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3 用关系式表示变量之间的关系 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1．经历探索三角形面积的过程，会用关系式表示某些变量之间的关系，培养建模能力。
2．经历探索圆锥体积的过程，能根据关系式求值，发展运算能力。
【学习过程】
任务一：用关系式表示变量之间的关系
活动1 观察思考
如图，三角形ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形底边BC长为x（单位：cm），那么三角形的面积y（单位：cm2）可以表示为________.
（3）当底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从______cm2变化到______cm2.
评价任务一
得分：
任务二：用关系式求值
活动2 观察思考
1.如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________.
(2)如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与 r 的关系式是____________.
(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3.
【即时测评】
1.如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为 r（单位：cm），那么圆锥的体积 V（单位：cm3）与 r 的关系式为 .
（3）当底面半径由 1 cm 变化到 10 cm 时，圆锥的体积由 cm3 变化到 cm3.
活动3 尝试·交流
1.你知道什么是“低碳生活”吗？
2.一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示：
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 ____________，其中的字母分别表示
.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加 1 kW·h ( kW·h 是单位“千瓦·时”的符号)，二氧化碳
排放量增加__________.当耗电量从 1 kW·h 增加到100 kW·h 时，二氧化碳排放量从_______增加到_______.
（3）小明家本月用电大约 110 kW·h、天然气 20 m3、自来水 5 t、油耗 75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
【即时测评】
2. 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速v
km/h 之间有下列经验公式：
(1) 式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？
(2)当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 变量 x 与 y 之间的关系式是 y = x2－3，当自变量 x = 2时，因变量 y 的值是 ( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
2. 一块长为 5 米，宽为 2 米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为 x 米的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积 y (平方米)与 x (米)之间的关系式为 ( )
A. y = 2x B. y = 10－2x
C. y = 5x D. y = 10－5x
如图是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为1 时，则输出的数值为____.
4. 在关系式 s = 40t 中，当 t = 1.5 时，s =____.
5. 如图，圆柱的底面直径是 2 cm，当圆柱的高 h cm 由大到小变化时，圆柱的体积 V (cm3) 随之发生变化.
(1) 在这个变化中，自变量和因变量各是什么？
(2) 写出圆柱的体积 V 与高 h 之间的关系式.
(3) 当 h 由 10 cm 变化到 5 cm时，V 是怎样变化的？
(4) 当 h = 0 时，V 等于多少？此时表示什么？
参考答案
即时测评：
（1）圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量.
（2） （3） ，
2.（1） 常量：256； 变量： s，v； 自变量：v； 因变量：s.
（2）当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m；当 v＝80 km/h 时， s＝25 m；当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m.
当堂训练
1.C
2.B
3.2
4.60
5.(1) 自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积. (2) V =πh (3) 当 h = 10 cm 时，V = πh = 10π cm3；当 h = 5 cm 时，V = πh = 5πcm3.所以当 h 由 10 cm 变化到 5 cm 时，V 从 10πcm3 变化到 5πcm3. (4)V = 0，此时表示平面图形——直径为 2 cm 的圆
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3 用关系式表示变量之间的关系
课标摘录 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。
教学目标 1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感。 2.根据具体情境,用关系式表示两变量间的关系。 3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量间的数值对应关系。
教学重难点 重点:通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系。 难点:根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
教学策略 1.创设丰富的现实情境,使学生在对变化规律的丰富经历中理解变量之间的相依关系。 2.注重使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程。 3.注重使学生从关系式中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达。
情境导入 1.如果△ABC的底边长为a,高为h,那么△ABC的面积S△ABC= 。 2.如果梯形的上底、下底长分别为a,b,高为h,那么梯形的面积S梯形= 。 3.圆的半径为r,则圆的面积S= 。 4.圆锥底面的半径为r,高为h,那么圆锥的体积V圆锥= 。 师生活动:教师出示问题,让学生口答。
新知初探 探究 用关系式表示变量之间的关系 活动1:探究 如图所示,△ABC底边BC上的高是6 cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,三角形的面积发生了变化。 (1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么 (2)如果三角形的底边长为x(单位:cm),那么三角形的面积y(单位:cm2)可以表示为 。 (3)当底边长从12 cm变化到3 cm时,三角形的面积从 cm2变化到 cm2。 师生活动:学生思考问题,口答。教师操作多媒体向学生演示三角形面积变化过程,让学生直观体验变量关系。 归纳总结: 关系式是表示变量之间关系的一种常用方法。利用关系式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。
