四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·成都期中）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】由题意结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数的代数形式，进而再确定出复数z的虚部．
2．（2024高一下·成都期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式计算即可.
3．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A． B．2 C．1或2 D．2或
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，因为，，，所以由余弦定理，可得：，
即，解得或.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
4．（2024高一下·成都期中）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于A，根据已知条件得出，故A正确；
对于B，由选项A知，则，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以向量与的夹角为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由平面向量的数量积定义、数量积的运算法则、数量积求向量的模长公式、数量积求向量夹角计算公式，从而逐项判断，进而找出说法错误的选项.
5．（2024高一下·成都期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由且，可得，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，再代入结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式以及诱导公式，从而得出的值.
6．（2024高一下·成都期中）“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（ ）
A．2.6m B．3.2m C．3.6m D．4m
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：记建筑物的高为，延长交于，
由题意可得，
设，在中，，
在中，，
所以，所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】记建筑物的高为，延长交于，设，由题意可得，从而可得，进而得出建筑物的高.
7．（2024高一下·成都期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，
由
，
又因为，
所以，解得，可得，
因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】设，分别得到和，再联立方程组得出，从而得出的值，进而得出的值.
8．（2024高一下·成都期中）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：以为原点建立如图所示的直角坐标系，
设，，
又因为，所以，可得，
则，
所以
，其中，
又因为，所以，
所以，，
所以，则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】以为原点建立的直角坐标系，设，，从而可得，进而得出，则根据同角三角函数基本关系式和辅助角公式可得，再利用的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最小值.
9．（2024高一下·成都期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：由，得出，
所以，则，故C正确；
对于D：设，则，所以，
所以且，即，
当且仅当时等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量求模公式判断出选项A；利用共轭复数的定义和复数乘法的运算法则，则判断出选项B；代入和复数相等的判断方法，从而列式计算得出m，n的值，进而得出m+n的值，则判断出选项C；设，再利用复数的运算法则和复数求模公式，从而求出的关系式，再结合基本不等式求最值的方法，从而求出的最大值，再代入计算得出的最大值，则判断出选项D，进而找出真命题的选项.
10．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，则为等边三角形
【答案】A,D
【知识点】解三角形；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A：若，，，
由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，
则有两解，故A正确；
对于B：因为推出，为锐角，但不确定角的大小，
故不能确定的形状，故B错误；
对于C：由和正弦定理得，即，
所以，
在中，或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：由，整理得，即，
所以，则，即为等边三角形，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用正弦定理和已知条件得出此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，从而判断出选项A；根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断选项B；利用正弦定理边化角，整理计算，则判断出选项C；利用余弦定理和已知条件计算得出a=b=c，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·成都期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A．若为非零向量，且，则
B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于
C．已知点，，为坐标原点，则
D．若，则的最小值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的物理背景与基本概念；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A，因为是非零向量，由，
可得，
即，可得且，
解得或，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，可知，
则且，
可得，所以，故C正确；
对于D，因为，即，
可得，可知，
可得，，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据内积和外积的定义和同角三角函数基本关系式以及向量夹角的取值范围，则得出向量夹角的值，从而判断出选项A；利用平行四边形的面积公式和外积的定义，则判断出选项B；根据数量积可得，，再结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围以及向量的外积的定义，则判断出选项C；利用向量的外积的定义和同角三角函数基本关系式以及向量的夹角的取值范围，则得出，，再结合数量积的运算法则和基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项
12．（2024高一下·成都期中）若纯虚数，则 .
【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，得.
故答案为：1.
【分析】根据复数相等的判断方法，从而建立关于a的方程组，解方程组得出实数a的值.
13．（2024高一下·成都期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
则
.
故答案为：.
【分析】根据题意结合三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
14．（2024高一下·成都期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
作，因为，
所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E，
则，
因为，所以圆E的半径为2，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】作，根据已知条件判断出点C在以AB为直径的圆上，再利用数量积的性质求出的值和圆的半径长，则根据几何法得出的取值范围，进而得出的最大值.
