1.4 解直角三角形 同步练习（含答案）2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.4解直角三角形
一、单选题
1．若菱形的对角线，，则菱形的面积为( )
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为( )

A． B． C．4 D．5
3．在中，，，，则的长为( )
A．6 B． C． D．
4．如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为( )

A．1 B．2 C． D．
5．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)

A． B． C． D．
6．已知，，垂直平分，，，求( )

A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，，垂足分别是E、F，当时，( )

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为( )

A． B． C． D．
9．如图，中，，点D、E分别是边上的动点，将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处，则的最小值是( )．

A． B． C． D．1
10．如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为( )

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，沿弦折叠扇形纸片，圆心O恰好落在上的点C处，，则四边形的面积为 ．
12．如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．

13．一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为

14．在锐角中已知，则锐角面积S的取值范围为 ．
15.如图，点D在线段上移动(不含B点)，，，，若时，则＝ ．

16．如图，在中，，，，点、分别是线段、射线上动点，连接、．若，则线段的最小值是 ．

17．如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点E在边上，连接，F为上一点，若，，则的长为 ．
18．已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ，的最小值为 ．
三、解答题
19．(1)在中，，求和的长；
(2)在中，，解这个直角三角形．
20．如图，是的中线，

求：
(1)的长；
(2)的正弦值．
21．由下列条件解直角三角形：在中，；
(1)已知，
(2)，．
22．如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值．

23．如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．

(1)求边的长；
(2)求的值．
24．如图，两个全等的等边三角形如图放置，边长为8，与交于点G，点D是的中点，与相交于点K，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的面积．
25．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()．
如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；
(2)对于，的正对值的取值范围是 ；
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
26．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向终点匀速移动．过点作，垂足为点，以为边作正方形，点在边上，连接．设点移动的时间为．．
(1) ；(用含t的代数式表示)
(2)当点C，N，M在同一条直线上时，求出相应的t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
答案
一、单选题
1．C
【分析】过点作于点，利用求出，进而求菱形面积．
【详解】解：如图所示，过点作于点．
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
．
在中，．
菱形的面积．
故选：C．
2．D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
3．D
【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：D．
4．C
【分析】根据直角三角形的性质得到，，连接AF，由作图知，DE 垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据等面积法即可解答．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
连接AF，由作图知，DE 垂直平分AC，

∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得．
【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，

一次函数交轴于点，
当时，，当时，，
，，，，
，
，
，
在的延长线上取，
，
作于，
，
，
当、、在同一条直线上时，
最小，
过点作于，
在中，，
，
最小值是，
最小值是，
故选：B．
6．C
【分析】设 ，利用的余弦值求得，证明，利用角的正弦值列式计算即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，所以，
解得，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】根据矩形得到，，，即可得到，根据，得到，，即可得到，，即可得到，，结合三角函数即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，即，
解得：，(不符合题意舍去)，
故选C．
8．B
【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点C作轴，垂足为D，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】如图：在上取点P，使，先解直角三角形可得、；再证明是等边三角形，可得；再说明，进而证明可得、；设,则，进一步得到、，然后根据勾股定理列出的解析式，再运用二次函数的性质求得最小值，进而求得的最小值．
【详解】解：如图：在上取点P，使，

∵中，
∴,
∴
∵将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处
∴,
∴是等边三角形，
∴,
∵，
∴
∵，,
∴,
∴,
设,则
∵
∴
∴，
∴，即
，即
∴
∴当时，有最小值，则的最小值为．
故答案为A．
10．D
【分析】设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，再由点在上，可得，并求出的长，解直角三角形求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案．
【详解】解：设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，

根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，
∵点在上，
∴点P到的距离相等，都是，即，
∴，
∵
∴，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴点P的坐标为
故选 D．
二、填空题
11．
【分析】由折叠可得四边形是菱形，得出四边形是菱形，根据直角三角形的边角关系求出，进而得出半径，由菱形的面积公式可求答案．
【详解】解：如图，连接交于点D，
由折叠可知，，，而，
∴，
∴四边形是菱形；
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
12．3
【分析】连接，先说明，然后利用相似三角形的性质得到，然后得到，进而利用勾股定理的逆定理证明出，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可．
【详解】连接，

