上海市松江区2024-2025学年高三上学期期末质量监控考试数学试题
1．（2024高三上·松江期末）已知集合，，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·松江期末）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
【分析】根据二倍角的余弦公式得出结果。
3．（2024高三上·松江期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：．
【分析】根据对数函数、偶次根式有意义，列不等式组求解即可.
4．（2024高三上·松江期末）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，解得.
故答案为：
【分析】利用余弦定理求解即可.
5．（2024高三上·松江期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求得，再根据共轭复数的定义求解即可.
6．（2024高三上·松江期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ．
【答案】4
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设其母线长为，易知圆锥的底面半径，则，解得，
故该圆锥的高.
故答案为：4.
【分析】直接利用侧面积公式求出母线长，再求圆锥的高即可.
7．（2024高三上·松江期末）已知，则＝ ．
【答案】65
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：，
令，则，
令，则，故.
故答案为：65.
【分析】由题意，利用赋值法求解即可.
8．（2024高三上·松江期末）已知等比数列中，，则 ．
【答案】或
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，且，
所以，所以，
，所以，解得或．
当时，，所以；
当时，，所以．
故答案为：或.
【分析】由题意，根据等比数列的性质求的值即可.
9．（2024高三上·松江期末）已知函数的表达式为，则满足的实数m的最大值为 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，则，
因为函数定义域为，所以为偶函数，
易知当时，函数单调递增，故原不等式等价于，
即，即，解得，
故m的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据函数的表达式结合偶函数定义判断函数为偶函数，再利用指数函数对称性解出不等式即可.
10．（2024高三上·松江期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
因为
，
又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，
设，，
，
，
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围求的取值范围即可.
11．（2024高三上·松江期末）已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；辅助角公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为，
根据正弦定理可得，，
则，即，
因为，所以，
则在上的投影为，
在上的投影为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可知与的夹角为，再根据正弦定理可得，根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质求解即可.
12．（2024高三上·松江期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）．
【答案】
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：依题意当小汽车最大限速（约）时，
反应距离，刹车距离，
所以停车距离为，
又路口宽度为，所以，
所以时间.
故答案为：.
【分析】由题意求出反应距离，刹车距离，即可得到路程，再根据速度、路程、时间的关系计算即可.
13．（2024高三上·松江期末）已知，以下四个数中最大的是（ ）
A．b B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：由题意，则，
由基本不等式可得，同时注意到，所以，
，
而、都是正数，所以.
故答案为：D.
【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可.
14．（2024高三上·松江期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，
则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为，公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故答案为：C.
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再根据等差数列通项公式计算即可.
15．（2024高三上·松江期末）抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A、B和C两两互斥 B．
C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷三枚硬币，样本空间(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个样本点，
事件(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，
A、事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，故A正确；
B、，故B正确；
C、事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，故C错误；
D、，，
，则事件，相互独立，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用互斥事件的定义即可判断A；利用互斥事件概率加法公式求解即可判断B；利用对立事件的定义即可判断C；利用相互独立事件即可判断D.
16．（2024高三上·松江期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的周期性
【解析】【解答】解：①若是周期函数，设是它的正周期，即，
假设函数不是常值函数，设，且，又恒成立，
因此，
取，其中是不大于的最大整数，则，
而，
所以，这是是减函数矛盾，所以不成立，
所以，即是常值函数，故①是真命题；
②取，，则对任意的，，，满足，
但是减函数，故②是假命题．
故答案为：A．
【分析】用反证法即可判断命题①；举反例即可判断命题②．
17．（2024高三上·松江期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
1 2 3 4 5
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
【答案】（1）解：因为等级系数为4的恰有3件，所以；
等级系数为5的恰有2件，所以；
因为，所以.
故，，；
（2）解：从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：
，，，，，，，
，，共10种情况.
这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个，
因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率和频数的关系可求的值，根据频率和为求的值即可；
（2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可.
（1）因为等级系数为4的恰有3件，所以；
等级系数为5的恰有2件，所以；
因为，所以.
故，，.
（2）从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：
，，，，，，，，，共10种情况.
这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个.
因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：.
18．（2024高三上·松江期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，，为等边三角形，
设，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为为的中点，所以，
所以，，
所以，平面，
则平面；
（2）解：平面的一个法向量为，
因为，设和平面所成的角为，所以，
则直线和平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理证明即可；
（2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可.
（1）因为平面，，为等边三角形，
设，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
为的中点，，
，，
，平面，
平面.
（2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，
因为，设和平面所成的角为，
则，
直线和平面所成角的正弦值为.
