8.6.2 直线与平面垂直 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.6.2 直线与平面垂直 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．、、是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面平行
2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则.②若，，则.
③若，，则.④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
3．已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与平面所成角为
B．异面直线与所成角为
C．平面
D．平面
5．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
6．如图，点，点，点，，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内所组成的集合是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线 D．半圆，但要去掉两个点
二、多选题
7．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路 秋千绳 秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直
8．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）

A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面垂直
C．点到面的距离为
D．三棱柱外接球表面积为
三、填空题
9．正方体的棱长为2，则点到平面的距离是 ．
10．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为 ．
11．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .
12．已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，则四棱锥外接球的体积为 ．
四、解答题
13．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.
14．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)；
(2)平面ABE．
15．如图，在三棱柱中，为的中点，，，，.
（1）证明：；
（2）若，，证明：平面.
参考答案
1．C
根据线面平行、垂直的性质逐个分析判断即可.
对于A，垂直于同一直线的两条不同的直线，可能平行，可能相交，可能异面，所以A错误；
对于B，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行，可能相交，可能异面，所以B错误；
对于C，由线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条不同的直线平行，所以C正确；
对于D，垂直于同一平面的两个不同的平面，可能相交，可能平行，所以D错误.
故选：C.
2．A
利用线面平行、线面垂直的性质可判断①；根据已知条件判断线面位置关系，可判断②；利用线面垂直和面面平行的性质可判断③④.
对于①，若，过作平面，使得，
因为，，，则，因为，，则，故，①对；
对于②，若，，则或或、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若，，则，③对；
对于④，若，，则，④对.
故选：A.
3．A
易得外接球半径，再结合正三棱锥性质可以判断PA，PB，PC两两垂直，则可以将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，即可求得棱长，继而求出三棱锥的体积.
设外接球半径为，则，所以.
设，因为平面PBC，所以，
所以，又因为△ABC为正三角形，，
即PA，PB，PC两两垂直.
将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则，得，
所以三棱锥的体积为.
故选：A.
4．A
A由正方体性质易得直线与平面所成角为，根据其正切值即可判断；B所求角化为求与所成角，由为等边三角形即可判断；C根据线面垂直的性质及判定定理即可判断；D由线面平行的判定定理判断.
A：由正方体性质知面，面，
所以直线与平面所成角为，且，
显然直线与平面所成角不为，错；
B：由，则异面直线与所成角，即为与所成角，
为等边三角形，故与所成角为，对；
C：由面，面，则，
又，且，面，
所以面，而面，则，
同理可证，又，面，
所以平面，对；
D：由，面，面，则平面，对.
故选：A
5．A
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
6．B
连接，由已知条件可得平面，从而可得，则点C在内的轨迹是以为直径的圆，进而可得答案.
连接，因为，所以，又，，
所以平面，又平面，故，
因为A，B是平面上的定点，所以点C在内的轨迹是以为直径的圆，
又C是内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A、B两个点，所以B正确.
故选：B.
7．ACD
根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．
显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：ACD.
8．BD
根据正方体的结构与性质求出异面直线所成的角判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，利用等体积法判断C，根据正方体外接球及球表面积公式判断D.
如图，

连接，，在正方体中，
，所以异面直线和所成的角为（或其补角），
在正中，，
所以异面直线和所成的角为，故A错误；
连接，在正方体中，，，，
平面，所以平面，故B正确；
设到面的距离为，由可知，，
因为，，所以，解得，故C错误；
因为三棱柱外接球即正方体的外接球，
所以外接球的直径，所以，故D正确.
故选：BD
9．
连接交于点，证明平面，计算距离得到答案.
如图所示：连接交于点，
平面，平面，故，
，又，平面，
故平面，平面，
故即为点到平面的距离，.
故答案为：.
10．/0.5
根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE＝，再设出未知数，列出方程，求出线段B1F的长.
设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h ，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝.
在Rt△DB1F中，由面积相等得：，
解得：x＝.
即线段B1F的长为.
故答案为：
11．
找到在平面内的射影，由线面角的定义求解.
为中点，连接，如图所示，

在三棱柱中，平面，则平面，
平面，则，
为正三角形，为中点，则，
平面，，平面，
在平面内的射影为，则与平面所成角为，
，则，，，
中，，
所以与平面所成角的正切值为.
故答案为：.
12．
利用勾股定理得到，然后根据线面垂直的判定定理得到平面，即可得到点为四棱锥外接球的球心，然后求外接球半径和体积即可.
因为四边形为正方形，，所以，
因为，所以，
因为，，平面，所以平面，
连接交于点，过点作平面交于点，
因为四边形为正方形，所以，分别为的中点，，
由题意得点为四棱锥外接球的球心，
所以外接球半径为，外接球体积.
故答案为：.
13．见详解
取的中点为，根据中位线定理，可得的长度，进一步利用勾股定理，可得，最后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
取的中点为，连接，.
∵，分别为，的中点，
∴//，又为的中点，
，∴.
∵，∴，
∴，∴.
∵，∴.
又，平面
∴平面.
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）在四棱锥中，
∵底面ABCD，CD 平面ABCD，∴，
∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴平面PAC．
而AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
（2）由AB＝BC，，得，
又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD．
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
（1）如图，连接，.
∵，∴.
∵，，
∴为等边三角形，∴.
又平面，，
∴平面.
又平面，∴.
（2）在正中，，
在正中，，
∴在中，，
∴，∴.
又，平面，，
∴平面.
∵平面，∴.
又，，平面，
，∴平面.
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