第十九章一次函数
19.2.2第二课时《一次函数的图像和性质》
教学设计
一、教学目标
1.熟练掌握用两点法准确画出一次函数和正比例函数的图象。
2.深入理解一次函数图象的形状、位置以及与正比例函数图象之间的关系。
3.全面掌握一次函数和正比例函数的性质,并能灵活运用这些性质解决实际问题。
4.在绘制一次函数图象的过程中,提升学生的动手实践能力和运用坐标法研究函数图象的能力。
5.通过观察、比较、类比、联想、分析、归纳、概括等思维活动,培养学生的逻辑思维能力和自主探究能力。
6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程,体会数形结合、类比等数学思想方法。
核心素养目标
1.让学生在自主探究一次函数图象和性质的过程中,获得成功的体验,增强学习数学的自信心和热情。
2.培养学生严谨的治学态度和勇于探索、创新的精神。
3.通过小组合作与交流,培养学生的团队合作意识和沟通能力。
二、教学重点、难点
重点
运用两点法准确画出正比例函数和一次函数的图象。
结合图象清晰阐述正比例函数和一次函数的性质。
难点
灵活运用一次函数的性质、图象以及数形结合思想解决各类相关函数问题。
深入理解一次函数图象与系数 、 之间的内在联系。
三、教学过程
(一)知识回顾 ——“旧知铺垫引新学”
忆一忆
1.什么是一次函数?请写出两个一次函数的解析式.
2.什么叫正比例函数?从解析式上看,正比例函数与一次函数有什么关系?
3.正比例函数有哪些性质?是怎样得到这些性质的?
正比列函数
解析式:y=kx (k≠0)
图象:经过原点和(1,k)的一条直线.
性质:当k>0,y随x的增大而增大,
当k<0,y随x的增大而减小.
一次函数
解析式:y=kx+b (k≠0);图象:?;性质:?.
设计意图:通过回顾一次函数、正比例函数的定义以及正比例函数的图象和性质,为学习一次函数的图象和性质做好知识铺垫,同时引发学生对一次函数图象和性质的思考。
(二)例题探究 ——“画图对比探关系”
例2 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
解:
思考
比较右边两个函数的图象的相同点与不同点,填出你的观
察结果:
这两个函数的图象形状都是____.并且倾斜程度____.函数
y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点________,即它可以看作由直线y=-6x向___平移____个单位长度而得到的.
比较两个函数解析式,你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗?
联系例2,考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状,它与直线y=kx (k≠0)有什么关系?
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx向上(或向下)平移|b|个单位长度而得到的. 当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移.
设计意图:通过具体的函数图象绘制和对比,让学生直观地观察一次函数与正比例函数图象之间的关系,从而归纳出一次函数图象的平移规律,培养学生的观察和归纳能力。
(三)再次探究 ——“深入探究明性质”
例3 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析:由于一次函数的图象是直线,因此只要确定两个点就能画出它.
解:
先画直线y=2x与直线y=-0.5x,再分别平移
它们,也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1.
探究
画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象,由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
一般选取与x轴的交点(-,0)与y轴的交点(0,b).
当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时,
直线y=kx+b从左向右下降.由此可知,一次函数y=kx+b
(k,b是常数,k≠0)具有如下性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;
当k<0时,y随x的增大而减小.
设计意图:通过再次绘制不同值的一次函数图象,让学生进一步探究的正负对函数图象的影响,从而总结出一次函数的增减性,培养学生的探究和归纳能力。
(四)课堂练习 ——“巩固提升强能力”
练习
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为__________,与y轴交点坐标为__________,图象经过______________象限,y随x的增大而________.
2.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1)y=x-1,y=x,y=x+1;(2)y=-2x-1,y=-2x,y=-2x+1.
解:(1)直线y=x-1可以看作由直线y=x向下平移1个单位长度得到,直线y=x+1可以看作由直线y=x向上平移1个单位长度得到.
(2)直线y=-2x-1可以看作由直线y=-2x向下平移1个单位长度得到,直线y=-2x+1可以看作由直线y=-2x向上平移1个单位长度得到.
3.在同一直角坐标系中画出下列(1)(2)中各函数的图象,并指出每组函数图象的共同之处.
(1)y=x+1,y=x+1,y=2x+1;
(2)y=-x-1,y=-x-1,y=-2x-1.
解:(1)函数图象从左向右上升,y随x的增大而增大,都经过第一、二、三象限,与y轴交点是(0,1).
(2)函数图象从左向右下降,y随x的增大而减小,都经过第二、三、四象限,与y轴交点是(0,-1).
设计意图:通过课堂练习,让学生巩固一次函数图象的画法、平移规律以及性质,提高学生运用知识解决问题的能力。
(五)归纳总结 ——“梳理知识成体系”
归纳
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
设计意图:通过归纳总结,帮助学生梳理一次函数图象和性质的知识体系,加深对知识的理解和记忆。
(六)课堂小结 ——“反思收获促成长”
本节课你有哪些收获?
引导学生从一次函数图象的画法、图象与正比例函数图象的关系、一次函数的性质等方面进行总结。
还有没解决的问题吗?
鼓励学生提出疑问,共同探讨解决。
设计意图:引导学生对本节课所学内容进行全面总结,培养学生的反思总结能力和问题意识。
四、总结
同学们,在今天的学习中,我们围绕一次函数的图象和性质展开了深入探究。我们学会了用两点法绘制一次函数和正比例函数的图象,知道一次函数的图象是一条直线,它可以由正比例函数的图象平移个单位得到,时向上平移,时向下平移。我们还探究了一次函数的性质,的正负决定了函数的增减性,时,随的增大而增大;时,随的增大而减小。通过大量的练习和实例,我们也掌握了如何运用这些知识解决实际问题。一次函数的图象和性质是我们进一步学习函数知识的重要基础,希望大家课后能继续巩固和拓展,不断提升自己运用数学知识解决问题的能力。
五、教学反思
(一)成功之处
教学环节设计合理,通过知识回顾、例题探究、课堂练习和归纳总结等环节,逐步引导学生掌握一次函数的图象和性质,符合学生的认知规律。
注重知识的形成过程,让学生通过亲自画图、观察、比较和分析,自主探究一次函数图象的平移规律和性质,培养了学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
练习题的设计具有针对性和层次性,能够及时反馈学生对知识的掌握情况,便于教师调整教学策略。
(二)不足之处
在学生活动中,部分学生参与度不高,小组合作的效果有待进一步提高。
对于一些抽象的概念和复杂的问题,讲解还不够深入,导致部分学生理解困难。
在教学过程中,对学生的个体差异关注不够,没有满足不同层次学生的学习需求。
(三)改进措施
加强对学生的引导和激励,提高学生的参与度,优化小组合作学习的组织和实施,培养学生的团队合作精神。
对于抽象的概念和复杂的问题,采用更直观、形象的教学方法进行讲解,如利用多媒体动画演示等,帮助学生理解。
关注学生的个体差异,设计分层教学目标和练习题,满足不同层次学生的学习需求,让每个学生都能在数学学习中得到发展。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级(A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高)
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题,主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质,熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中,思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中,与小组成员沟通是否顺畅,能否积极贡献自己的想法,倾听他人意见