19．（2024高三上·松江期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值．
【答案】（1）解：设与相交于点，则，
则，，
易知等于到的距离，
所以；
（2）解：过点作于点，如图所示：
则，，
三角形区域面积为，
设，因为，所以，
故，而，
则，故当时，取得最大值，
，
故三角形区域面积的最大值为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式求解即可；
（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求三角形区域面积的最大值即可.
（1）设与相交于点，则，
则，，
易知等于到的距离，
所以
（2）过点作于点，则，
而，
则三角形区域面积为
，
设，因为，所以，
故，而，
则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
20．（2024高三上·松江期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
（3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）解：由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）解：当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由，消元整理得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以，
所以存在实数，使得.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算即可；
（2）设，由，可得，代入方程与方程联立，求点P的坐标即可；
（3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.
（1）根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）
由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以
，
所以存在实数，使得.
21．（2024高三上·松江期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知．
（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；
（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围．
（3）当时，，为函数在的相依区间，证明：．
【答案】（1）解：当时，，求导可得，
，，
即，又在上处处相依，
所以函数在上有零点；
（2）解：，，，
因为函数在上处处相依，
所以，，使得，
即，使得，
，，即，，
又因为，所以，
所以实数的取值范围为；
（3）证明：当时，，则，
因为为函数的在的相依区间，
所以，又，则，
因为，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，则，
要证，即证，即证，
即证，，
令，，
令，，，
因为，，，
所以，即在上单调递减，则，
所以，即在上单调递减，
所以，即，即证得成立.
从而证明得到.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明即可；
（2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，求解即可；
（3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明即可.
（1）当时，，
，
所以，，
即，又在上处处相依，
所以函数在上有零点.
（2），，
，
因为函数在上处处相依，
所以，，使得，
即，使得，
，，即，，
又，
.
所以实数的取值范围为.
（3）当时，，则，
因为为函数的在的相依区间，
所以，又，
则，
因为，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，则，
要证，即证，即证，
即证，，
令，
，
令，，
，
因为，，，
所以，即在上单调递减，则，
所以，即在上单调递减，
所以，即，即证得成立.
从而证明得到.
1 / 1上海市松江区2024-2025学年高三上学期期末质量监控考试数学试题
1．（2024高三上·松江期末）已知集合，，则 ．
2．（2024高三上·松江期末）若 ，则 ．
3．（2024高三上·松江期末）函数的定义域是 ．
4．（2024高三上·松江期末）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 .
5．（2024高三上·松江期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ．
6．（2024高三上·松江期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ．
7．（2024高三上·松江期末）已知，则＝ ．
8．（2024高三上·松江期末）已知等比数列中，，则 ．
9．（2024高三上·松江期末）已知函数的表达式为，则满足的实数m的最大值为 ．
10．（2024高三上·松江期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ．
11．（2024高三上·松江期末）已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是 ．
12．（2024高三上·松江期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）．
13．（2024高三上·松江期末）已知，以下四个数中最大的是（ ）
A．b B． C． D．
14．（2024高三上·松江期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 ……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁
15．（2024高三上·松江期末）抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A、B和C两两互斥 B．
C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立
16．（2024高三上·松江期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题
17．（2024高三上·松江期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
1 2 3 4 5
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
18．（2024高三上·松江期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
19．（2024高三上·松江期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值．
20．（2024高三上·松江期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
（3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（2024高三上·松江期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知．
（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；
（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围．
（3）当时，，为函数在的相依区间，证明：．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
【分析】根据二倍角的余弦公式得出结果。
3．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：．
【分析】根据对数函数、偶次根式有意义，列不等式组求解即可.
4．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，解得.
故答案为：
【分析】利用余弦定理求解即可.
5．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求得，再根据共轭复数的定义求解即可.
6．【答案】4
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设其母线长为，易知圆锥的底面半径，则，解得，
故该圆锥的高.
故答案为：4.
【分析】直接利用侧面积公式求出母线长，再求圆锥的高即可.
7．【答案】65
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：，
令，则，
令，则，故.
故答案为：65.
【分析】由题意，利用赋值法求解即可.
8．【答案】或
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，且，
所以，所以，
，所以，解得或．
当时，，所以；
当时，，所以．
故答案为：或.
【分析】由题意，根据等比数列的性质求的值即可.
9．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，则，
因为函数定义域为，所以为偶函数，
易知当时，函数单调递增，故原不等式等价于，
即，即，解得，
故m的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据函数的表达式结合偶函数定义判断函数为偶函数，再利用指数函数对称性解出不等式即可.
