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6.4.3.1余弦定理---自检定时练--详解版
单选题
1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（ ）
A．120° B．45° C．60° D．30°
【答案】A
【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
由余弦定理得．
因为，所以，
故选：A．
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算.
【详解】，∴，∴，
∴ ，
所以，
故选：B．
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论.
【详解】由和余弦定理得，，
化简得，，
整理得，，则得，或，
即为等腰或直角三角形.
故选：D.
4.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
【详解】由，解得.
设，
则.
故选：C
5.如图，P为内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得.
【详解】
如图，作于点，设，因，
可得，因则，
在中，由余弦定理，，
即，解得，
在中，，解得，
故.
故选：A.
6.如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】利用弧长公式可得，再根据对称性分别作点关于直线，的对称点，，再利用余弦定理可得结果.
【详解】连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，
连接分别交，与点，连接如下图所示：
则,,
此时的周长取得最小值，其最小值为的长度；
因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以；
根据对称性可知，
在中，由余弦定理可得，
所以.
即周长的最小值是.
故选：D
多选题
7.在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】AB
【分析】根据三角形全等的判定方法即可判断A和B，根据余弦定理及一元二次方程的根的情况即可判断C和D．
【详解】对于A，因为，，，
则根据三角形全等（角边角）可知存在且唯一的，故A正确；
对于B，因为，，，
则根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确；
对于C，由余弦定理有，即，
整理得，解得或，
所以满足条件的三角形有两个，故C错误；
对于D，由余弦定理有，即，
整理得，且，即无解，
所以此时三角形不存在，故D错误；
故选：AB．
8.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】ABD
【分析】设，则，由余弦定理及三角形面积公式即可逐项求解.
【详解】设，则，
在中，，
由余弦定理可得，，
即，
整理得，
解得，或（舍去），
所以，，故A、B正确，
所以，故C错误，
所以，
所以的面积为，故D正确.
故选：ABD．
填空题
9.在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ．
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理得，代入结合基本不等式得取得最小值的取等条件为，从而，进而求出.
【详解】由及余弦定理得：，整理得，
则，当且仅当，即时取等号，
此时，，则，
故答案为：
10.在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由余弦定理可得，从而得，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】解：由，解得，
设，
则
.
故答案为：
解答题
11.在三角形中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，设为的中点，且，求三角形的周长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理边角互换结合题意可得，据此可得答案；
（2）由题可得，由余弦定理可得，据此可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
则，化简得，，
因为，所以，即.
又因为，所以；
（2）因为为中点，所以，
两边平方可得，，即①
在中，由余弦定理得②
联立①②可得，，所以，故.
所以的周长为.
12.如图，平面四边形ABCD中AC平分
(1)若求；
(2)若
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）由已知可得，进而利用余弦定理可求得；
（2）（ⅰ）设则，设，利用余弦定理可求得，求解即可；（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，可求得，进而利用二倍角的正弦公式可求得.
【详解】（1）由题意可知AC平分因此
则，
而，
故在中，由余弦定理可得.
（2）（ⅰ）设则，设，则，
由余弦定理可得，
所以，解得.
（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，
则
故.
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6.4.3.1余弦定理---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1.余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
②cos A＝；cos B＝； cos C＝
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（ ）
A．120° B．45° C．60° D．30°
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，P为内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
多选题
7.在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
填空题
9.在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ．
10.在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 .
解答题
11.在三角形中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，设为的中点，且，求三角形的周长.
12.如图，平面四边形ABCD中AC平分
(1)若求；
(2)若
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C A D AB ABD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2).
12.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）
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