8.5.1 直线与直线平行 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.5.1 直线与直线平行 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
3．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若，且，OA与的方向相同，则（　　）
A．，且方向相同 B．，且方向不同
C．OB与不平行 D．OB与不一定平行
5．若，，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
6．给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
7． 下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
8．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．，
C．，，共面 D．，，共点，，共面
三、填空题
9．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
10．如图，是长方体的一条棱，那么长方体中与平行的棱共有 条．
11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
四、解答题
12．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.

（1）证明: ，，.
（2）求的值.
13．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，求证:四边形是菱形.
14．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

求证：（1）四边形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
15．如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：．
16．如图，分别为正方体的棱的中点．求证：．
17．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：

(1)四边形为平行四边形；
(2)．
参考答案
1．D
由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解.
如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.
故选：D.
2．B
由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
3．D
作出几何体的直观图观察即可.
解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.

4．D
结合正方体以及空间角的知识确定正确选项.
在正方体中，如下图所示，则，
如下图所示，则与不平行，
综上所述，D选项符合.
故选：D
5．C
根据空间等角定理判断即可.
因为，，且，
所以或.
故选：C
6．B
对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.
对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B
7．AC
由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
8．ACD
根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.
解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；
由，得，故B正确；
当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；
当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；
故选：ACD.
9．相交
根据平面的性质结合线线位置关系分析判断.
∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
10．3
根据正方体的结构特征，结合题意，即可求解.
根据正方体的结构特征，可得，共有条.
故答案为：.
11．平行
由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系.
在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
12．（1）证明见解析；（2）.
（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，；
（2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解.
（1）因为与相交于点O，所以与共面，
在和中，可得，
又因为，所以，
所以，，
所以
同理，.
（2）因为，，且和，和的方向相反，
∴.
同理，因此，
又，
所以.
13．证明见详解.
根据正方体的性质，结合平行四边形判定定理，根据公理即可证明.
取棱的中点，连接，.如下图所示：
由正方体的性质，可知侧面为正方形，又分别为棱的中点，
所以，，从而四边形为平行四边形，
所以，.
又分别为棱，的中点，且侧面为正方形，
所以四边形为平行四边形，所以，.
又，，
所以，，且
从而四边形为平行四边形.
不妨设正方体的棱长为，
易知，
又四边形为平行四边形，故四边形是菱形.即证.
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）根据直线的平行性的传递性可得且，根据梯形的定义可得结论成立；
（2）根据等角定理可证结论成立.
（1）连接，

因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，
所以且，
所以四边形是梯形.
（2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，
所以根据等角定理可得.
15．证明见解析.
根据给定条件，利用等角定理推理得证.
依题意，，，则，
又，同理，
观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同，
所以.
16．证明见解析
先根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形推得．再根据平行的传递性有，从而得到，，最后根据两角两边同向且平行得证.
连接，根据条件分别为棱的中点可知，
四边形为平行四边形．
又，
所以四边形是平行四边形，
所以，同理．
又与∠CEB两边的方向相同，
因此．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明；
（2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明.
（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点，
所以且，
又，，所以．
因为，分别为，的中点，
所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形．
（2）折叠前，且，，
折叠后，，
所以与的对应边平行且方向相同，
所以．
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