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第二章 方程与不等式
2.4 一元一次不等式(组)
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的基本性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，考查不等式（组）的解法、及相关应用为主，偶尔也有直接考查不等式的基本性质和含参问题，乘充分体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。
考点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 ☆☆☆
考点3 含参数的不等式（组）问题 ☆☆
考点4 不等式（组）的实际应用 ☆☆
预计2025年浙江中考还将继续考查这些知识点，重要题型有不等式（组）的解法、不等式相关的应用题、不等式含参及不等式的基本性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
1
3
■考点一 不等式的基本性质 3
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 5
■考点三 含参数的不等式（组）问题 9
■考点四 不等式（组）的实际应用 11
14
22
■考点一 不等式的基本性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母 ；②去括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 （注意不等号方向是否改变）．
3.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组 ．
4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 ，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组 ．
5.一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集 ，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分 即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解 ．
6.几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
■考点三 含参数的不等式（组）问题
1.含参问题的解题步骤：①将参数当成“常数”解出不等式组；
②.1)“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2)“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
■考点四 不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数 ；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤ ”连接，不少于、不低于、至少用“≥ ”连接．
■考点一 不等式的基本性质
◇典例1：（2024·浙江嘉兴·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，A．∴a不一定小于，故本选项不符合题意；
B．∵，，∴，故此选项符合题意；
C．∴，故本选项不符合题意；D．∴，故本选项不符合题意．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）已知a，b，m是实数，且，那么有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式错误，不符合题意；B、由可得，原式正确，符合题意；
C、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意；
D、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意；故选：B．
2．（2024·北京西城·一模）已知， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴， ∴，故选：A．
◇典例2：（2024·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【详解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
◆变式训练
1．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
【答案】A
【详解】解：由题意，得，解得．故选：A．
2．（2024·河南周口·二模）某天气预报的中可根据当天气温提供穿衣指导，穿衣指导共分为8级，其中2级指恤衫、薄衬衫、连衣裙等，3级指衬衫、休闲服、薄牛仔衫等，4级指风衣、休闲服、薄毛衣等，5级指风衣、大衣、毛套装等，若某日该推荐休闲服，则该日气温的范围为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：某日该推荐休闲服在3级与4级的范围内，
则该日气温的范围为，故答案为：．
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
◇典例3：（2024·浙江·三模）解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，用数轴表示为：
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）．
【答案】
【详解】解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
2．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)四(2)
【详解】（1）解：小南的解答过程从第四步开始出现错误，故答案为：四
（2）解：由①，得， ∴， ∴．
由②，得， ∴，∴，∴，
所以原不等式组的解为．
3．（2024·浙江·一模）解不等式组，并求出所有整数解的和．
【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴所有整数解的和为．
◇典例4：（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由①得，，由②得，，
故此不等式组的解集为：．在数轴上表示为：故选D．
◆变式训练
1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示．则这个不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意得：不等式组的解集为．故选：D．
2．（2024·浙江丽水·一模）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：由数轴可得，该不等式组的解集为，故选：．
◇典例5：（2024·浙江模拟预测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或② 解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
【答案】
【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负“，
有① 或② ，解不等式组①，得 ，
解不等式组②，得不等式组②无解，故原不等式组的解集为：，
◆变式训练
1．（2023·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【答案】
【详解】解：根据题意，∵，则；
∵，分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②解不等式组①，得：，解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
2．（2023·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
■考点三 含参数的不等式（组）问题
◇典例5：（2024·云南·模拟预测）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2024
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出、的值，代入计算可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：由，得：，由，得：，
解集为，，，解得，，
则．故选：C．
◆变式训练
1．（2023·浙江·三模）若关于的不等式的解为，则的值可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵关于的不等式的解为，∴∴，故选：D．
2．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题得：，解得，
则要使题中条件成立，，解得．故选：．
3．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】A
【详解】解： 解不等式得：；解不等式得：；
则不等式组的解集为：；
由于不等式组的解集为，所以，
则，所以；故选：A．
◇典例6：（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解不等式得，解不等式得，
∵解集是，∴，解得，故选D．
◆变式训练
1．（2024·山东德州·二模）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得
不等式组有且只有4个整数解4个整数解为3，2，1，0．故选：A．
2.（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，，解得：，为整数，．
②整数解为：，，，、、、，，解得：，为整数，．
综上，整数的值为或故答案为：或．
3．（2024·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵不等式组有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范围为：n＜8．故选：C．
4．（2024·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
【答案】B
【详解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式组无解，∴；故选：B．
■考点四 不等式（组）的实际应用
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题．
【答案】2
【详解】解：设小滨答错了x道题，则答对道题，
根据题意得：，解得：，
又∵x为自然数，∴x的最大值为2，∴小滨至多答错了2道题．故答案为：2．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为 ．
【答案】
【详解】根据题意，得．故答案为：．
