（核心素养）19.2.3 第三课时 一次函数与二元一次方程组 教学设计 人教版数学八年级下册
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| 名称 | （核心素养）19.2.3 第三课时 一次函数与二元一次方程组 教学设计 人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-27 11:38:01 | ||
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文档简介
第十九章一次函数
19.2.3第三课时
《一次函数与二元一次方程组》教学设计
一、教学目标
1.深入理解一次函数与二元一次方程（组）之间在 “数” 与 “形” 方面的紧密对应关系，能精准阐述二元一次方程如何与一次函数相互转化，以及二元一次方程组的解与对应一次函数图象交点坐标的内在联系。
2.熟练掌握运用画图象的方法求解二元一次方程组，包括准确绘制一次函数图象，通过观察图象交点确定方程组的解，并能清晰解释图象法求解的原理。
3.学会将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，再借助一次函数的知识进行分析和解决，提升学生数学建模和实际应用能力。
4.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的逐步探究，引导学生从特殊实例归纳出一般规律，培养学生的归纳推理能力，让学生学会从具体数学现象中提炼出抽象的数学概念和关系。
5.在利用函数图象解决二元一次方程组问题的过程中，强化学生数形结合的思维方式，让学生学会将代数问题转化为几何图形问题进行直观分析，提高学生运用图形语言和符号语言进行数学表达和推理的能力。
6.通过解决实际问题，引导学生经历 “问题情境 - 建立模型 - 求解验证” 的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生数学应用意识和实践能力。
核心素养目标
1.在探索一次函数与二元一次方程（组）关系的过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于质疑、敢于创新的探索精神，激发学生对数学学科的热爱和追求真理的热情。
2.通过从函数角度解决方程（组）问题以及实际问题，让学生深刻体会数学知识的实用性和强大魅力，增强学生学习数学的自信心和成就感，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的意识。
3.在小组合作探究和交流讨论中，培养学生的团队协作精神和沟通交流能力，让学生学会在合作中共同进步，感受数学学习的乐趣和团队的力量。
二、教学重难点
教学重点
全面深入探索并理解一次函数与二元一次方程（组）在 “数” 与 “形” 上的对应关系，明确二元一次方程的解与对应一次函数图象上点的坐标的一致性，以及二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的等价性。
熟练掌握运用函数图象法求解二元一次方程组的方法和步骤，能够准确根据方程组画出相应的一次函数图象，并通过图象交点得出方程组的解。
教学难点
深刻理解一次函数与二元一次方程（组）关系的本质，尤其是从函数图象的动态变化和代数方程的解的唯一性等角度，深入理解两者之间的内在联系，这需要学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力。
综合运用方程（组）、函数知识以及实际问题背景，构建合理的数学模型来解决实际问题。在实际问题中，准确分析数量关系，将其转化为数学语言并选择合适的函数和方程知识进行求解，对学生的综合应用能力要求较高。
三、教学过程
（一）“数学谜题初现”—— 想一想
想一想
x+y=5 它表示什么呢？
它表示一个二元一次方程.
y=-x+5 它表示什么呢？
它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数.
对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数
__________的形式.
设计意图：通过简单的问题引入，唤起学生已有的知识经验，引发学生对二元一次方程与一次函数之间联系的初步思考，激发学生的好奇心和探索欲望，为后续深入探究两者关系奠定基础。
（二）“数与形的探秘之旅”—— 探究一次函数与二元一次方程的关系
1.画出一次函数y=2x-3的图象；
2.找出方程的几组解；
3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？
4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=3的解吗？
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解
设计意图：让学生通过自主画图、计算、观察和思考，亲身经历从具体到抽象的归纳过程，深入理解一次函数与二元一次方程在 “数” 与 “形” 上的对应关系，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，渗透数形结合的数学思想。
（三）“方程组与函数图象的碰撞”——探究一次函数与二元一次方程组的关系
方程组
1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？
2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组的解有什么关系？
解方程组得
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
设计意图：通过学生的动手操作和教师的理论引导，让学生直观地感受一次函数与二元一次方程组之间的紧密联系，进一步深化数形结合的思想，培养学生从不同角度思考问题的能力，提高学生的数学思维水平。
（四）“生活中的数学难题破解”—— 实际问题应用
问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
设计意图：通过实际问题的解决，让学生体会数学知识在实际生活中的广泛应用，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，进一步巩固一次函数与二元一次方程组的知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（五）“知识巩固大挑战”—— 练习
练习
考虑下表两种移动电话计费方式
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方式二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组
解得
答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元.