15．（2024高一下·成都期中）已知锐角的终边经过点，
（1）求，；
（2）若，且，求.
【答案】（1）解：因为，
所以，，
所以，.
（2）解：由，，
可得，，
所以，
，
因为，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，，再利用二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式，从而得出的值.
（2）由已知条件可得，，从而可得的值，再利用和两角和的正弦公式，从而可得的值.
（1）因为，所以，.
所以，.
（2）由，，可得，，
所以，
.
因为，所以.
16．（2024高一下·成都期中）已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，与垂直，求实数的值；
（3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】（1）解：因为向量，，，
所以，即，
则.
（2）解：因为，所以，
则，，
因为与垂直，
所以，
所以.
（3）解：因为，所以，
又因为，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先根据向量平行的坐标表示求出的值，再将正、余弦的齐次分式转化为正切的表示，再结合同角三角函数基本关系式得出的值.
（2）根据向量垂直的坐标表示，从而得出的值.
（3）根据已知条件和数量积求投影向量的坐标表示公式，即可得出向量在向量上的投影向量的坐标.
（1）因为向量，，，
所以，即，
则.
（2）因为，所以，
则，，
因为与垂直，所以，
所以.
（3）因为，所以，又因为，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
17．（2024高一下·成都期中）已知向量，，.
（1）若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间；
（2）锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为
将函数图象向左平移个单位长度得出
，
再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得，
由得，
要求在上的单调递减区间，
则，解得，
即在上的单调递减区间为.
（2）解：由可得，即，
因为，则，
所以，则，
又因为为锐角三角形，则，解得，
因为，所以，
所以，，
则
，
因为，可得，所以，
所以，
则，
所以周长的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式，则将函数转化为正弦型函数，再根据正弦型函数的图象变换得出函数的解析式，再利用已知条件和x的取值范围以及不等式的基本性质，从而得出函数在上的单调递减区间.
（2）先根据函数的解析式结合求出的值，再利用正弦定理表示出，，再根据三角恒等变换公式和正弦型函数的图象求值域的方法，则由三角形的周长公式得出周长的取值范围.
（1）因为，
将函数图象向左平移个单位长度得，
再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得，
由得，
要求在上的单调递减区间，则，解得，
即在上的单调递减区间为；
（2）由可得，，即，
又，则，所以，则，
又为锐角三角形，则，解得，
因为，所以，
所以，，
则
，
因为，可得，所以，
所以，则，
所以周长的取值范围为.
18．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
①；②.
（1）求A；
（2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值；
（3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值.
【答案】（1）解：若选①，
在中，由和正弦定理，
得，
又因为，
则，显然，
因此，，
则，得，解得，
又因为，所以.
若选②，
由已知条件和正弦定理，得，
所以，
又因为，所以.
（2）解：由得，，
又因为，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
即的最大值为.
（3）解：在中，
由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
则，，
，
，
.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，从而求出的值，再根据三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）根据结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（3）由题意得出，两边平方结合余弦定理求出的值，再根据数量积的运算法则和数量积的几何意义，从而得出的值.
（1）若选①，
在中，由及正弦定理，
得，
而，则，
显然，因此，，
则，得，解得，
又，所以；
若选②，
由已知条件及正弦定理，得，
所以，
又，所以；
（2）由得，，
又，
∴，
∴（当且仅当时取等），
即的最大值为；
（3）在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.
19．（2024高一下·成都期中）（1）求值：.
（2）在非直角中，求证：；
（3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，符号表示不大于x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如，，.在非直角中，角A、B、C满足，若，试求.
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
则.
证明：（2）在非直角中，，则.
∴，
∴，
∴，
（3）∵，
又因为，
∵，，，
∴，
∴，
∴、、必是整数，
又∵，∴，∴，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【知识点】函数的概念及其构成要素；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）利用和两角和的正切公式变形得出的值.
（2）利用，从而证出
.
（3）由，
，再结合已知条件可得
，则
，可得、、必是整数，从而得出的值.