2．（2024·广东汕头·一模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 道题．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明答对道，根据“一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，有2题没答，竞赛成绩要不低于83分”可得相应的一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
【详解】解：设小明答对道，根据题意得：
解得：∴小明至少要答对道题．故答案为：．
◇典例8：（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价．
【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元
【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元．
由题意，得，解得．由于饼干的标价是整数，所以（元）．
当时，（元）．
答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围．
【答案】大于小于等于
【详解】解：设一个玻璃球的体积为，
则：，解得：，
答：一个玻璃球体积的取值范围为大于小于等于．
2．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数．
【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个
【详解】解：设有名游客，则鹰嘴桃有个，
依题意得：，解得：．
∵游客人数应取整数，∴．∴（个）．
答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个．
1．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．在数轴上表示如下： 故选：A．
2．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由数轴得：，，故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；故选：D．
3．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，可得，A、此不等式组无解，符合题意；
B、此不等式组解集为，不符合题意；C、此不等式组解集为，不符合题意；
D、此不等式组解集为，不符合题意；故选：A
4．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：解，得：，
∵不等式组的解集为：，∴，∴；故选B．
5．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，，，．解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，解得，故答案为：；．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个．
【答案】
【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，∴整数解有，，，共4个，故答案为：．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可知，解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：解不等式②，得： 故答案为：．
8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由，得：，由，得：，
不等式组恰有3个整数解，这3个整数解是0，1，2，
，解得，故答案为：．
9．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【详解】解：， 解①得：，解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，，解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，且，是偶数，
解得且，是偶数，且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：16．
10．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，∴，∴；解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，∴所有满足条件的整数a的值之和是．故答案为：．
11．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解： ．根据题意得：，解得：，
车速的取值范围是．故答案为：．
12．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
【答案】，．
【详解】解：去分母得，，去括号得，，
移项得，，合并同类项得，，系数化为得，，
∴不等式的正整数解为，．
13．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得．．
检验：当时，，所以是原方程的解；
（2）解：解不等式①，得．解不等式②，得．
所以原不等式组的解集是．
14．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和．
【答案】，
【详解】解：，解不等式①得：；解不等式②得：，
∴原不等式组的解集，∴不等式组所有整数解的和为．
15．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个
【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意得：，解得：，
为整数，取最大值为12，答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；(2)最多购置100个A玩具．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；解得：，则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，解得：，∴最多购置100个A玩具．
17．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴， ∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
18．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，解得，，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
19．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】(1)问题一：求出两种书架的单价；(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元(2)；购买A种书架8个，B种书架12个(3)120
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即，
由题意得，a应满足：，解得．
，∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得，解得．
20．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；(2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人．
【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，解得：，
∵，∴，∵是整数，∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C．
2．（2024·浙江·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴；∴D符合题意．故选：D．
3．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 解不等式①得， 解不等式②得，
∴不等式组的解集为：， 数轴表示如下：．故选：B．
4．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：解不等式得，，由数轴可得不等式组的解集为，
∴另一个不等式的解集为，，
A、，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、，，故本选项符合题意；
D、，，故本选项不符合题意，故选：C．
5．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，
故不等式组的解集是，其整数解有1，2，3，4共4个，故答案为：B．
6．（2024·浙江杭州·二模）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第二象限内，
，解得：，故选：C．
7．（2024·河北唐山·二模）某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音，且小华、小欧的体重分别为45 公斤、70公斤.小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起.设两人没进入电梯前已乘载的重量为x 公斤，则x 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，两人没进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，由图可知：小华的重量为45公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，
所以此时电梯乘载的重量，解得，
因为小欧的重量分别为70公斤．且进入电梯后，警示音响起，
所以此时电梯乘载的重量，解得，因此．故选：A．
8．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：设D对应的数为x，∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为，
∴，，，，
根据题意，，，则，解得，
∴点D在数轴上对应的数可能为2，故选：A
9．（2024·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 ．
【答案】
【详解】解：设一楼有间房，则二楼有间房，
根据题意有：，解得：，且，即，所以，
又因为：为正整数，因此．故答案为：．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步 …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步
【答案】见解析
【详解】解：第三步，由①得，，
由②得，，∴不等式组的解是．
10．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：；
则不等式组的解集为：；
（2）方程可化为：，
即或，
故．
11．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程．
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
∴
【答案】不对，正确过程见解析
【详解】解：小州同学的解题过程是错误的．
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1得：．
