1.2 30° 45° 60°角的三角函数值 同步练习（含答案）2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.2 30°45°60°角的三角函数值
一、单选题
1．下列三角函数的值是的是( )
A． B． C． D．
2．在锐角中，若，则等于(　　)
A． B． C． D．
3．设，则下列式子成立的是( )
A． B．
C． D．
4．计算的值为( )
A． B． C． D．
5．正方形网格中，如图放置，则的值为( )

A． B． C．1 D．
6．在中，，，则( )
A． B． C． D．
7．三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为( )

A． B． C． D．无法确定
8．的值等于( )
A．1 B． C． D．2
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为( )

A．1 B．3 C． D．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为( )

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题
11．在中，，，则的值为 ．
12．锐角满足，则 度．
13．计算：．
14． ．
15．若的余角是，则的值是 ．
16．如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．

17．如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．

18．如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为 ．

三、解答题
19．计算：
20．计算：
21．计算：．
22．先化简，再求代数式的值，其中．
23．先化简，再求代数式的值，其中．
24．如图，已知，．

(1)求证：；
(2)若，，求．
25．(1)【问题探究】
如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点(端点除外)，连接、．

①证明：：
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系为______．
(2)【迁移探究】
如图2，将正方形换成菱形，且，点位于中点，其他条件不变．探究与的数量关系为______．
26．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A逆时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，连接，求的长度；
(2)如图2，若，求的坐标并直接写出的坐标；
(3)在(2)的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点P的坐标．
答案
一、单选题
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：，，， ，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．A
【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴在锐角中，，
故选： A；
3．C
【分析】根据的取值范围选择特殊值，然后求出正弦、余弦、正切的值，进行比较即可得到答案．
【详解】解：，
取，
，，，
，
，
故选：C．
4．B
【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值，再进行加减即可．
【详解】解：
，
故选：B．
5．B
【分析】连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接，，设正方形的网格边长是，则根据勾股定理可以得到：

，，
在中，由等腰三角形三线合一得：，
则，
，
故选：B．
6．B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵，则，
故选：B．
7．C
【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可．
【详解】解：如图：

，
，
，
∴
故选：C．
8．B
【分析】根据代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
9．C
【分析】设点A的坐标为，过A点作轴，利用锐角三角函数和即可求出m，根据，设，根据点D经过反比例函数，即可求出n，进而求出答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
过A点作轴，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
或(舍)，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
设，
则，
∴，
∵点D经过反比例函数，
，
或(舍)，
，
故选：C．
10．A
【分析】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确．
【详解】解：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
又，
，
故①正确；
，，
，
，
故②正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，，
，
，
故③正确；
，，
，
，
，
又，，
，
故④正确，
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
则
．
故答案为：．
12．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
则
故答案为：．
13．
【分析】代入特殊角的三角函数值，化简负整数指数幂，然后再计算．
【详解】解：原式
故答案为：
14．3
【分析】利用特殊角的三角函数值、二次根式的加法运算法则即可求解．
【详解】解：，
故答案为：3．
15．
【分析】先求出的余角，由即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
故答案：．
16．
【分析】连接，如图所示，由菱形性质及三角形中位线的判定与性质证得，，在中，．
【详解】解：连接，如图所示：

在菱形中，，点分别为的中点，
，
，
，
在菱形中，，点分别为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，点分别为菱形的中点，
，
，
，
在中，点分别为菱形的中点，
，
，
在菱形中，，则，
在中，，，则，
故答案为：．
17．
【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设点的坐标为，则，
∴，，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案是：
18．
【分析】过点E作于点G，过点D作于点H，利用勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，三角形全等计算即可．
【详解】∵等边，
∴BC=CA=AB,∠BCD=∠CAE=∠ABC=600，
∵，
∴，
∴，，
∵∠BFE=∠DFC=∠CBD+∠BCF，
∴∠BFE=∠DFC=∠ACE+∠BCF=∠BCD=600，
过点E作于点G，
则，
设
则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
过点D作于点H，
则，

设
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．解：
．
20．解：原式，
，
．
21．解：
．
22．原式
，
∵
，
∴原式
．
23．解：
当时，
原式．
24．(1)∵
∴
∵
∴，
∴
∴
(2)∵由(1)，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
25．(1)①证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
②解：的大小不发生变化，；
理由：作，，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴．
.∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，即；
③解：
理由：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)解：；
理由：四边形是菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，

则四边形是平行四边形，，，
∴，，都是等边三角形，
∴，
作于点M，
则，，
∴，
∴．
∵点位于中点，
∴
∴，
即
所以
26．(1)∵ 点，点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
(2)过点作轴于点D，过点作轴于点C，过点作轴于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵ 点，点，
∴，
∵ ，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故点；．
(3)如图，根据旋转的性质，得到，
∴，
作点A关于x轴的对称点N，
连接交于点M，此时，有最小值，
∴点P与点M重合时，取得最小值，
∵ 点，
∴点，
设直线的解析式为，
∵点，点，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
令，
得，
解得，
故点，
，
故的最小值为，此时点．