1 / 1四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·成都期中）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2．（2024高一下·成都期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A． B．2 C．1或2 D．2或
4．（2024高一下·成都期中）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
5．（2024高一下·成都期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2024高一下·成都期中）“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（ ）
A．2.6m B．3.2m C．3.6m D．4m
7．（2024高一下·成都期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·成都期中）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·成都期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为
10．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，则为等边三角形
11．（2024高一下·成都期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A．若为非零向量，且，则
B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于
C．已知点，，为坐标原点，则
D．若，则的最小值为
12．（2024高一下·成都期中）若纯虚数，则 .
13．（2024高一下·成都期中）已知，则 .
14．（2024高一下·成都期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 .
15．（2024高一下·成都期中）已知锐角的终边经过点，
（1）求，；
（2）若，且，求.
16．（2024高一下·成都期中）已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，与垂直，求实数的值；
（3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标.
17．（2024高一下·成都期中）已知向量，，.
（1）若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间；
（2）锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.
18．（2024高一下·成都期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
①；②.
（1）求A；
（2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值；
（3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值.
19．（2024高一下·成都期中）（1）求值：.
（2）在非直角中，求证：；
（3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，符号表示不大于x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如，，.在非直角中，角A、B、C满足，若，试求.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】由题意结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数的代数形式，进而再确定出复数z的虚部．
2．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，因为，，，所以由余弦定理，可得：，
即，解得或.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于A，根据已知条件得出，故A正确；
对于B，由选项A知，则，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以向量与的夹角为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由平面向量的数量积定义、数量积的运算法则、数量积求向量的模长公式、数量积求向量夹角计算公式，从而逐项判断，进而找出说法错误的选项.
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由且，可得，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，再代入结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式以及诱导公式，从而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：记建筑物的高为，延长交于，
由题意可得，
设，在中，，
在中，，
所以，所以，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】记建筑物的高为，延长交于，设，由题意可得，从而可得，进而得出建筑物的高.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，
由
，
又因为，
所以，解得，可得，
因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】设，分别得到和，再联立方程组得出，从而得出的值，进而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：以为原点建立如图所示的直角坐标系，
设，，
又因为，所以，可得，
则，
所以
，其中，
又因为，所以，
所以，，
所以，则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】以为原点建立的直角坐标系，设，，从而可得，进而得出，则根据同角三角函数基本关系式和辅助角公式可得，再利用的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：由，得出，
所以，则，故C正确；
对于D：设，则，所以，
所以且，即，
当且仅当时等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量求模公式判断出选项A；利用共轭复数的定义和复数乘法的运算法则，则判断出选项B；代入和复数相等的判断方法，从而列式计算得出m，n的值，进而得出m+n的值，则判断出选项C；设，再利用复数的运算法则和复数求模公式，从而求出的关系式，再结合基本不等式求最值的方法，从而求出的最大值，再代入计算得出的最大值，则判断出选项D，进而找出真命题的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】解三角形；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A：若，，，
由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，
则有两解，故A正确；
对于B：因为推出，为锐角，但不确定角的大小，
故不能确定的形状，故B错误；
对于C：由和正弦定理得，即，
所以，
在中，或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：由，整理得，即，
所以，则，即为等边三角形，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用正弦定理和已知条件得出此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，从而判断出选项A；根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断选项B；利用正弦定理边化角，整理计算，则判断出选项C；利用余弦定理和已知条件计算得出a=b=c，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的物理背景与基本概念；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A，因为是非零向量，由，
可得，
即，可得且，
解得或，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，可知，
则且，
可得，所以，故C正确；
对于D，因为，即，
可得，可知，
可得，，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据内积和外积的定义和同角三角函数基本关系式以及向量夹角的取值范围，则得出向量夹角的值，从而判断出选项A；利用平行四边形的面积公式和外积的定义，则判断出选项B；根据数量积可得，，再结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围以及向量的外积的定义，则判断出选项C；利用向量的外积的定义和同角三角函数基本关系式以及向量的夹角的取值范围，则得出，，再结合数量积的运算法则和基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项
12．【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，得.