12．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中；
（2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值．
【答案】（）；；（）或．
【详解】（）解：原式
，
当，
∴原式；
（）解：，
解不等式得：，解不等式得：，∴，
∵所有整数解的和为，
∴不等式组的整数解为，，，或，，，，，，，
∴或，∴或，
∵为整数，∴或．
13．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值．
【答案】或．
【详解】，解不等式①得：
解不等式②得： ∴
∵所有整数解的和为14，∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，，
∴或，∴或，∵a为整数，∴或．
14.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组：
(1)当时，求该不等式组的解；(2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值．
【答案】(1)(2)的最大值为
【详解】（1）解：当时，原不等式组为，
解得，，解得，，
∴原不等式组的解为：；
（2）解：，解得，，解得，，
∵该不等式组有且只有三个整数解，即，，，∴，∴的最大值为．
15．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为．
(1)求六条板凳叠放成一摞的总高度．
(2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？
【答案】(1)六条板凳总高度为(2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞
【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得；
六条板凳总高度：.
答：六条板凳总高度为.
（2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，
；解得．
答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞．
16．（2024·湖南·模拟预测）为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分．
(1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？
(2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能获评“答题能手”？
【答案】(1)17 (2)无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
【详解】（1）解：设该团员答对了x道，则答错了道，
根据题意，得，解得．
答：该团员答对了17道题．
（2）解：设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答道，
当参赛团员必须每题都得解答时，则即，
根据题意，得，整理，得，
又x是非负整数，故x的最小值为18，
答：参赛团员最少需要答对18道题才能获评“答题能手”．
当参赛团员不是每题都得解答时，则，
根据题意，得，整理，得，
又y是非负整数，当时，，
又x是非负整数，故x的最小值为17，
即至少答对17道，答错0道，不答3道，才能获评“答题能手”．
当时，，又x是非负整数，故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错1道，不答1道，才能获评“答题能手”．
当时，，又x是非负整数，故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错2道，不答0道，才能获评“答题能手”．
当时，，又x是非负整数，故x的最小值为19，不符合题意，舍去．
故无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
17．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响．
(1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？
(2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨
(2)从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元
【详解】（1）解：设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨，
根据题意，得 ，解得，
答：从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨；
（2）解：设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨，
根据题意，得，解得，
设利润为w万元，则，
∵，∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元．
18．（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元）
第一批 10 5 35000
第二批 15 10 57500
(1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
(2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
【答案】(1)，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元．
(2)生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润．
【详解】（1）设，两种设备平均每台的成本分别为，元，
由题意得，解得，
答：，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元．
（2）设公司计划正式生产设备台，则生产设备台，
由题意得，解得，
是整数，，71，72，73，74，75，一共有6种生产方案．
由（1）知，，两种设备平均每件的利润分别为1000，800元．
设备平均每件的利润1000元大于设备平均每件的利润800元，
当，，
即生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润．
19．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元．(1)求A，B两款饮水机的单价各多少元．(2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由．(3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？
【答案】(1)A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元
(2)购买A款饮水机最少台，最多台(3)学校选择甲商店购买饮水机花费较少
【详解】（1）解：设A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元，由题意得
，解得：，
答：A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元；
（2）解：设购买A款饮水机台，由题意得
，解得：，
购买A款饮水机最少台，最多台；
（3）解：设购买A款饮水机台，由题意得
甲商店的费用：，
乙商店的费用：，
，，，
故学校选择甲商店购买饮水机花费较少．
20．（2024·河南·模拟预测）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球购买数量不少于50个，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购个篮球．
(1)求该商场的采购费用与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求的值．
【答案】(1)；
(2)商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；
(3)将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．
【详解】（1）解：根据题意得，；
，解得：，∴；
答：采购费用y与x的函数关系式为；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
∵，∴W随x的最大的增大，∴时，元，
答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元；
（3）解：由题意得：，
①当时，即时，W随x的增大而增大，
又∵，∴当时，，
即：，解得：舍去，
②当时，即时，W随x的增大而减小，
又∵，∴当时，，
即：，解得：，
综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元．
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第二章 方程与不等式
2.4 一元一次不等式(组)
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的基本性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，考查不等式（组）的解法、及相关应用为主，偶尔也有直接考查不等式的基本性质和含参问题，乘充分体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。
考点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 ☆☆☆
考点3 含参数的不等式（组）问题 ☆☆
考点4 不等式（组）的实际应用 ☆☆
预计2025年浙江中考还将继续考查这些知识点，重要题型有不等式（组）的解法、不等式相关的应用题、不等式含参及不等式的基本性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
1
3
■考点一 不等式的基本性质 3
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 5
■考点三 含参数的不等式（组）问题 9
■考点四 不等式（组）的实际应用 11
14
22
■考点一 不等式的基本性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做 ．能使不等式成立的未知数的值，叫做 ．
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以），不等号的方向不变 若，，则或
性质3 ，不等号的方向改变 若，，则或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 次，这样的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤：① ；② ；③移项；④合并同类项；⑤ （注意不等号方向是否改变）．
3.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成 ．
