广东外语外贸大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广东期中）已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·广东期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．14
3．（2024高二下·广东期中）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·广东期中）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广东期中）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件 为“取到的2个数之积为偶数”，事件 为“取到的2个数之和为偶数”，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广东期中）某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．36种
7．（2024高二下·广东期中）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”，设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广东期中）若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广东期中）下列说法中不正确的有（ ）
A．
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．若，则是函数的极值点
D．函数的减区间为
10．（2024高二下·广东期中）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·广东期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，则
C．已知随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知随机变量X服从两点分布，且，令，则
12．（2024高二下·广东期中）在的展开式中，的系数为15，则 .
13．（2024高二下·广东期中）丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm以上（含23 cm）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有 根．（结果保留整数，若，则，，）
14．（2024高二下·广东期中）对于函数 ，若其定义域内恰好存在两个不同的非零实数 ，使得 成立，则称函数 为M函数．若函数 为M函数，则实数a的取值范围是 ．
15．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值.
16．（2024高二下·广东期中）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
17．（2024高二下·广东期中）（1）求的展开式中的常数项；
（2）若，求：
①
②.
18．（2024高二下·广东期中）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午） （篮球，篮球） （篮球，乒乓球） （乒乓球，篮球） （乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
（2）记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；
（3）假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
19．（2024高二下·广东期中）设函数，其中为常数，且.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，是函数的两个极值点，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
【解析】【解答】解：作2，3处的切线，以及2到3之间的割线，如图所示：
由图可知：，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲单独安装吉祥物“宸宸”，则剩下的3人安装另外两个吉祥物，有种方法；
甲与另外一个志愿者共同安装吉祥物“宸宸”， 则剩下的2人安装另外两个吉祥物，有种方法，根据分类加法计数原理可得：共有10种方法.
故答案为：C.
【分析】先分两类，甲单独安装和甲与另外一个志愿者共同安装，再分别求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
则函数在单调递减，在单调递增，
故当时，函数取得极小值，也是最小值，最小值为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数的单调性和极小值求解即可.
4．【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件=买到的灯泡是甲厂产品；事件=买到的灯泡是乙厂产品，
由题意可得：，，
记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用全概率公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】事件 为“取到的2个数之积为偶数”， 事件 为“取到的2个数之和为偶数”，
则
故答案为：B
【分析】首先由题意求出事件A和事件B的值，再由概率乘法公式以及条件概率公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有种方法，
再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，
所以根据乘法原理，共有种不同的安排方法.
故答案为：A
【分析】 先安排4名男主任医师，有种，再将3名女主任医师安排到3家不同的区级医院，有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解出答案.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数与在上是“密切函数”，
所以对任意的，都有，即有，
则，令，求导可得，
当时，；当时，；
则当时，取极小值，也是最小值，
故在上的最小值为1，最大值为，
所以且，即.
故答案为：A.
【分析】先结合“密切函数”新定义转化得，即，令，通过求出值域，令据此求解即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得，
构造函数，易知函数在上单调递增，
则，即，即，
令，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，则，
故答案为：C
【分析】不等式转化为，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、令，则是的切线，
切线与有两个公共点，故B正确；
C、令，则，则为R上的单调递增函数，无极值点，
故不能由得到0是函数的极值点，故C错误；
D、 函数的定义域为，且，
令，解得，则函数的单调递减区间为，故D错误．
故答案为：ACD.
【分析】根据常函数的导数公式即可判断A；举例即可判断B；利用极值点的定义，举例即可判断C；求导求出单调区间即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】利用组合数和排列数公式逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由 X服从正态分布 ：，可得，
由，可得，则，故A正确；
B、由，得，故B错误；
C、由，且，，故C正确；
D、由，得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正态分布和期望的性质即可判断A；由二项分布即可判断B；由正态分布的对称性即可判断C；由两点分布即可判断D.
12．【答案】或1
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为（），
则由，可得展开式中的系数为，
即，即，解得或1.
故答案为：或1.
【分析】利用二项式定理求解即可.
13．【答案】2017
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知平均值，标准差，，
设此次摘下的白玉香丝瓜约有根，则长度在的有0.6827m根，长度在的有根，长度在20cm以上的有根，
所以，得．
故答案为：2017.
【分析】由题意知平均值，标准差，设此次摘下的白玉香丝瓜约有根，解方程求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】若函数 为M函数，则 有两个不等实数根
即 在R上有个两个不等实数根
令 ，则
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则函数 的图象如下图所示
由图像可知， 在R上有个两个不等实数根
即 与 的图像有两个不同交点
由极小值 可知，当有两个交点时， 的取值范围为 .