故答案为：1.
【分析】根据复数相等的判断方法，从而建立关于a的方程组，解方程组得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
则
.
故答案为：.
【分析】根据题意结合三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
作，因为，
所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E，
则，
因为，所以圆E的半径为2，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】作，根据已知条件判断出点C在以AB为直径的圆上，再利用数量积的性质求出的值和圆的半径长，则根据几何法得出的取值范围，进而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，，
所以，.
（2）解：由，，
可得，，
所以，
，
因为，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，，再利用二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式，从而得出的值.
（2）由已知条件可得，，从而可得的值，再利用和两角和的正弦公式，从而可得的值.
（1）因为，所以，.
所以，.
（2）由，，可得，，
所以，
.
因为，所以.
16．【答案】（1）解：因为向量，，，
所以，即，
则.
（2）解：因为，所以，
则，，
因为与垂直，
所以，
所以.
（3）解：因为，所以，
又因为，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先根据向量平行的坐标表示求出的值，再将正、余弦的齐次分式转化为正切的表示，再结合同角三角函数基本关系式得出的值.
（2）根据向量垂直的坐标表示，从而得出的值.
（3）根据已知条件和数量积求投影向量的坐标表示公式，即可得出向量在向量上的投影向量的坐标.
（1）因为向量，，，
所以，即，
则.
（2）因为，所以，
则，，
因为与垂直，所以，
所以.
（3）因为，所以，又因为，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
17．【答案】（1）解：因为
将函数图象向左平移个单位长度得出
，
再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得，
由得，
要求在上的单调递减区间，
则，解得，
即在上的单调递减区间为.
（2）解：由可得，即，
因为，则，
所以，则，
又因为为锐角三角形，则，解得，
因为，所以，
所以，，
则
，
因为，可得，所以，
所以，
则，
所以周长的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式，则将函数转化为正弦型函数，再根据正弦型函数的图象变换得出函数的解析式，再利用已知条件和x的取值范围以及不等式的基本性质，从而得出函数在上的单调递减区间.
（2）先根据函数的解析式结合求出的值，再利用正弦定理表示出，，再根据三角恒等变换公式和正弦型函数的图象求值域的方法，则由三角形的周长公式得出周长的取值范围.
（1）因为，
将函数图象向左平移个单位长度得，
再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得，
由得，
要求在上的单调递减区间，则，解得，
即在上的单调递减区间为；
（2）由可得，，即，
又，则，所以，则，
又为锐角三角形，则，解得，
因为，所以，
所以，，
则
，
因为，可得，所以，
所以，则，
所以周长的取值范围为.
18．【答案】（1）解：若选①，
在中，由和正弦定理，
得，
又因为，
则，显然，
因此，，
则，得，解得，
又因为，所以.
若选②，
由已知条件和正弦定理，得，
所以，
又因为，所以.
（2）解：由得，，
又因为，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
即的最大值为.
（3）解：在中，
由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
则，，
，
，
.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，从而求出的值，再根据三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）根据结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（3）由题意得出，两边平方结合余弦定理求出的值，再根据数量积的运算法则和数量积的几何意义，从而得出的值.
（1）若选①，
在中，由及正弦定理，
得，
而，则，
显然，因此，，
则，得，解得，
又，所以；
若选②，
由已知条件及正弦定理，得，
所以，
又，所以；
（2）由得，，
又，
∴，
∴（当且仅当时取等），
即的最大值为；
（3）在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.
19．【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
则.
证明：（2）在非直角中，，则.
∴，
∴，
∴，
（3）∵，
又因为，
∵，，，
∴，
∴，
∴、、必是整数，
又∵，∴，∴，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【知识点】函数的概念及其构成要素；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）利用和两角和的正切公式变形得出的值.
（2）利用，从而证出
.
（3）由，
，再结合已知条件可得
，则
，可得、、必是整数，从而得出的值.
1 / 1
