8.6.1直线与直线垂直 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.6.1直线与直线垂直 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．在长方体的各条棱所在直线中与直线垂直的直线有（ ）条．
A．2 B．4条 C．6条 D．8条
2．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与
A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为
3．已知正方体的棱长为，是底面的中心，则异面直线与所成的角为
A． B． C． D．
4．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
6．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
三、填空题
7．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是 ．
8．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ .
9．如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于 .
四、解答题
10．如图所示，正方体中，分别是的中点，求证：
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
12．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求.
13．如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
参考答案
1．D
根据线线之间的垂直关系判断即可.
在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
2．D
先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.
将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.
故选D.
3．A
通过平移将问题变为与所成角；根据等腰三角形三线合一可知，从而得到所成角为.
原题如下图所示：
异面直线与所成角即为与所成角
连接，
且为中点
异面直线与所成角为
4．B
取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.
在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
5．ABD
根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.
故选：ABD.
6．BCD
首先由平面展开图还原几何体，在几何体中判断线与线的位置关系，直接判断选项，再根据线面垂直判断线线的位置关系.
如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；
与为异面直线，B正确；
,，而，,
与成60°角，C正确；
连接，，
平面,
,
又
与垂直,
D正确.
故选：BCD
7．
根据题意得，所以与所成的角即为与所成的角或其补角，再根据条件分析求解即可.
因为底面是平行四边形，所以，
所以与所成的角即为与所成的角或其补角，
又，所以与所成的角为，
即与所成的角为.
故答案为：.
8．5
取AD的中点P，连接PM、PN，∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，解△MPN即可.
取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
故答案为：5.
9．
建立空间直角坐标系，写出的坐标，写出向量的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.
建立空间直角坐标系，如图所示
则，
，
，
所以异面直线和所成角的余弦值等于.
故答案为：.
10．证明见解析
根据正方形性质和线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理可证得平面，由线面垂直性质可证得结论.
连接，
分别为中点，，
四边形为正方形，，，
平面，平面，，
平面，，平面，
又平面，.
11．证明见解析
通过平移后再解三角形即可获得证明.
证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
12．
连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长.
解：连接、，
在四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
所以，异面直线和所成的角为，
因为四边形、均为矩形，则，，
在菱形中，，，
由余弦定理可得，
设，则，
因为，由勾股定理可得，即，解得.
13．（1）（2）证明见解析
（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；
（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证；
解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
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