故答案为：
【分析】由已知条件即可得出 在R上有个两个不等实数根，令，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可作出函数的图象结合数形结合法，结合极值的定义即可得出a的取值范围。
15．【答案】解：（1）函数定义域为R，且
，
因为曲线在点处的切线斜率，且，则切点为，
所以所求切线方程为，即；
（2），，
令，解得或，
当和时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由的单调性知函数的极小值为，极大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，求以及切点坐标，利用点斜式求切线方程即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，并求极值即可.
16．【答案】（1）解：名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
则选派的人中恰有人会法语的概率；
（2）解：由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意，先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望即可.
（1）名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
（2）由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为
17．【答案】解：（1），其展开式的通项为，
令，即，代入得到，故常数项为；
（2）①令，得，
再令，得，
两式相加得到，解得；
②，
两边求导得到，
再令得到.
则.
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）写出展开式的通项，令次数为0求解即可；
（2）①利用赋值法求解即可；②求导后再赋值求解即可.
18．【答案】（1）解：设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，则，；
（2）解：由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
1 2
0.18 0.82
所以；
（3）证明：由题意知，即，即，
即，
即，即，
即.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）根据古典概型以及条件概率公式求解即可；
（2）确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，求期望；
（3）根据题意可得，利用条件概率的计算公式，以及对立事件的概率公式进行推理，证明即可.
（1）设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，
则，.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
1 2
所以.
（3）证明：由题意知，即，
即，
即，
即，即，
即.
19．【答案】解：（1）函数的定义域为，，
令，开口向上，判别式，
①当时，，则，即，在上单调递增；
②当时，，由解得，
所以，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
（2）由（1）知函数的两个极值点为，则，所以，
所以=
===，
记，
，
因为，所以，，所以，在上单调递增，所以，即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，令，讨论其判别式，研究和的解，判断函数的单调性即可；
（2）依题意先得到韦达定理，再代入计算并化简为，令，利用导数研究其单调性证明即可.
1 / 1广东外语外贸大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广东期中）已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
【解析】【解答】解：作2，3处的切线，以及2到3之间的割线，如图所示：
由图可知：，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义判断即可.
2．（2024高二下·广东期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲单独安装吉祥物“宸宸”，则剩下的3人安装另外两个吉祥物，有种方法；
甲与另外一个志愿者共同安装吉祥物“宸宸”， 则剩下的2人安装另外两个吉祥物，有种方法，根据分类加法计数原理可得：共有10种方法.
故答案为：C.
【分析】先分两类，甲单独安装和甲与另外一个志愿者共同安装，再分别求解即可.
3．（2024高二下·广东期中）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
则函数在单调递减，在单调递增，
故当时，函数取得极小值，也是最小值，最小值为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数的单调性和极小值求解即可.
4．（2024高二下·广东期中）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件=买到的灯泡是甲厂产品；事件=买到的灯泡是乙厂产品，
由题意可得：，，
记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用全概率公式求解即可.
5．（2024高二下·广东期中）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件 为“取到的2个数之积为偶数”，事件 为“取到的2个数之和为偶数”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】事件 为“取到的2个数之积为偶数”， 事件 为“取到的2个数之和为偶数”，
则
故答案为：B
【分析】首先由题意求出事件A和事件B的值，再由概率乘法公式以及条件概率公式代入数值计算出结果即可。
6．（2024高二下·广东期中）某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．36种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有种方法，
再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，
所以根据乘法原理，共有种不同的安排方法.
故答案为：A
【分析】 先安排4名男主任医师，有种，再将3名女主任医师安排到3家不同的区级医院，有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解出答案.
7．（2024高二下·广东期中）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”，设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数与在上是“密切函数”，
所以对任意的，都有，即有，
则，令，求导可得，
当时，；当时，；
则当时，取极小值，也是最小值，
故在上的最小值为1，最大值为，
所以且，即.
故答案为：A.
【分析】先结合“密切函数”新定义转化得，即，令，通过求出值域，令据此求解即可.
8．（2024高二下·广东期中）若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由可得，
构造函数，易知函数在上单调递增，
则，即，即，
令，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，则，
故答案为：C
【分析】不等式转化为，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求解即可.
