1.1 锐角三角函数 同步练习（含答案）2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.1锐角三角函数
一、单选题
1．如图，在中，，，垂足为点D，若，，那么( )
A． B． C． D．
2.在中，，若，，则的值为( )
A． B．2 C． D．
3．在中，已知，，，则下列结论中正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．在中，，那么的值是(　　)
A．2 B． C． D．
5．已知，则的值是(　)
A．1 B． C． D．2
6.中，的对边分别为．已知，则的值为( )
A． B． C． D．
7．如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为( )
A． B． C． D．3
8．如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 ( )

A． B． C． D．
10．如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．在中，，，，则的值为 ．
12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则t的值是 ．

13．如图，在菱形中，，，点E在边上，，点P从点A出发，沿着的路线向终点B运动，连接，若 APE是以为腰的等腰三角形，则的长可以是 ．

14．在中，，，，则的值为 ．
15．如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于 ．

16．如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．

17．在中，，点D是边上一点(不含B、C两个端点)，将沿折叠得到，当所在的直线与的一边垂直时，点D到边的距离是 ．

18．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，交于M点，交于N点．下列结论：①； ②若F是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 (把你认为所有正确的都填上)．

三、作图题
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形：
(2)画一个面积为8的，且；
(3)请直接写出的正弦值．
四、证明题
20．如图，在四边形中，对角线垂直平分对角线，与相交于点，点是上一点，且．
(1)求证：四边形AECD是菱形．
(2)若点是的中点，，则的值为　 　．
21．如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．

(1)求证：；
(2)当时，求．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在上，且，连结，，且与相交于点O．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求四边形的面积．
23．如图，在矩形中，连结，延长到点，使，过点作的平行线与的延长线交于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连结，若，则的值为________．
24．如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
(1)求证：；
(2)设，若，求的值．
25.已知：如图，在矩形中，是对角线上一点(与不重合)，平分交边于点，交于点．

(1)当时，求的长；
(2)当与相似时，求的正切值；
(3)如果的面积是面积的2倍，求的长．
26．如图，矩形中，的角平分线与交于点E，点P在线段上，过点P作直线的垂线，垂足为F、G，与交于N、M两点，，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，探究线段与的数量关系，并给出证明；
(3)在(2)的条件下，若，求的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】勾股定理求出，同角的余角相等，得到，即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴，
∴；
故选：B．
2．A
【分析】根据勾股定理求出，根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则，
故选：A．
3．A
【分析】先判定三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得、、、的值，即可判断．
【详解】解：在中，∵，，，
∴三角形为直角三角形，其中是直角．
∴，，，，
故选：A．
4．C
【分析】利用勾股定理可以先求出的长，然后利用解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
5．B
【分析】分子分母同时除以化简求值即可得到答案；
【详解】解：分子分母同时除以得，
，
∴，解得：，
故选：B；
6．C
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：在中，
，
，
，
是直角三角形，
．
故选：C．
7．A
【分析】根据题意，先证明，得到，，进而得到，由，利用勾股定理得到，根据，得到，在中，根据即可求解．
【详解】解：和均为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
故选：A．
8．C
【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，．
∴，，
∴，
∴
∵，，则，
设，则，
∴
解得：或
∵，
∴，
∴,
故选：C．
9．A
【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可．
【详解】解：如图，

由正方形的性质可得，，，
∴，
∵，，
∴，
由题意知，，，，，
∴，，
∴，整理得，，
故选：A．
10．C
【分析】根据图象得到，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，，勾股定理求出，即可得到的面积及边上的高，再根据勾股定理求出，由此判断各选项
【详解】解：由图2可知，当时点P在上运动，线段的长度为8，即；
如图，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，

∴，
在中，
∴
∵，
∴，故③正确，④错误；
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
故选：C
二、填空题
11．
【分析】勾股定理计算出，根据直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边，推出，得出的值即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】取格点，连接交于点，连接，，可得，证明，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，连接交于点，连接，

∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴
∴，
故答案为：．
13．13或或
【分析】根据题意进行分类讨论：①当点E在上，此时，，②当点P在上时，此时，③当点P在上时，此时；根据菱形的性质，勾股定理，等腰三角的性质，分别进行解答即可．
【详解】解：①当点E在上，此时，，

②当点E在上，此时，，

过点E作于点H，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当点P在上时，此时，
过点P作，交延长线于点G，

∵，，
∴，，
设，
则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：(舍)，
∴，
∴，
∴
综上：的长可以是13或或．
故答案为：13或或．
14．
【分析】直接利用正切的定义求解．
【详解】解：在中，,
∴．
故答案为：．
15．
【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交于点D，

∵点G为的重心，
∴是中线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．
【详解】解：中，，
，
由折叠的性质可得，，，
．
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
17．或
【分析】分两种情况：当时，由折叠得：，可推出，可求得，再运用三角函数定义即可求得；当时，可证得、D、E在同一条直线上，进而得出，求得，再运用三角函数定义求得即可．
【详解】解：当时，如图1，
过点D作于E，

在中，，
，
由折叠得：，
，
，
，
∴∠ADC=1350，
，
，
，
，
即，
；
当时，
如图2，过点D作于E，

由折叠得：，
，
∴、D、E在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
；
当时，点D与点B重合，不符合题意；
综上所述，点D到边的距离是或；
故答案为：或．
18．①③
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，可得，根据正方形的性质证明，在中，由勾股定理，即可证明①；
过A作，交延长线于G，由(1)同理可得，，设，
则可表示出设，在中，由勾股定理可得，设，则，即可证明②；
根据条件可证明，进而证明，即可证明③．
【详解】解：①将绕点A逆时针旋转得到，连接，

∵，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
而，
在中，，
∴，故①正确；
②过A作，交延长线于G，如图：

由(1)同理可得，，
∴，
设，
∵F是的中点，
则，
在中，，
∴，
解得，
设，则，
∴，
在中，，
∴，故②不正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
三、作图题
19．(1)如图，为所作；
(2)如图，为所作；

(3)
．
四、证明题
20．(1)证明：垂直平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
(2)解：四边形是菱形，
又，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
21．(1)证明：∵，且与的面积比为．
∴，
∴，
∴在与中，，．
∴．
(2)解：∵，
∴，
又∵，，．
∴．
∴，
如图所示，过点作于点，

∴，
在中，，
∴．
22．(1)证明：∵平行四边形ABCD，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴四边形是平行四边形；
(2)∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
23．(1)证明：在矩形中，，即，
又，
四边形是平行四边形．
又
四边形是菱形．
(2)解：如图所示，

连接交与点，
∵四边形是菱形，
∴
∵，
在中，设，则，
则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
24．(1)证明：由题意得：，
∴，，，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
由(1)知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)解：∵，四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：当时，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
(2)满足(1)的条件，
由(1)得：，，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或1；
(3)解：过F作，如图，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴ ，
①式可化成：，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴H为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，解得：；
26．(1)证明：由题意知，，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
如图1，作于K，则+，

∵平分，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
(2)解：，证明如下：
∵矩形，，，
∴，
设，则，，，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴；
(3)解：由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．