设计意图：通过针对性练习，巩固学生对一次函数与二元一次方程组知识的掌握程度，检验学生对所学内容的理解和应用能力，及时发现学生存在的问题并进行反馈纠正，提高学生运用知识解决实际问题的熟练程度。
（六）“收获与成长分享会”—— 课堂小结
引导回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括一次函数与二元一次方程（组）的对应关系、用图象法解二元一次方程组的方法以及如何用函数知识解决实际问题等。
交流分享：鼓励学生分享自己在本节课学习过程中的收获、体会以及遇到的问题，组织学生进行交流讨论，共同解决问题。
设计意图：帮助学生梳理知识脉络，强化重点内容，培养学生的反思总结能力和语言表达能力。通过交流分享，让学生相互学习、共同进步，营造积极向上的学习氛围。
四、总结
同学们，今天我们一同在数学的知识海洋里经历了一场精彩的探索之旅！从最初对二元一次方程和一次函数关系的好奇，到逐步揭开它们之间神秘的面纱，发现 “数” 与 “形” 完美结合的奥秘，再到运用这些知识解决生活中的实际问题，每一步都充满了挑战，但你们都勇敢地迈出了坚实的步伐。
在这个过程中，大家不仅学会了新知识，更重要的是掌握了一种全新的思维方式 —— 数形结合。它就像一把神奇的钥匙，为我们打开了一扇又一扇解决数学问题的大门。当我们把抽象的方程和直观的函数图象联系起来时，原本复杂的问题变得清晰易懂。
希望大家带着这份对数学的热爱和探索精神继续前行。在未来的学习中，无论遇到什么难题，都要像今天一样，勇于尝试，从不同角度思考问题。相信你们在数学的世界里会不断发现更多的精彩，收获更多的成长和进步！数学会一直陪伴着你们，帮助你们更好地理解世界、探索世界！ 加油，同学们！
五、教学反思
（一）成功之处
教学方法有效：采用问题驱动、自主探究、合作交流和讲练结合的教学方法，激发了学生的学习兴趣和主动性。通过设置一系列有梯度的问题，引导学生逐步深入探究一次函数与二元一次方程（组）的关系，让学生在探究过程中主动获取知识，培养了学生的自主学习能力和合作精神。
知识传授清晰：在教学过程中，注重从 “数” 与 “形” 两个角度对知识进行讲解，结合具体实例和函数图象，使抽象的数学知识变得直观易懂。学生对一次函数与二元一次方程（组）的对应关系以及用图象法解方程组的方法掌握较好，达到了预期的教学目标。
体现学生主体地位：整个教学过程始终以学生为主体，教师作为引导者和组织者。给予学生充足的时间进行思考、探究、讨论和表达，让学生在课堂上充分发挥自己的主观能动性，符合新课标的教学理念，提高了学生的课堂参与度和学习效果。
（二）不足之处
个体差异关注不够：在教学过程中，虽然尽量兼顾全体学生，但由于学生的数学基础和学习能力存在差异，部分基础薄弱的学生在理解一次函数与二元一次方程（组）关系的本质以及运用图象法解方程组时仍存在困难。在小组讨论和练习环节，这些学生参与度不高，没有得到足够的关注和指导。
时间把控不够精准：在探究一次函数与二元一次方程组关系的环节，学生讨论和操作时间较长，导致后面实际问题应用和练习部分时间紧张。部分学生没有充分时间完成练习，对知识的巩固和拓展不够，影响了教学的完整性和学生对知识的掌握程度。
拓展深度不足：对于学有余力的学生，课堂内容的拓展深度不够。在讲解实际问题时，仅停留在基础的应用层面，没有进一步引导学生思考更复杂的实际情境，限制了学生思维的拓展和综合能力的提升。
（三）改进措施
加强分层教学与个别辅导：关注学生的个体差异，在课堂教学中实施分层教学，设计不同层次的问题和练习，满足不同学生的学习需求。课后加强对基础薄弱学生的个别辅导，帮助他们查漏补缺，理解和掌握重点知识，增强学习数学的信心。
优化教学时间管理：在备课过程中，更加精确地预估每个教学环节所需时间，合理安排教学内容和进度。在课堂教学中，根据学生的实际情况灵活调整教学节奏，确保各个教学环节紧凑有序进行，给学生留出足够的时间进行练习和巩固，提高课堂教学效率。
丰富教学内容与拓展思维：在完成基础教学任务的基础上，增加教学内容的深度和广度。设计一些拓展性的问题和探究活动，引导学有余力的学生进一步探索一次函数与二元一次方程（组）在更复杂数学情境和实际生活中的应用，培养学生的创新思维和综合应用能力，促进学生的全面发展。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见
19.2.3第三课时
《一次函数与二元一次方程组》教学设计
一、教学目标
1.深入理解一次函数与二元一次方程（组）之间在 “数” 与 “形” 方面的紧密对应关系，能精准阐述二元一次方程如何与一次函数相互转化，以及二元一次方程组的解与对应一次函数图象交点坐标的内在联系。
2.熟练掌握运用画图象的方法求解二元一次方程组，包括准确绘制一次函数图象，通过观察图象交点确定方程组的解，并能清晰解释图象法求解的原理。
3.学会将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，再借助一次函数的知识进行分析和解决，提升学生数学建模和实际应用能力。
4.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的逐步探究，引导学生从特殊实例归纳出一般规律，培养学生的归纳推理能力，让学生学会从具体数学现象中提炼出抽象的数学概念和关系。