9．（2024高二下·广东期中）下列说法中不正确的有（ ）
A．
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．若，则是函数的极值点
D．函数的减区间为
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、令，则是的切线，
切线与有两个公共点，故B正确；
C、令，则，则为R上的单调递增函数，无极值点，
故不能由得到0是函数的极值点，故C错误；
D、 函数的定义域为，且，
令，解得，则函数的单调递减区间为，故D错误．
故答案为：ACD.
【分析】根据常函数的导数公式即可判断A；举例即可判断B；利用极值点的定义，举例即可判断C；求导求出单调区间即可判断D.
10．（2024高二下·广东期中）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】利用组合数和排列数公式逐项判断即可.
11．（2024高二下·广东期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，则
C．已知随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知随机变量X服从两点分布，且，令，则
【答案】A,C,D
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由 X服从正态分布 ：，可得，
由，可得，则，故A正确；
B、由，得，故B错误；
C、由，且，，故C正确；
D、由，得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正态分布和期望的性质即可判断A；由二项分布即可判断B；由正态分布的对称性即可判断C；由两点分布即可判断D.
12．（2024高二下·广东期中）在的展开式中，的系数为15，则 .
【答案】或1
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为（），
则由，可得展开式中的系数为，
即，即，解得或1.
故答案为：或1.
【分析】利用二项式定理求解即可.
13．（2024高二下·广东期中）丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm以上（含23 cm）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有 根．（结果保留整数，若，则，，）
【答案】2017
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知平均值，标准差，，
设此次摘下的白玉香丝瓜约有根，则长度在的有0.6827m根，长度在的有根，长度在20cm以上的有根，
所以，得．
故答案为：2017.
【分析】由题意知平均值，标准差，设此次摘下的白玉香丝瓜约有根，解方程求解即可.
14．（2024高二下·广东期中）对于函数 ，若其定义域内恰好存在两个不同的非零实数 ，使得 成立，则称函数 为M函数．若函数 为M函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】若函数 为M函数，则 有两个不等实数根
即 在R上有个两个不等实数根
令 ，则
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则函数 的图象如下图所示
由图像可知， 在R上有个两个不等实数根
即 与 的图像有两个不同交点
由极小值 可知，当有两个交点时， 的取值范围为 .
故答案为：
【分析】由已知条件即可得出 在R上有个两个不等实数根，令，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可作出函数的图象结合数形结合法，结合极值的定义即可得出a的取值范围。
15．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求函数的极值.
【答案】解：（1）函数定义域为R，且
，
因为曲线在点处的切线斜率，且，则切点为，
所以所求切线方程为，即；
（2），，
令，解得或，
当和时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由的单调性知函数的极小值为，极大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，求以及切点坐标，利用点斜式求切线方程即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，并求极值即可.
16．（2024高二下·广东期中）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
则选派的人中恰有人会法语的概率；
（2）解：由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意，先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望即可.
（1）名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
（2）由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望为
17．（2024高二下·广东期中）（1）求的展开式中的常数项；
（2）若，求：
①
②.
【答案】解：（1），其展开式的通项为，
令，即，代入得到，故常数项为；
（2）①令，得，
再令，得，
两式相加得到，解得；
②，
两边求导得到，
再令得到.
则.
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）写出展开式的通项，令次数为0求解即可；
（2）①利用赋值法求解即可；②求导后再赋值求解即可.
18．（2024高二下·广东期中）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午） （篮球，篮球） （篮球，乒乓球） （乒乓球，篮球） （乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
（2）记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；
（3）假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
【答案】（1）解：设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，则，；
（2）解：由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
1 2
0.18 0.82
所以；
（3）证明：由题意知，即，即，
即，
即，即，
即.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）根据古典概型以及条件概率公式求解即可；
（2）确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，求期望；
（3）根据题意可得，利用条件概率的计算公式，以及对立事件的概率公式进行推理，证明即可.
（1）设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，
则，.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
1 2
所以.
（3）证明：由题意知，即，
即，
即，
即，即，
即.
19．（2024高二下·广东期中）设函数，其中为常数，且.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，是函数的两个极值点，证明：.
【答案】解：（1）函数的定义域为，，
令，开口向上，判别式，
①当时，，则，即，在上单调递增；
②当时，，由解得，
所以，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
（2）由（1）知函数的两个极值点为，则，所以，
所以=
===，
记，
，
因为，所以，，所以，在上单调递增，所以，即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，令，讨论其判别式，研究和的解，判断函数的单调性即可；
（2）依题意先得到韦达定理，再代入计算并化简为，令，利用导数研究其单调性证明即可.
1 / 1
