袋,能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是:每次拿球者至少要拿1个,但最多不能超过5个,问:如果你是最先拿球的人,你该拿几个 以后怎么拿就能保证你能拿到第100个乒乓球
解:先拿4个,然后对方如果拿1到5个,那么我就拿5到1个,即拿的球数要与对方拿的球数之和为6。于是无论如何剩下的球数为6n,n逐次少1,最后剩6个的时候恰好是我拿到第100个乒乓球。
基础题
1.如图所示,直线l是一条河,A,B是两个新农村定居点。欲在l上的某点处修建一个水泵站,直接向A,B两地供水。现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道,则铺设管道最短的方案是( )
D
2.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=15,△ABC的面积为90,BD平分∠ABC,若E,F分别是BD,BC上的动点,则CE+EF的最小值为( )
A.12 B.15 C.18 D.9
A
3.求图中阴影部分的面积(π≈3.14)。
解:3.14×42÷2=50.24÷2=25.12(dm2)。
答:图中阴影部分的面积约是25.12 dm2。
4.如图所示,已知牧马营地在M处,每天牧马人要赶马群先到河边饮水,再到草地上吃草,最后回到营地,请你为牧马人设计出最短的牧马路线(保留画图痕迹,不写画法步骤)。
解:如图所示,最短路线为M→C→D→M。
中档题
5.如图所示,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以OB为直径作半圆交AB于点D,连接OD,则阴影部分的面积是( )
C
6.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F。若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 。
10
素养题
7.(推理能力)两人轮番在下面的方格中画对号,最少画一个,最多画三个,谁画到最后一个格谁获胜,你认为获胜的策略是什么
解:给对方始终剩下4的倍数个小方格。