∵
∴ CBP∽ DAP
∴
∴，即
∵，
∴
∴
∴在中，．
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值．过点A作于E，设等腰的边，则，解，得，再解，得，从而得，即可由求解．
【详解】解：过点A作于E，如图，

设等腰的边，由勾股定理，得，
在中，∵，，
∴，即，
∴，
∴等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】由正弦定理可得， , 结合已知可先表示, 然后由为锐角三角形及可求的范围, 再把所求的用表示, 利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求的范围，即可得到面积的范围．
【详解】解：由正弦定理可得， ，
∴
∵为锐角三角形,
∴, 且 ∠,
∴
，
∴,
∴,
，
，
，即 ，
，
，
∵面积
，
故答案为：
15．或
【分析】设，因为，所以可设，则，结合，得到与之间的关系，根据面积列方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
过点E作于一点F，

设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：或．
16．
【分析】过点作于点，先证，再根据，，，求出、的长，设，用表示、、的长，根据即可求出线段的最小值．
【详解】解：如图，过点作于点，

，
，
，，
，
即，
，
，，，
，
,
设，
则
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
即，
,
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
解得负值舍去
，
线段的最小值是，
故答案为：．
17．
【分析】在中，根据，可得出，又根据正方形的边长为6，可得出，即可求得，，再根据，可得出，从而证得，进而得出，代入数值进行即可求解．
【详解】解：设与 相交于点H，如图所示：
四边形为正方形，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
18．
【分析】如图：在y轴上确定一点，连接，过点P作于点H，过点A作于点J、交于．利用勾股定理求出，证明；再说明，利用正切的定义列方程求得即可确点P的坐标，求出即可确定最小值．
【详解】解：如图，在y轴上确定一点，连接，过点A作于点J，过点P作于点H．

∴，
∴，
∴，
∴
∴，
当A、、H共线时，即H与J重合时，有最小值，
∵，即，
∴,

∴,即，解得：，
∴此时的坐标为，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：，．
三、解答题
19．(1)解：∵在中，，即，
∴，
∴，
∴，；
(2)解：在中，由勾股定理可知：，
∵，
∴，．
20．(1)解：如图，作于．

在中，，，
，，
在中，，
，
．
(2)，
，，，
在中，．
的正弦值为．
21．(1)，
∵=
∴a+c=12,
(2)，
，
，
，
，
∵，
，
22．解：如图，过点作于点．

．
，
，
．
，，
，
，
，
．
23．(1)设，
根据题意：，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
(2)如图，作于点E，

∵，即，
∴，
∵，
由(1)知．
∴，
∴．
24．(1)证明：∵与是两个全等的等边三角形，
，
，，
，
；
(2)证明： ，
，
∵点D是的中点，，
，
，即，
，
，
；
(3)解：，，
，
，
，，
，
的面积，
．
25．(1)解：根据正对定义可得：
当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，
底边腰长，
故答案为：1；
(2)解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，
的正对值的取值范围是，
故答案为：；
(3)解：如图：
在中，， ，
令，，则，
∴，，
在上取点，使，连接，作，为垂足，
∴，，
，
∴，
．
26．(1)解：在中，根据勾股定理得，，
，，
，
，
由运动知，，
在中，，，
故答案为：；
(2)由(1)知，，，
四边形是正方形，
，
如图，过点作于，

由(1)知，，
，
，
在中，，
点，，在同一条直线上，
点落在点，
，
由(1)知，，，
，
；
(3)当时，，
，
当时，如图，过点作于，延长交于，

，
，
根据勾股定理得，，
，
；
当时，如图，过点作于，

，
，，
，，
，
又，
，
，
，
或(舍)，
即：当是等腰三角形时，或或．