活动2:观察思考 如图所示,圆锥的高是4 cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化。 (1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么 (2)如果圆锥底面半径为r(单位:cm),那么圆锥的体积V(单位:cm3)与r的关系式是 。 (3)当圆锥底面半径由1 cm变化到10 cm时,圆锥的体积由 cm3变化到 cm3。 师生活动:教师操作多媒体向学生演示圆锥的变化过程,学生观察、思考,完成题目,然后小组交流,交流完成后,教师找学生口答。 活动3:尝试交流 你知道什么是“低碳生活”吗 答:“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量,从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。 二氧化碳排放量/kg计算公式家居用电用电量(单位:kW·h)×0.785开私家车(燃油车)耗油量(单位:L)×2.7家用天然气用气量(单位:m3)×0.19家用自来水用水量(单位:m3)×0.91
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 ,其中的字母表示 。 (2)在上述关系式中,用电量每增加1 kW·h(kW·h是单位“千瓦时”的符号),二氧化碳排放量增加 。当用电量从1 kW·h增加到100 kW·h时,二氧化碳排放量从 增加到 。 (3)小明家本月用电大约110 kW·h、用天然气20 m3、用自来水5 m3、耗油75 L,请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量。 师生活动:学生独立思考并小组交流,教师巡堂指导,学生代表汇报结果,教师注意学生的学习过程,对学生在探索的过程中给予肯定性的评价。 意图说明 通过解决实际问题,发展学生数学表示的能力,如用字母表示变量、把语言表示转化为关系式等,同时也有关注发展学生社会责任感方面的目的。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 用关系式表示变量之间的关系 1.常用面积、体积公式 2.用关系式表示变量之间的关系
教学反思
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3 用关系式表示变量之间的关系
第6章 变量之间的关系
【学习目标】
1．经历探索三角形面积的过程，会用关系式表示某些变量之间的关系，培养建模能力。
2．经历探索圆锥体积的过程，能根据关系式求值，发展运算能力。
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
游戏：数青蛙
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；
……
1. 青蛙的眼睛数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？
2. 青蛙的腿数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？
这个游戏你能继续玩下去吗？
新知初探
贰
新知初探
探究一：用关系式表示变量间的关系
贰
活动1 观察·思考
确定一个三角形面积的量有哪些？
D
B
C
A
三角形的底边长和对应高
如图，△ABC 底边 BC 上的高是 6 cm。 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
三角形的底边长是自变量，
三角形的面积是因变量.
（2）如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 可以表示为_______.
y = 3x
（3）当底边长从 12 cm 变化到 3 cm 时，三角形的面积从_____cm2 变化到_____cm2.
36
9
可在对应输入框中输入数字进行计算
y = 3x 表示了三角形底边长 x 和三角形面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式.
注意：关系式是我们表示变量之间
关系的一种常用方法，利用关系式
(如 y = 3x)， 我们可以根据任何一
个自变量的值求出相应的因变量
的值。
归纳总结
你还记得圆锥的体积公式是什么吗？
其中的字母表示什么？
r
h
活动2 观察·思考
探究二：用关系式求值
变化中的圆锥
h
r
r
h
底面半径不变
高变
高不变
底面半径变
即时测评
1.如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
圆锥的底面半径的长度是自变量，
圆锥的体积是因变量.
（2）如果圆锥底面半径为 r（单位：cm），那么圆锥的体积 V（单位：cm3）与 r 的关系式为
（3）当底面半径由 1 cm 变化到 10 cm 时，圆锥的体
积由 cm3 变化到 cm3.
.
你知道什么是“低碳生活”吗？
活动3 尝试·交流
“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为
_____________，其中的字母分别表示
.
（2）在上述关系式中，耗电量
每增加 1 kW·h ( kW·h 是单位
“千瓦·时”的符号)，二氧化碳
排放量增加__________.
当耗电量从 1 kW·h 增加到
100 kW·h 时，二氧化碳排放量从_______增加到_______.
0.785 kg
78.5 kg
0.785 kg
y = 0.785x
家居用电的二氧化碳排放量( y )、 耗电量( x )
(3) 小明家本月用电大约 110 kW·h、天然气 20 m3、自来水 5 t、油耗 75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
家居用电的二氧化碳排放量：
110×0.785 = 86.35（kg）；
开私家车的二氧化碳排放量：
75×2.7 = 202.5（kg）.
天然气的二氧化碳排放量：
20×0.19 = 3.8（kg）；
自来水的二氧化碳排放量：
5×0.91 = 4.55（kg）；
即时测评
2. 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间有下列经验公式：
(1) 式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？
常量：256； 变量： s，v； 自变量：v； 因变量：s.
(2)当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？
当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m；
当 v＝80 km/h 时， s＝25 m；
当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 变量 x 与 y 之间的关系式是 y = x2－3，当自变量 x = 2
时，因变量 y 的值是 ( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
C
【解析】将 x = 2 代入 y = x2－3，得 y = 22－3 = 1.
2. 一块长为 5 米，宽为 2 米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为 x 米的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积 y (平方米)与 x (米)之间的关系式为 ( )
A. y = 2x B. y = 10－2x
C. y = 5x D. y = 10－5x
【解析】由题意，得 y = 2(5－x)，即 y = 10－2x.
B
3. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为
1 时，则输出的数值为____.
【解析】根据程序，计算过程可以表示为：－x + 3，
所以当 x = 1 时，原式 = －1 + 3 = 2.
4. 在关系式 s = 40t 中，当 t = 1.5 时，s =____.
【解析】把 t = 1.5 代入 s = 40t 中，得 s = 40×1.5 = 60.
