初中数学人教版八年级下册 19.2.2 第四课时《一次函数的实际应用》教学设计

第十九章一次函数
19.2.2第四课时《一次函数的实际应用》
教学设计
一、教学目标
1.显著提升学生的识图能力，使其能够准确从函数图象中获取关键信息。
2.熟练掌握利用函数图象解决各类简单实际问题的方法，包括建立函数模型、分析函数性质并得出实际问题的解决方案。
3.深度培养学生的数形结合意识，让学生能够自如地将实际问题转化为函数图象，再从图象中获取信息解决实际问题，提高学生的数学思维能力。
4.通过运用函数图象解决实际问题的过程，大力发展学生的数学应用能力，使其学会运用数学知识和方法解决实际生活中的问题，增强学生的实践操作能力。
核心素养目标
1.让学生深切体会数学与人类生活的紧密联系以及数学对人类历史发展的重要作用，从而极大地激发学生学习数学的兴趣，使学生积极主动地参与到数学活动中。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，在解决实际问题的过程中，让学生获得成功的体验，增强学生的自信心和成就感。
二、教学重点、难点
重点
精准根据实际问题及相关条件，找出能够准确反映实际问题的函数关系，建立合适的函数模型。
熟练运用一次函数的知识和方法，解决各种简单的实际问题。
难点
能够敏锐地将复杂的实际问题巧妙转化为一次函数问题，准确分析问题中的数量关系，建立函数模型。
灵活运用一次函数的图象和性质，深入分析和解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
三、教学过程
（一）“函数之门：旧知启新航”
提出问题
下图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
设计意图：通过问题导入，唤起学生对旧知识的记忆，为新知识的学习做好铺垫，同时激发学生的学习兴趣和好奇心。
（二）“种子谜题：建模探真知”
例5“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子.超过2kg部分的种子价格打8折.
(1)填写下表
(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子价格按5元/kg计价，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价.因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段计论.
解：(2)设购买量为x千克，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y=5x
当x＞2时，y=4(x-2)+10=4x+2
思考
你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
(1)一次购买1.5kg种子，需付款____元；
(2)一次购买3kg种子，需付款____元.
称此类函数为分段函数
设计意图：通过具体的实际问题，引导学生分析问题中的数量关系，建立分段函数模型，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。同时，让学生思考如何利用函数解析式和图象解决问题，加深学生对函数的理解和应用。
（三）“实战演练：应用展身手”
练一练
1.某景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分每人15元.
(1)写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过20人)之间的函数关系式：_________；
(2)写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20人)之间的函数关系式：________________.
2.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.请问答：
(1)当每月用电量不超过50度时，用电价格是____元/度；
(2)当每月用电量超过50度时，超出部分的用电价格是____元/度.
设计意图：通过课堂练习，让学生巩固所学的知识和技能，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力，同时检验学生对本节课内容的掌握情况。
（四）“图象解码：难题巧突破”
解决问题
下图所表示的函数是分段函数吗？你能写出它的解析式吗？
练习
2.一个试验室在0:00－2:00保持20℃的恒温，在2:00－4:00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位:h)的函数解析式，并画出函数图象.
解：
设计意图：通过解决新的问题，进一步培养学生的识图能力和分析问题、解决问题的能力，让学生在实践中不断提高自己的数学素养。
（五）“课堂回眸：收获共分享”
本节课你有哪些收获？
引导学生从一次函数的应用、分段函数的概念、数形结合的思想方法等方面进行总结。
还有没解决的问题吗？
鼓励学生提出疑问，共同探讨解决。
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课所学的知识，形成知识体系，同时培养学生的反思总结能力和问题意识。
四、总结
同学们，今天我们深入学习了一次函数在实际问题中的应用。通过 “黄金 1 号” 玉米种子购买、景区门票收费、用电收费以及试验室温度变化等实际例子，我们学会了如何分析问题中的数量关系，建立一次函数或分段函数模型来解决问题。我们知道了在实际生活中，很多问题的函数关系并非一成不变，可能会根据不同的条件进行分段，这就需要我们准确地找出分段点，分别确定各段的函数表达式。同时，我们也体会到了数形结合思想的重要性，函数图象能够直观地帮助我们理解函数的性质和解决问题。希望大家在今后的学习和生活中，能够灵活运用一次函数的知识和方法，去解决更多的实际问题，不断提高自己运用数学知识解决实际问题的能力。
五、教学反思
（一）成功之处
问题导入有效：通过展示函数图象并提出问题，成功唤起学生对旧知识的记忆，激发了学生的学习兴趣和好奇心，为新知识的学习做好了铺垫。
例题讲解清晰：在讲解例 5 时，详细分析了问题中的数量关系，引导学生逐步建立分段函数模型，让学生清晰地理解了分段函数的概念和应用。同时，通过思考问题，让学生学会了如何利用函数解析式和图象解决实际问题，培养了学生的数学思维能力。
课堂练习针对性强：课堂练习的设计紧密围绕本节课的教学目标和重点难点，具有较强的针对性和层次性，能够帮助学生巩固所学的知识和技能，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
（二）不足之处
学生参与度有待提高：在课堂教学中，虽然有提问和小组讨论环节，但仍有部分学生参与度不高，可能是因为问题的难度设置不太合适或者教学方法不够吸引他们。
对学生的引导还需加强：在解决问题的过程中，部分学生对问题的分析和理解存在困难，教师在引导学生思考和解决问题方面还需进一步加强，帮助学生提高分析问题和解决问题的能力。
时间把控不够精准：在课堂练习环节，由于部分学生做题速度较慢，导致后面解决问题和课堂小结的时间有些紧张，没有充分展开讨论和总结。
（三）改进措施
关注全体学生：设计更具层次性的问题，满足不同层次学生的学习需求，鼓励更多学生参与到课堂教学中来。同时，加强对学习困难学生的指导和帮助，提高他们的学习积极性和自信心。
加强引导和启发：在教学过程中，注重引导学生思考和分析问题，启发学生的思维，培养学生的自主学习能力。当学生遇到困难时，教师要及时给予提示和引导，帮助学生克服困难。
合理安排时间：在今后的教学中，要更加合理地安排教学时间，给学生留出足够的时间进行思考、讨论和练习，同时要注意把握教学进度，确保教学任务能够按时完成。
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六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见