5.在利用函数图象解决二元一次方程组问题的过程中，强化学生数形结合的思维方式，让学生学会将代数问题转化为几何图形问题进行直观分析，提高学生运用图形语言和符号语言进行数学表达和推理的能力。
6.通过解决实际问题，引导学生经历 “问题情境 - 建立模型 - 求解验证” 的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生数学应用意识和实践能力。
核心素养目标
1.在探索一次函数与二元一次方程（组）关系的过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于质疑、敢于创新的探索精神，激发学生对数学学科的热爱和追求真理的热情。
2.通过从函数角度解决方程（组）问题以及实际问题，让学生深刻体会数学知识的实用性和强大魅力，增强学生学习数学的自信心和成就感，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的意识。
3.在小组合作探究和交流讨论中，培养学生的团队协作精神和沟通交流能力，让学生学会在合作中共同进步，感受数学学习的乐趣和团队的力量。
二、教学重难点
教学重点
全面深入探索并理解一次函数与二元一次方程（组）在 “数” 与 “形” 上的对应关系，明确二元一次方程的解与对应一次函数图象上点的坐标的一致性，以及二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的等价性。
熟练掌握运用函数图象法求解二元一次方程组的方法和步骤，能够准确根据方程组画出相应的一次函数图象，并通过图象交点得出方程组的解。
教学难点
深刻理解一次函数与二元一次方程（组）关系的本质，尤其是从函数图象的动态变化和代数方程的解的唯一性等角度，深入理解两者之间的内在联系，这需要学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力。
综合运用方程（组）、函数知识以及实际问题背景，构建合理的数学模型来解决实际问题。在实际问题中，准确分析数量关系，将其转化为数学语言并选择合适的函数和方程知识进行求解，对学生的综合应用能力要求较高。
三、教学过程
（一）“数学谜题初现”—— 想一想
想一想
x+y=5 它表示什么呢？
它表示一个二元一次方程.
y=-x+5 它表示什么呢？
它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数.
对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数
__________的形式.
设计意图：通过简单的问题引入，唤起学生已有的知识经验，引发学生对二元一次方程与一次函数之间联系的初步思考，激发学生的好奇心和探索欲望，为后续深入探究两者关系奠定基础。
（二）“数与形的探秘之旅”—— 探究一次函数与二元一次方程的关系
1.画出一次函数y=2x-3的图象；
2.找出方程的几组解；
3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？
4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=3的解吗？
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解
设计意图：让学生通过自主画图、计算、观察和思考，亲身经历从具体到抽象的归纳过程，深入理解一次函数与二元一次方程在 “数” 与 “形” 上的对应关系，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，渗透数形结合的数学思想。
（三）“方程组与函数图象的碰撞”——探究一次函数与二元一次方程组的关系
方程组
1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？
2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组的解有什么关系？
解方程组得
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
设计意图：通过学生的动手操作和教师的理论引导，让学生直观地感受一次函数与二元一次方程组之间的紧密联系，进一步深化数形结合的思想，培养学生从不同角度思考问题的能力，提高学生的数学思维水平。
（四）“生活中的数学难题破解”—— 实际问题应用
问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
设计意图：通过实际问题的解决，让学生体会数学知识在实际生活中的广泛应用，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，进一步巩固一次函数与二元一次方程组的知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（五）“知识巩固大挑战”—— 练习
练习
考虑下表两种移动电话计费方式
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方式二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组
解得
答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元.