10．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
因为
，
又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，
设，，
，
，
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围求的取值范围即可.
11．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；辅助角公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为，
根据正弦定理可得，，
则，即，
因为，所以，
则在上的投影为，
在上的投影为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可知与的夹角为，再根据正弦定理可得，根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：依题意当小汽车最大限速（约）时，
反应距离，刹车距离，
所以停车距离为，
又路口宽度为，所以，
所以时间.
故答案为：.
【分析】由题意求出反应距离，刹车距离，即可得到路程，再根据速度、路程、时间的关系计算即可.
13．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：由题意，则，
由基本不等式可得，同时注意到，所以，
，
而、都是正数，所以.
故答案为：D.
【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可.
14．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，
则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为，公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故答案为：C.
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再根据等差数列通项公式计算即可.
15．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷三枚硬币，样本空间(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个样本点，
事件(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，
A、事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，故A正确；
B、，故B正确；
C、事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，故C错误；
D、，，
，则事件，相互独立，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用互斥事件的定义即可判断A；利用互斥事件概率加法公式求解即可判断B；利用对立事件的定义即可判断C；利用相互独立事件即可判断D.
16．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的周期性
【解析】【解答】解：①若是周期函数，设是它的正周期，即，
假设函数不是常值函数，设，且，又恒成立，
因此，
取，其中是不大于的最大整数，则，
而，
所以，这是是减函数矛盾，所以不成立，
所以，即是常值函数，故①是真命题；
②取，，则对任意的，，，满足，
但是减函数，故②是假命题．
故答案为：A．
【分析】用反证法即可判断命题①；举反例即可判断命题②．
17．【答案】（1）解：因为等级系数为4的恰有3件，所以；
等级系数为5的恰有2件，所以；
因为，所以.
故，，；
（2）解：从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：
，，，，，，，
，，共10种情况.
这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个，
因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率和频数的关系可求的值，根据频率和为求的值即可；
（2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可.
（1）因为等级系数为4的恰有3件，所以；
等级系数为5的恰有2件，所以；
因为，所以.
故，，.
（2）从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有：
，，，，，，，，，共10种情况.
这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个.
因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：.
18．【答案】（1）证明：因为平面，，为等边三角形，
设，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为为的中点，所以，
所以，，
所以，平面，
则平面；
（2）解：平面的一个法向量为，
因为，设和平面所成的角为，所以，
则直线和平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理证明即可；
（2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可.
（1）因为平面，，为等边三角形，
设，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
为的中点，，
，，
，平面，
平面.
（2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，
因为，设和平面所成的角为，
则，
直线和平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：设与相交于点，则，
则，，
易知等于到的距离，
所以；
（2）解：过点作于点，如图所示：
则，，
三角形区域面积为，
设，因为，所以，
故，而，
则，故当时，取得最大值，
，
故三角形区域面积的最大值为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式求解即可；
（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求三角形区域面积的最大值即可.
（1）设与相交于点，则，
则，，
易知等于到的距离，
所以
（2）过点作于点，则，
而，
则三角形区域面积为
，
设，因为，所以，
故，而，
则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
20．【答案】（1）解：根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）解：由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）解：当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由，消元整理得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以，
所以存在实数，使得.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算即可；
（2）设，由，可得，代入方程与方程联立，求点P的坐标即可；
（3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.
（1）根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）
由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以
，
所以存在实数，使得.
21．【答案】（1）解：当时，，求导可得，
，，
即，又在上处处相依，
所以函数在上有零点；
（2）解：，，，
因为函数在上处处相依，
所以，，使得，
即，使得，
，，即，，
又因为，所以，
所以实数的取值范围为；
（3）证明：当时，，则，
因为为函数的在的相依区间，
所以，又，则，
因为，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，则，
要证，即证，即证，
即证，，
令，，
令，，，
因为，，，
所以，即在上单调递减，则，
所以，即在上单调递减，
所以，即，即证得成立.
从而证明得到.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明即可；
（2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，求解即可；
（3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明即可.
（1）当时，，
，
所以，，
即，又在上处处相依，
所以函数在上有零点.
（2），，
，
因为函数在上处处相依，
所以，，使得，
即，使得，
，，即，，
又，
.
所以实数的取值范围为.
（3）当时，，则，
因为为函数的在的相依区间，
所以，又，
则，
因为，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，则，
要证，即证，即证，
即证，，
令，
，
令，，
，
因为，，，
所以，即在上单调递减，则，
所以，即在上单调递减，
所以，即，即证得成立.
从而证明得到.
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