4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的 ，求不等式组解集的过程，叫做 ．
5.一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的 ，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的 即可，如果没有公共部分，则该不等式组 ．
6.几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀
. 同大取大
. 同小取小
. 大小、小大中间找
. 大大、小小取不了
■考点三 含参数的不等式（组）问题
1.含参问题的解题步骤：①将参数当成“常数”解出不等式组；
②.1)“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2)“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
■考点四 不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设 ；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“ ”连接，不少于、不低于、至少用“ ”连接．
■考点一 不等式的基本性质
◇典例1：（2024·浙江嘉兴·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）已知a，b，m是实数，且，那么有（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京西城·一模）已知， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
◆变式训练
1．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
2．（2024·河南周口·二模）某天气预报的中可根据当天气温提供穿衣指导，穿衣指导共分为8级，其中2级指恤衫、薄衬衫、连衣裙等，3级指衬衫、休闲服、薄牛仔衫等，4级指风衣、休闲服、薄毛衣等，5级指风衣、大衣、毛套装等，若某日该推荐休闲服，则该日气温的范围为 ．
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
◇典例3：（2024·浙江·三模）解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）．
2．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
3．（2024·浙江·一模）解不等式组，并求出所有整数解的和．
◇典例4：（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示．则这个不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江丽水·一模）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
◇典例5：（2024·浙江模拟预测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或② 解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
◆变式训练
1．（2023·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
2．（2023·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
■考点三 含参数的不等式（组）问题
◇典例5：（2024·云南·模拟预测）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2024
◆变式训练
1．（2023·浙江·三模）若关于的不等式的解为，则的值可以取（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．1
◇典例6：（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·山东德州·二模）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
3．（2024·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
■考点四 不等式（组）的实际应用
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为 ．
2．（2024·广东汕头·一模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 道题．
◇典例8：（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价．
◆变式训练1．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围．
2．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数．
1．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个．
7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
9．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
10．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
11．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
12．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
13．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组：
14．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和．
15．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
17．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
18．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
19．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】(1)问题一：求出两种书架的单价；(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
20．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2024·浙江杭州·二模）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·河北唐山·二模）某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音，且小华、小欧的体重分别为45 公斤、70公斤.小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起.设两人没进入电梯前已乘载的重量为x 公斤，则x 满足（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 ．
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步 …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步
10．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
11．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程．
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
∴
12．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中；
（2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值．
13．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值．
14.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组：
(1)当时，求该不等式组的解；(2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值．
15．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为．(1)求六条板凳叠放成一摞的总高度．(2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？
16．（2024·湖南·模拟预测）为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分．
(1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？
(2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能获评“答题能手”？
17．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响．
(1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？
(2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？
18．（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元）
第一批 10 5 35000
第二批 15 10 57500
(1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
(2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
19．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元．(1)求A，B两款饮水机的单价各多少元．(2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由．(3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？
20．（2024·河南·模拟预测）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球购买数量不少于50个，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购个篮球．
(1)求该商场的采购费用与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求的值．
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