设计意图：通过针对性练习，巩固学生对一次函数与二元一次方程组知识的掌握程度，检验学生对所学内容的理解和应用能力，及时发现学生存在的问题并进行反馈纠正，提高学生运用知识解决实际问题的熟练程度。
（六）“收获与成长分享会”—— 课堂小结
引导回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括一次函数与二元一次方程（组）的对应关系、用图象法解二元一次方程组的方法以及如何用函数知识解决实际问题等。
交流分享：鼓励学生分享自己在本节课学习过程中的收获、体会以及遇到的问题，组织学生进行交流讨论，共同解决问题。
设计意图：帮助学生梳理知识脉络，强化重点内容，培养学生的反思总结能力和语言表达能力。通过交流分享，让学生相互学习、共同进步，营造积极向上的学习氛围。
四、总结
同学们，今天我们一同在数学的知识海洋里经历了一场精彩的探索之旅！从最初对二元一次方程和一次函数关系的好奇，到逐步揭开它们之间神秘的面纱，发现 “数” 与 “形” 完美结合的奥秘，再到运用这些知识解决生活中的实际问题，每一步都充满了挑战，但你们都勇敢地迈出了坚实的步伐。
在这个过程中，大家不仅学会了新知识，更重要的是掌握了一种全新的思维方式 —— 数形结合。它就像一把神奇的钥匙，为我们打开了一扇又一扇解决数学问题的大门。当我们把抽象的方程和直观的函数图象联系起来时，原本复杂的问题变得清晰易懂。
希望大家带着这份对数学的热爱和探索精神继续前行。在未来的学习中，无论遇到什么难题，都要像今天一样，勇于尝试，从不同角度思考问题。相信你们在数学的世界里会不断发现更多的精彩，收获更多的成长和进步！数学会一直陪伴着你们，帮助你们更好地理解世界、探索世界！ 加油，同学们！
五、教学反思
（一）成功之处
教学方法有效：采用问题驱动、自主探究、合作交流和讲练结合的教学方法，激发了学生的学习兴趣和主动性。通过设置一系列有梯度的问题，引导学生逐步深入探究一次函数与二元一次方程（组）的关系，让学生在探究过程中主动获取知识，培养了学生的自主学习能力和合作精神。
知识传授清晰：在教学过程中，注重从 “数” 与 “形” 两个角度对知识进行讲解，结合具体实例和函数图象，使抽象的数学知识变得直观易懂。学生对一次函数与二元一次方程（组）的对应关系以及用图象法解方程组的方法掌握较好，达到了预期的教学目标。
体现学生主体地位：整个教学过程始终以学生为主体，教师作为引导者和组织者。给予学生充足的时间进行思考、探究、讨论和表达，让学生在课堂上充分发挥自己的主观能动性，符合新课标的教学理念，提高了学生的课堂参与度和学习效果。
（二）不足之处
个体差异关注不够：在教学过程中，虽然尽量兼顾全体学生，但由于学生的数学基础和学习能力存在差异，部分基础薄弱的学生在理解一次函数与二元一次方程（组）关系的本质以及运用图象法解方程组时仍存在困难。在小组讨论和练习环节，这些学生参与度不高，没有得到足够的关注和指导。
时间把控不够精准：在探究一次函数与二元一次方程组关系的环节，学生讨论和操作时间较长，导致后面实际问题应用和练习部分时间紧张。部分学生没有充分时间完成练习，对知识的巩固和拓展不够，影响了教学的完整性和学生对知识的掌握程度。
拓展深度不足：对于学有余力的学生，课堂内容的拓展深度不够。在讲解实际问题时，仅停留在基础的应用层面，没有进一步引导学生思考更复杂的实际情境，限制了学生思维的拓展和综合能力的提升。
（三）改进措施
加强分层教学与个别辅导：关注学生的个体差异，在课堂教学中实施分层教学，设计不同层次的问题和练习，满足不同学生的学习需求。课后加强对基础薄弱学生的个别辅导，帮助他们查漏补缺，理解和掌握重点知识，增强学习数学的信心。
优化教学时间管理：在备课过程中，更加精确地预估每个教学环节所需时间，合理安排教学内容和进度。在课堂教学中，根据学生的实际情况灵活调整教学节奏，确保各个教学环节紧凑有序进行，给学生留出足够的时间进行练习和巩固，提高课堂教学效率。
丰富教学内容与拓展思维：在完成基础教学任务的基础上，增加教学内容的深度和广度。设计一些拓展性的问题和探究活动，引导学有余力的学生进一步探索一次函数与二元一次方程（组）在更复杂数学情境和实际生活中的应用，培养学生的创新思维和综合应用能力，促进学生的全面发展。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见