60
2
5. 如图，圆柱的底面直径是 2 cm，当圆柱的高 h cm 由大到小变化时，圆柱的体积 V (cm3) 随之发生变化.
(1) 在这个变化中，自变量和因变量各是
什么？
(2) 写出圆柱的体积 V 与高 h 之间的关系式.
自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积.
V = = πh.
5. 如图，圆柱的底面直径是 2 cm，当圆柱的高 h cm 由大到小变化时，圆柱的体积 V (cm3) 随之发生变化.
(3) 当 h 由 10 cm 变化到 5 cm时，V 是怎样变化的？
(4) 当 h = 0 时，V 等于多少？此时表示什么？
当 h = 10 cm 时，V = πh = 10π cm3；
当 h = 5 cm 时，V = πh = 5π cm3.
所以当 h 由 10 cm 变化到 5 cm 时，
V 从 10π cm3 变化到 5π cm3.
V = 0，此时表示平面图形——直径为 2 cm 的圆.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
3. 结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如 “销量×(售价－进价) = 利润”等.
1. 根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关 系式；
求变量之间关系式的“三途径”
2. 利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图
形的周长、面积、体积公式等；
课后作业
基础题：1.习题6.3 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题6.3第3题
谢
谢(共16张PPT)
3 用关系式表示变量之间的关系
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.关系式法:通过表格可以表示两个变量之间的关系,利用 也可以表示两个变量之间的关系。利用关系式我们可以根据任何一个自变量(或因变量)的值求出相应的因变量(或自变量)的值。
2.用关系式表示变量之间的关系时,通常把因变量写在“=”的左边,含自变量的代数式写在“=”的右边。
3.确定关系式的步骤:①找出题目中自变量和因变量的相等关系;②用字母表示自变量和因变量;③用含自变量的代数式表示因变量;④确定自变量的取值范围。
关系式
课堂互动
知识点1:列关系式
例1 某布店新进了一批花布,卖出的数量 x(m)与售价y(元)的关系如表所示:
数量x/m 1 2 3 4 …
售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
那么y与x的关系式是( )
A.y=8x+0.3 B.y=8.3x
C.y=8+0.3x D.y=8.3+x
B
知识点2:求自变量(或因变量)的对应值
77
基础题
1.每盒钢笔有10支,售价25元,则购买钢笔的总价格y(元)与购买数量x(支)之间的关系式为( )
D
2.一个正方形的边长为3 cm,它的各边长减少 x cm (x<3)后,得到的新正方形的周长为y cm,y与x之间的关系式是( )
A.y=12-4x B.y=4x-12
C.y=12-x D.以上都不对
A
3.在关系式y=2x+5中,当自变量x=6时,因变量y的值为( )
A.7 B.14 C.17 D.21
4.据测试:拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升。小康同学洗手后,没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小康离开x分钟后,水龙头滴出y毫升的水,y与x之间的关系式是( )
A.y=0.05x B.y=5x
C.y=100x D.y=0.05x+100
C
B
5.已知某地的地面气温是20 ℃,如果每升高1 000 m气温下降6 ℃,那么气温t(℃)与高度h(m)的关系式为 。
t=-0.006h+20
6.(跨学科融合)科学家实验发现,声音在不同气温下传播的速度不同,声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化。某科学社团通过查阅资料发现,声音在空气中的传播速度和气温的变化存在如下的关系:
气温t/℃ 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度v/(m/s) 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
(1)在这个变化过程中, 是自变量, 是因变量;
(2)气温每升高1 ℃,声音在空气中的传播速度增加 m/s;
(3)声音在空气中的传播速度v(m/s)与气温t(℃)的关系式可以表示为
;
解:(1)气温 声音在空气中的传播速度
(2)0.6
(3)v=331+0.6t
(4)某日的气温为20 ℃,小乐看到烟花燃放4 s后才听到声响,那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远
解:(4)当t=20时,
v=331+0.6×20=343,
343×4=1 372。
答:小乐与燃放烟花所在地大约相距1 372 m。
中档题
7.如图所示,已知长方形菜园ABCD一边靠墙,另外三边是用长为 24 m 的篱笆围成,设BC=x m,AB=y m,则y与x之间的关系式为( )
D
8.如图所示的是小明同学设计的一个运算程序的流程图,输入一个有理数x,便可输出一个相应的有理数y,请写出y与x之间的关系式:
。
y=3x-12
9.如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合,设PC=x,若用y表示三角形APB的面积,求y与x之间的关系式,并求自变量x的取值范围。
素养题
10.(应用意识)将长为40 cm、宽为15 cm的长方形白纸,按如图所示的方法粘合起来,粘合部分宽为5 cm。
(1)根据图,将表格补充完整:
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度/cm 40 110 145 …
解:(1)75 180
(2)设x张白纸粘合后的总长度为y cm,则y与x之间的关系式是什么
解:(2)y=40+(40-5)(x-1)
=40+35(x-1)
=35x+5,
所以y与x之间的关系式为y=35x+5。
(3)你认为白纸粘合起来总长度可能为 2 023 cm 吗 为什么
