8.5.3 平面与平面平行 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
8.5.3 平面与平面平行 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知是异面直线，是两个平面，，设且；，则（ ）
A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件
C．是的充要条件 D．既不是的充分条件也不是的必要条件
2．已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则，则
D．若，，，，则
4．如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A．C，G，，F四点共面 B．直线平面
C．平面平面 D．直线EF和HG所成角的正切值为
5．如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能
6．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C（　　）
A．不共面
B．不论点A，B如何移动，都共面
C．当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面
D．当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
二、多选题
7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ）

A． 平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
8．如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面平面
三、填空题
9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为 ．
10．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为 .

11．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为 .
12．如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
①平面DE；②平面AF；③平面平面；④平面平面.
其中判断正确的序号是 .
四、解答题
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
14．在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．
15．如图,在正方体中.
(1)求证:平面平面;
(2)试找出体对角线与平面和平面的交点,并证明:.
16．如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
17．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
参考答案
1．C
根据面面平行的判定定理和面面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
若，
因为，所以且，
故由可以推出且；
若且，
如图，过直线作平面交平面于直线，
因为，所以，
又因，所以，
因为是异面直线，且，所以直线相交，
所以，

所以由且可以推出，
所以是的充要条件.
故选：C.
2．A
利用面面平行的性质和判定定理即可求得结果.
若，则平面内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出；
根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出.
故选：A.
3．C
根据线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行性质判断各项正误.
A：若，，则，错；
B：若，，则或，错；
C：由，，，根据线面平行的性质知，对；
D：如下图，，，，，有相交，错.

故选：C
4．C
取中点，连接,
由于是的中点，在正方体中可知,
又，所以四边形为平行四边形，故,
因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，,

取中点，连接,
由于均为中点，所以
平面，平面，所以平面,
同理平面,平面,
所以平面平面，平面，故直线平面，B正确，

假若平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误，

由于，所以,
故为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
由于底面，平面，所以,
故,
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确.
故选：C.
5．A
根据面面平行的判定定理：由线线平行推出面面平行.
在平面中，因为，所以，
由正方体，，所以，
又因为，平面，平面，
平面，平面，，，
所以平面EFH//平面
故选: A.
6．B
设平面，间的距离为，则不论A，B如何移动，点C到，的距离都为，由此可以选出正确的答案.
设平面，间的距离为，则不论A，B如何移动，点C到，的距离都为，
∴所有的动点C在与，的距离都相等的一个平面上.
即不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上
故选：B
7．CD
将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解.
展开图可以折成如图①所示的正方体．

在正方体中，连接，如图②所示．

易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误；
如图③所示，连接，
由于平面,平面,所以平面，
同理可得平面，平面,
则平面平面，

同理可证平面平面，所以CD正确．
故选：CD
8．ABC
由三棱柱性质和面面平行性质可知A正确；利用线面平行判定定理可得B正确；由重心分边长比例可得C正确；易知平面与平面相交，即D正确.
由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面，
由面面平行的性质可知；
又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确；
由，平面，平面，所以平面，即B正确；
又经过的重心，所以，且，，
所以，可知C正确；
因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误；
故选：ABC
9．12
如图，取的中点的中点的中点，
连接，则，，
所以有平面，平面.
又，所以平面平面，
即平面为过点且与平面平行的截面,
易得此截面的周长为.
10．平行四边形
∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
考点：面面平行的性质定理的运用.
11．
利用面面平行的性质定理可得出与的位置关系.
如图所示，连接、，
在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.
故答案为：.
12．①②③④
将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.
把正方体的平面展开图还原成正方体，如图：
由，得四边形为平行四边形，则，
同理，，
对于①，由，平面AEND，平面AEND，得平面DE，命题①正确；
对于②，由，平面ABFE，平面ABFE，得平面AF，命题②正确；
对于③，，平面，平面，，平面，平面，
则平面，平面，又，BD、平面BDM，
所以平面平面AFN，命题③正确；
对于④，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF，
则平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE，
所以平面平面NCF，命题④正确．
故答案为：①②③④．
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；
（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.
（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点
∴GH是的中位线，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面．
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
14．证明见解析
结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论.
连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，．
由题意知，．平面，平面，
平面．又，，．
又E，F分别是AD，AB的中点，，则，
．．
又，．四边形为平行四边形．．
平面，平面，平面．
，，平面，平面平面．
15．(1)见解析(2)见解析
(1)证明:因为在正方体中,,
所以四边形是平行四边形,所以.
又因为平面,平面,所以平面.
同理平面.又因为,平面,平面,所以平面平面 .
(2)如图,连接交于点,连接与交于点E.又因为平面,所以点E也在平面内,所以点E就是与平面的交点;连接交于点O,连接与交于点F,则点F就是与平面的交点.
下面证明:
因为平面平面,平面平面,
平面平面,所以.在中,是的中点,所以E是的中点,即;同理可证,所以F是的中点,即,所以.
16．证明见解析
方法一:作，易证四边形为平行四边形，从而得到，即可得证.
方法二: 连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，从而可证，结论即可得证.
证明 证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF，
则平面，且，．
∵在正方体中，，，
∴．
∴．
,∴．
又，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，
则平面．易知，
∴，
又，，∴，
∴，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
（1）证明：如图，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
又，平面，
平面平面；
（2）证明：平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，
则，得，
为的中点，
为的中点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)